mange funktioner i applikationer er bygget op fra enkle funktioner ved at indsætte konstanter forskellige steder. Det er vigtigt at forståeffekten sådanne konstanter har på udseendet af grafen.
horisontale skift. Hvis vi erstatter $ $ med $ $ $ overalt, forekommer det i formlen for $f ($)$, så skifter grafen over $C$ til højre. (Hvis $c$ er negativ, betyder det, at grafen skifter over$|C|$ til venstre. For eksempel er grafen på $y=(2)^2$ $ $ $ skiftet over for at have sit toppunkt på punkt 2 på$$-aksen. Grafen på $y=(1)^2$ er den samme parabel skiftet over til venstre for at have sit toppunkt på $-1$ på $$-aksen. Bemærk godt: når vi erstatter $ $ med $$$, skal vi være opmærksomme på mening, ikkemerely udseende. Start med $y=2$ og bogstaveligt talt erstatte $ $ med $2$ giver $y=2^2$. Dette er $y = 4$, en linje med hældning 1, ikke ashifted parabola.
lodrette skift. Hvis vi erstatter $y$ med $y-D$, så grafenflytter op $D$ enheder. (Hvis $D$ er negativ, betyder det, at grafenflytter ned $|D|$ enheder.) Hvis formlen er skrevet i formularen$y=f$ og hvis $y$ erstattes af $y-D$ for at få $y-d=f$, kan viflyt $d$ til den anden side af ligningen og skriv$y=f(H)+D$. Således kan dette princip angives: for at fågraf på $y=f(H)+D$, Tag grafen på $y=f(H)$ og flyt den $D$ enheder op.For eksempel kan funktionen $y = ^2-4 gange=(2)^2-4$ fås fra$y=(2)^2$ (Se sidste afsnit) ved at flytte grafen 4 enheder ned.Resultatet er $2$-parabola skiftet 2 enheder til højre og 4 enheder ned for at have sit toppunkt på punktet $(2,-4)$.
advarsel. Du må ikke forveksle $f(H)+D$ og $f(H+D)$. For eksempel, hvis $f ($) $er funktionen $ 2$, så $f ( $ ) + 2$ er funktionen $2 + 2$, mens $f ($2) $er funktionen$(2)^2=2+4 gange+4$.
eksempel 1.4.1 (cirkler) et vigtigt eksempel på ovenstående to principperstarter med cirklen $2+y^2=r^2$. Dette er cirklen med radius$r$ centreret ved oprindelsen. (Som vi så, er dette ikke en enkelt funktion$y=f (H)$, men snarere to funktioner $y= \ pm \ kvm{r^2-H^2}$ sat sammen;under alle omstændigheder gælder de to skiftende principper for ligninger som denne, der ikke er i form $y=f(H)$.), Hvis vi udskifter $x$med x $-C$ og erstatte $y$ af $y-D$—få ligningen$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—effekten på cirklen, er at flytte den $C$ til højre og $D$ op, og derved opnå den cirkel med en radius på $r$centreret på det punkt $(C,D)$. Dette fortæller os, hvordan man skriverligning af enhver cirkel, ikke nødvendigvis centreret ved oprindelsen.
vi vil senere bruge yderligere to principper vedrørende virkningerne afkonstanter på udseendet af grafen for en funktion.
horisontal udvidelse. Hvis $$ erstattes af$ $ $ i en formel og $a> 1$, er effekten på grafen at udvide den med en faktor på $A$ i $$-retningen (væk fra$y$-aksen). Hvis $A$ er mellem 0 og1, er effekten på grafen at indgå kontrakt med en faktor på $1/a$(mod $y$-aksen). Vi bruger ordet “spile” til at betyde udvide eller kontrakt.
for eksempel erstatter $$$med$ 0,5=$/(1/2)=2$ $ har den virkning at trække sig sammen mod $ y $ -aksen med en faktoraf 2. Hvis $A $ er negativ, udvider vi med en faktor på $|A|$ og thenflip om $y$-aksen. Således erstatter $ $ med $ $ effekten aftager spejlbilledet af grafen i forhold til $y$-aksen. For eksempel opnås funktionen $y=\$$, som har domænet $ \ \i\R \ mid \ le 0\}$ ved at tage grafen på $ \ $ $og vende den rundt om$y $ -aksen i den anden kvadrant.
lodret udvidelse. Hvis $y$ erstattes af $y / B$ i en formel og$B>0$, er effekten på grafen at udvide den med en faktor på $B$ iden lodrette retning. Som før er dette en udvidelse ellersammentrækning afhængigt af om $B$ er større eller mindre end en.Bemærk, at hvis vi har en funktion $y=f$,erstatter $ y$ med $y / B$ svarer til at multiplicere funktionen på theright med $B$: $y=Bf$. Effekten på grafen er at udvide billedetvejen fra$ $ -aksen med en faktor på $B$ hvis $B>1$, For at indgå kontrakt med $ $ – aksen med en faktor på $1 / B$ hvis $0
eksempel 1.4.2 (ellipser)et grundlæggende eksempel på de to udvidelsesprincipper er givet af en ellipseof semimajor akse $A$ og semiminor akse $b$. Vi får en sådan ellipse vedstarter med enhedscirklen—cirklen med radius 1 centreret vedoprindelse, hvis ligning er $2+y^2=1$ – og udvides med en faktoraf $a$ vandret og med en faktor på $B$ lodret. For at få ligningen af den resulterendeellipse, der krydser $$-aksen ved $\pm A$ og krydser $y$-aksen ved $\pm b$, erstatter vi $$ med $$ $og$ y $med$ y/b $ i ligningen for enhedscirklen. Dette giver $ $ \left({s\over a}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2=1\S\\S\H boks{eller} \ S \ S {S^2 \ over a^2}+{y^2 \ over b^2}=1.$$
endelig, hvis vi vil analysere en funktion, der involverer beggeskift og dilatationer, er det normalt nemmest at arbejde meddilationer først og derefter skiftene. Hvis vi f.eks. ønsker at dilate en funktion med en faktor på $A$ i $$-retningen og derefter skifte $C$ til højre, gør vi dette ved først at erstatte $$ med $A$og derefter med $($C) $ i formlen. Antag for eksempel, at efter at have udvidet vores enhedscirkel med $A$ i $$-retningen og med $b$I $y$-retningen for at få ellipsen i sidste afsnit,ønskede vi at flytte den en afstand $h$ til højre og en afstand $k$opad for at være centreret på punktet $(h, k)$. Den nye ellipse ville have ligning$$ \ left ({h\over a}\right)^2+\left ({y-k\over b}\right)^2=1.$ $ Bemærk godt, at dette er anderledes end først at gøre skift med $h$ og $k$ og derefter dilatationer med $A$ og $b$:$$\left({h\over a}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.$ $ Se figur 1.4.1.
figur 1.4.1. Ellipser: $\left({H-1 \ over 2}\right)^2+\left({y-1\over 3}\right)^2=1$ til venstre, $\left({h\over 2}-1\right)^2+\left({y\over 3}-1\right)^2=1$ til højre.
øvelser 1.4
begyndende med grafen på $\ds y=\kvm {$}$, grafen på$ \ds y=1/$oggrafen på$ \ds y=\kvm{1-H^2}$(den øverste enhed halvcirkel), skitsergrafen for hver af følgende funktioner:
eks 1.4.1 $ \DS f-2}$
tidl. 1.4.2$\ds f(tidl.)=-1-1/ (+2)$
tidl. 1.4.3$ \ ds f (tidl.)=4 + +2}$
tidl.1.4.4 $ \ds y=f (S)=S / (1-s)$
eks 1.4.5$ \ DS y=f (S)=- \ kvm {- s}$
eks 1.4.6$ \ DS f (S)=2 + \ kvm{1-(s-1)^2}$
tidl. 1.4.7$ \ ds f (tidl.)=-4 + -2)}$
tidl. 1.4.8$\ds f(tidl.)=2\kvadrt{1-(tidl.)/3)^2}$
tidl. 1.4.9$\ds f(tidl.)=1/(tidl.)+1)$
tidl. 1.4.10$\ds f(tidl.)=4+2\kvadrt{1-(tidl.)-5)^2/9}$
tidl. 1.4.11$\ds f(tidl.)=1+1/(tidl.)-1)$
tidligere 1.4.12$\DS f(S)=\kvm{100-25 (s-1)^2}+2$
grafen for $f (H)$ er vist nedenfor.Skitse graferne for følgende funktioner.
eks 1.4.13 $ \DS y=f-1)$
tidl.1.4.$14 \ ds y=1 + f+2)$
tid 1.4.15 $ \ds y=1 + 2F (tid)$
tid 1.4.16 $ \ds y=2F(3 gange)$
tid 1.4.17$\ds y=2F(3 (Tid-2))+1$
eks 1.4.18 $ \DS y=(1/2) f (3 gange-3)$
tidl. 1.4.19 $ \ds y=f (1 + gange / 3) + 2$
