følgende er fra Joseph Masurs nye bog, Hvad har heldet at gøre med det?:
…der er en autentisk verificeret historie, at engang i 1950 ‘ erne kom et hjul i Monte Carlo op selv otteogtyve gange i lige rækkefølge. Oddsene for at det sker er tæt på 268,435,456 til 1. Dag på Monte Carlo, vil en sådan begivenhed sandsynligvis kun ske en gang om fem hundrede år.
Masur bruger denne historie til at sikkerhedskopiere et argument, der hævder, at i det mindste indtil for nylig var mange roulettehjul slet ikke retfærdige.
forudsat at matematikken er rigtig (vi tjekker det senere), kan du finde fejlen i hans argument? Følgende eksempel vil hjælpe.
sandsynligheden for at rulle Dobbelt
Forestil dig, at du giver et par terninger til en person, der aldrig har rullet terninger i sit liv. Hun ruller dem, og får dobbelt femmere i sin første rulle. Nogen siger, ” Hej, begynderheld! Hvad er oddsene for det på hendes første kast?”
Nå, hvad er de?
der er to Svar, Jeg ville tage her, en meget bedre end den anden.
den første går sådan. Oddsene for at rulle en fem med en matrice er 1 i 6; terningerne er uafhængige, så oddsene for at rulle yderligere fem er 1 i 6; derfor er oddsene for rullende dobbeltfemmere
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 ud af 36.
ved denne logik gjorde vores nye spiller bare noget ret usandsynligt på hendes første kast.
men vent et øjeblik. Ville ikke noget par dobbeltværelser være lige så “imponerende” på den første rulle? Hvad vi virkelig bør beregne er oddsene for rullende fordoblinger, ikke nødvendigvis fives. Hvad er sandsynligheden for det?
da der er seks mulige par dobbeltværelser, ikke kun en, kan vi bare multiplicere med seks for at få 1/6. En anden nem måde at beregne det på: Den første dør kan være noget overhovedet. Hvad er sandsynligheden for, at den anden dør matcher den? Enkel: 1 i 6. (Det faktum, at terningerne rulles samtidigt, har ingen betydning for beregningen.)
ikke helt så bemærkelsesværdigt, er det?
af en eller anden grund har mange mennesker problemer med at forstå dette koncept. Chancerne for at rulle dobbelt med et enkelt kast af et par terninger er 1 ud af 6. Folk vil tro, at det er 1 ud af 36, men det er kun, hvis du angiver, hvilket par dobbelt skal kastes.
lad os nu undersøge roulette “anomali”
den samme fejl er, hvad der får Joseph til forkert at konkludere, at fordi et roulettehjul kom op selv 28 lige gange i 1950, var det meget sandsynligt et uretfærdigt hjul. Lad os se, hvor han gik galt.
der er 37 spillemaskiner på en Europæisk roulette hjul. 18 er lige, 18 er ulige, og den ene er 0, som jeg antager ikke tæller som enten lige eller ulige her.
så med et retfærdigt hjul er chancerne for, at et lige antal kommer op, 18/37. Hvis spins er uafhængige, kan vi multiplicere sandsynlighederne for enkelt spins for at få fælles sandsynligheder, så sandsynligheden for to lige niveauer er derefter (18/37)*(18/37). Fortsætter på denne måde, vi beregner chancerne for at få 28 på hinanden følgende lige tal at være $$(18/37)^{28}$$.
viser sig, at dette giver os et tal, der er omtrent dobbelt så stort (hvilket betyder en begivenhed dobbelt så sjælden) som Masurs beregning ville indikere. Hvorfor forskellen?
her er hvor Maur fik det rigtigt: Han indrømmer, at et løb på 28 på hinanden følgende ulige tal ville være lige så interessant (og er lige så sandsynligt) som et løb af evens. Hvis 28 odds ville være kommet op, ville det også have gjort det til hans bog, fordi det ville være lige så ekstraordinært for læseren.
således fordobler han sandsynligheden, vi har beregnet, og rapporterer, at 28 udligner i træk eller 28 odds i træk kun skal ske en gang hvert 500 år. Fin.
men hvad med 28 røde i træk? Eller 28 sorte?
her er problemet: han undlader at redegøre for flere flere begivenheder, der ville være lige så interessante. To åbenlyse, der kommer til at tænke på, er 28 røde i træk og 28 sorte i træk.
der er 18 sorte og 18 røde på hjulet (0 er grøn). Så sandsynlighederne er identiske med dem ovenfor, og vi har nu to flere begivenheder, der ville have været bemærkelsesværdige nok til at få os til at spekulere på, om hjulet var partisk.
så nu, i stedet for to begivenheder (28 odds eller 28 evens), har vi nu fire sådanne begivenheder. Så det er næsten dobbelt så sandsynligt, at man ville forekomme. Derfor bør en af disse begivenheder ske omkring hvert 250 år, ikke 500. Lidt mindre bemærkelsesværdigt.
hvad med andre usandsynlige begivenheder?
hvad med et løb på 28 numre, der nøjagtigt skiftede hele tiden, som Lige-Ulige-Lige-ulige eller rød-sort-rød-sort? Jeg tror, at hvis en af disse havde fundet sted, ville han have været lige så begejstret for at medtage den i sin bog.
disse begivenheder er lige så usandsynlige som de andre. Vi har nu næsten fordoblet vores antal bemærkelsesværdige begivenheder, der ville få os til at pege på et brudt hjul som synderen. Først nu er der så mange af dem, at vi ville forvente, at man skulle ske hvert 125.år.
overvej endelig, at han ser tilbage på mange år, når han påpeger denne tilsyneladende ekstraordinære begivenhed, der opstod. Havde det sket når som helst mellem 1900 og nutiden, ville jeg gætte, at han ville have overvejet det for nylig nok til at medtage som bevis for hans pointe om, at roulettehjul var partisk for ikke så længe siden.
det er et 110-årigt vindue. Er det så overraskende, at noget der skulle ske en gang hvert 125 år eller deromkring skete under det store vindue? Ikke rigtig.
lidt usandsynligt måske, men intet der ville overbevise nogen om, at et hjul var uretfærdigt.
