det afhænger virkelig af, hvad du mener med “uendelig”. Hvis du mener $ \ infty$, så er det ikke et tal, men snarere en stenografi for konceptet, at en vis mængde (normalt et naturligt eller reelt tal) vokser ud over enhver endelig bundet. Som sådan kan du ikke formere det med noget, og især ikke sig selv. Der er dog flere aritmetiske systemer, der har elementer, der er større end nogen endelig sum af formen $1+1+\cdots +1$, og fortjener således at blive kaldt uendelig i størrelse. Jeg fortæller dig om tre af dem (lidt forenklet, men forhåbentlig ikke direkte forkert).
den første er kardinalerne. De angiver, hvor stort noget (et sæt) er. En endelig kardinal er bare et naturligt tal (betyder “størrelsen på et sæt med så mange elementer”), men der er også ininite kardinaler. Den mindste uendelige kardinal er $\aleph_0$, størrelsen af sæt af natrual tal.
tilføjelse af kardinaler fungerer som du ville forvente tilføjelse af størrelser til at arbejde, nemlig at sætte de to sæt ved siden af hinanden og tælle hvor mange elementer der er i alt. Mere specifikt, hvis du har to kardinaltal $\kappa_1, \kappa_2$, der hver angiver størrelsen på to sæt $1, 2$, så er kardinalen $\kappa_1+\kappa_2$ kardinaliteten af den uensartede union $1$ 2$, eller tilsvarende sæt par$ ($i, i)$ hvor $$ $ I $ $ og $ i\i \{1, 2\}$.
multiplikation af kardinaler fungerer på følgende måde: $ \ kappa_1 \ cdot \ kappa_2$ er størrelsen på sættet $1\gange$ 2$, sættet af par$ 1, $2$ med $1\i $ 1 $ og $ 2 \ i $ 2$. Hvis den største af $ \ kappa_1$ og $ \ kappa_2$ er uendelig, så $\kappa_1 + \kappa_2 = \kappa_1 \ cdot \ kappa_2 = \maks (\kappa_1, \ kappa_2)$. Det betyder, at hvis $\kappa$ er en uendelig kardinal, $\kappa^2 = \kappa$, så får vi også $\Kappa = \kappa$.
(du kan også definere eksponenter: $ \ kappa_1^{\kappa_2}$ er størrelsen på sættet af alle mulige funktioner fra $2$ til $1$. For eksempel er $2$ et to-element sæt, så $\kappa^2$ er sæt af funktioner fra et to-element sæt til $\kappa$. En funktion fra et to-element sæt er det samme som et bestilt par, så det er faktisk det samme som $\kappa\cdot \kappa$. Pænt, ikke?)
den anden er ordinalerne. De betegner ordrer af genstande. Dog ikke alle ordrer, men ordrer, hvor en delmængde har et mindste element, såkaldte velordrer. Igen er en endelig ordinal bare et naturligt tal (betyder “rækkefølgen af alle mindre naturlige tal”), men ligesom sidste gang er der uendelige ordinaler, hvoraf den mindste kaldes $\omega_0$ eller bare $\omega$, og det betyder rækkefølgen af de naturlige tal.
tilføjelse af ordinaler sker på følgende måde: hvis $\gamma, \lambda$ er ordinaler, så er $\gamma + \lambda$ ordren opnået ved at sætte $\gamma$ foran $\lambda$. For eksempel er $1 + \omega$ det samme som $\omega$, fordi hvis du tager de naturlige tal og sætter et element foran dem alle, har du noget, der for så vidt angår bestilling, ser nøjagtigt ud som de naturlige tal selv. Men $ \ omega + 1$ betyder at sætte et enkelt element efter alle de naturlige tal, hvilket er en anden rækkefølge.
multiplikation fungerer på følgende måde: $ \ gamma \ cdot \ lambda$ er den ordinære, vi får ved at tage $\lambda$, erstatte hvert element i den bestilling med en kopi af $\gamma$, og tilføj dem alle i den rækkefølge (dvs. sæt dem efter hinanden) (vi angiver, at du arbejder dig fra venstre mod højre). På den måde betyder $2\cdot \omega$ at tage de naturlige tal, bytte hvert af tallene der for to tal, og sæt derefter alle disse par efter hinanden. Dette giver os $ \ omega$ tilbage. $ \ Omega \ cdot 2$ betyder dog at tage et bestilt par, bytte hvert af de to elementer med en kopi af de naturlige tal og derefter sætte den ene kopi efter den anden. Dette er det samme som du ville få ved at beregne $\omega + \omega$.
i denne ramme er multiplikation og tilføjelse af uendelige ordinaler ikke så trivielt som for kardinalerne. Vi får for eksempel $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\omega + \cdots$, som er den mindste uendelige perfekte firkantede ordinal. Som med de naturlige tal selv er der nogle ordinaler, der har en kvadratrod, og nogle der ikke gør det. Specifikt har $ \ omega$ ikke en kvadratrod.
(du kan også definere eksponenter for ordinaler: I dette tilfælde er $\gamma^\lambda$ den ordinære, vi får, hvis vi tager $\lambda$, erstatter hvert element i det med kopier af $\gamma$ og multiplicerer dem alle sammen, ligesom multiplikation blev defineret som gentagen tilføjelse. Dette gør $ \ omega^2 = \omega\cdot \omega$. Pænt, ikke? Bemærk, at mens ordinær og kardinal Tilføjelse og multiplikation er noget ens, er deres forestillinger om eksponentiering meget forskellige.)
endelig vil jeg fortælle dig om de surrealistiske tal. Mens ordinaler og kardinaler er i kraftig brug i sætteori, er de surrealistiske tal mere en nysgerrighed. De er også lidt sværere at pakke dit hoved rundt. Men jeg kan virkelig godt lide dem, så her er en kort oversigt.
et surrealistisk tal $ $ består af et ordnet sæt skrevet $\langle$$$$, hvor$ $$ $ kaldes det venstre sæt $ $ $ og $ $ $ kaldes det rigtige sæt. Disse sæt består begge af andre surrealistiske tal med kravet om, at hvis $$ I $$ og $$i$$, så har vi $ <$$. $ $ betyder derefter et surrealistisk tal mellem $$ $ og $ $ $ (det første sådant tal i henhold til dets generation, se nedenfor). Bestilling er defineret på følgende måde: givet to surrealistiske tal $h = \ langle l_h \ mid r_h \ rangle, y = \ langle L_h\mid r_h\rangle$ vi siger, at $h \ leke y$ iff begge følgende er sande:
- der er ingen $ y_l\i $ $ sådan at $y \ leks_l$
- der er ingen $y_r \ i R_y$ sådan at $y_r \ LEKS$
(Bemærk, at du skal anvende den samme definition igen for at evaluere $y \\ \ $ $og$ y_r\\$$. Dette vil i praksis blive meget kedeligt for alle undtagen de enkleste tal. Dette rekursive koncept kommer tilbage, når man definerer Tilføjelse og multiplikation.)
faktisk var jeg ikke helt sandfærdig tidligere. Et surrealistisk tal er en ækvivalensklasse af sådanne par (det var det, der tog mig lang tid at virkelig sætte pris på). Et par selv kaldes en surrealistisk talformular. To former$, y$ tilhører den samme ækvivalensklasse iff $$ og $y$$.
hvert surrealistisk tal har en såkaldt “generation”. Det første surrealistiske tal (generation $0$) er $0 = \langle {}\mid{} \rangle$, hvor venstre og højre sæt er tomme. De næste to surrealistiske tal (generation $1$) er $1 = \langle0\mid{}\rangle$ og $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generation $2 $består af$ -2 = \langle{}\mid -1\rangle$,$- \frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$,$ \frac12 = \langle 0\mid 1\rangle $og$2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
her kan vi se ækvivalensklasserne på arbejdspladsen, fordi vi også har $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, og vi har for eksempel $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, fordi selvom $-1$, $\frac12$ og $-\frac12$ også er mellem $-2$ og $1$, $0$ tilhører en tidligere generation. Du kan kontrollere, at vi faktisk har $\langle -2\mid 1\rangle\leke \langle {}\mid {}\rangle$ og samtidig $\langle {}\mid{}\rangle \leke \langle -2\mid 1\rangle$, mens det samme ikke er tilfældet, hvis vi bytter $\langle {}\mid{}\rangle$ for $\langle 0\mid 1\rangle$.
vi fortsætter med at lave finere og finere divisioner i alle de endelige generationer, hvor hvert tal, der vises, er et tal af formularen $\frac a{2^b}$, en dyadisk fraktion, indtil vi kommer til den første uendelige generation, $\omega$ (ja, generationerne er ordinaler), hvor alle de reelle tal pludselig dukker op (for eksempel $\kvm 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Vi får også den første uendelige ordinal, $ \ omega$ selv, som $ \ langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, og dens gensidige $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12, 1\rangle$.
indtil videre har jeg ikke talt om aritmetik. Uden det er der ingen grund til at ringe $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ og ikke noget andet. I betragtning af $$ = \langle L_\mid R_ \ rangle $og $ Y = \ langle L_y \ mid R_y \ rangle$ defineres tilføjelsen rekursivt af$$ + y = \ langle \{y_l: y_l \ in L_y\} \ cup \{y:x_l\in * * * * * * * * * * * * * * * :R_r\i R_k\}\rangle$$multiplikation er en smule mere rodet, så jeg vil bruge nogle stenografi:$$h = \langle \{h_ly + h_l – h_ly_l\}\cup\{h_ry + h_r – h_ry_r\}\mid \{h_ly + h_r – h_ly_r\}\cup\{h_ry + h_l – h_ry_l\}\rangle$$hvor subtraktion er defineret som man kunne forvente, ved at negere det rigtige nummer og tilføje. Negering sker ved at negere hvert element i højre og venstre sæt og bytte de to rundt.
ligesom med ordinalerne er $\omega^2 = \omega\cdot \omega$ en perfekt firkant. Men her kommer den sjove del: ethvert positivt surrealistisk tal har en kvadratrod. For at få kvadratroden af $\omega$, skal vi så nogle flere definitioner (teoretisk set kunne og burde man retfærdiggøre alle disse navne ved at udføre tilføjelsen og multiplikationen for at se, at du får hvad du skal, men det er meget arbejde):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$og så får vi $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle$. Tilsvarende kan vi definere $\frac \ omega2-1, \frac\omega2 – 2$ osv., og vi får $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2-3,\frac\omega2 – 2,\frac\omega2-1\rangle$. Så kan vi definere $ \ frac \ omega8, \frac \ omega{16}$ og så videre. Endelig får vi $\Omega = \langle 1, 2, 3, 4, \ldots\mid\ldots, \frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Vi er nu på generation $ \ omega^2$.
