Hyperbolsk bane

som en elliptisk bane kan en hyperbolsk bane for et givet system defineres (ignorerende orientering) ved dens semi-hovedakse og ekscentricitet. Men med en hyperbolsk bane kan andre parametre være mere nyttige til at forstå en krops bevægelse. Følgende tabel viser de vigtigste parametre, der beskriver kroppens vej efter en hyperbolsk bane omkring en anden under standardantagelser og formlen, der forbinder dem.

hyperbolske bane ligninger

Element	Symbol	formel	brug af v-ret {\displaystyle v_ {\infty }} ( eller a {\displaystyle a} ), og b {\displaystyle b}
standard gravitationsparameter	liter {\displaystyle \ mu \,}	v 2 (2 / r − 1 / a) {\displaystyle {\frac {v^{2}} {(2 / r-1 / a)}}}	b v-2 cot-kode {\displaystyle bv_ {\infty} ^ {2} \ cot \ Theta _ {\infty }}
ekscentricitet (>1)	e {\displaystyle e}	ret r p-1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\kvm {1 + b^{2} / a^{2}}}}
halv – hovedakse (<0)	a {\displaystyle a\,\!}	1 / ( 2 / r – v 2 / l ) {\displaystyle 1 / (2 / r-v^{2} / \ mu )}	− 2 {\displaystyle – \ mu / v_ {\infty }^{2}}
hyperbolsk overskudshastighed	v l {\displaystyle v_ {\infty }}	− Larsen / a {\displaystyle {\mu /a {\mu / a}}}
(ekstern) vinkel mellem asymptotes	2 liter {\displaystyle 2\theta _ {\infty }}	2 cos − 1 liter (- 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1} (-1 / e)}	larve + 2 tan – 1 larve(b / a ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1} (b/A)}
vinkel mellem asymptoter og konjugataksen af den hyperbolske tilgangsvej	2 liter {\displaystyle 2\nu }	2 liter − ret {\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi }	2 sin – 1 Lot ( 1 ( 1 + r p lot v lot 2 / Lot)) {\displaystyle 2 \ sin ^{-1} {\bigg (} {\frac {1} {(1 + r_{p} * v_ {\infty }^{2} / \ mu)}} {\bigg )}}
effektparameter (halv-mindre akse)	b {\displaystyle b}	− a e 2 – 1 {\displaystyle -a{\kvm {e^{2}-1}}}
Semi-latus rectum	l {\displaystyle \ ell }	og (e 2 – 1) {\displaystyle a (e^{2}-1)}	− b 2 / A = h 2 / l {\displaystyle -B^{2} / a=h^{2}/ \ mu }
Periapsis afstand	r p {\displaystyle r_{p}}	og (1 − e) {\displaystyle a (1-e)}	a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\displaystyle {\KVRT {a^{2} + b^{2}}} + a}
specifik orbital energi	liter {\displaystyle \ varepsilon }	− LR / 2 a {\displaystyle – \ mu / 2A}	v 2 / 2 {\displaystyle v_ {\infty }^{2}/2}
specifik vinkelmoment	h {\displaystyle h}	skriv {\displaystyle {\mu \ell }}}	b v Larsen {\displaystyle bv_ {\infty }}

Semi-hovedakse, energi og hyperbolsk overskydende hastighedrediger

den semi hovedakse (a {\displaystyle a\,\!}

) er ikke umiddelbart synlig med en hyperbolsk bane, men kan konstrueres, da det er afstanden fra periapsis til det punkt, hvor de to asymptoter krydser. Normalt er det ved konvention negativt at holde forskellige ligninger i overensstemmelse med elliptiske baner.

semi-hovedaksen er direkte knyttet til den specifikke orbitalenergi (list {\displaystyle \ epsilon \,}

) eller karakteristisk energi C 3 {\displaystyle C_{3}}

af kredsløbet, og til den hastighed, som kroppen opnår, når afstanden har tendens til uendelig, er den hyperbolske overskydende hastighed ( v lussing {\displaystyle v_{\infty}\,\!}

). v − ret 2 = 2-ret = C 3 = -ret / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}= − \mu /a}

eller A = – ret / v-ret 2 {\displaystyle A= – {\mu /{v_{\infty }^{2}}}}

hvor: Larv = G m {\displaystyle \ mu =Gm\,\!}

er standard gravitationsparameteren og C 3 {\displaystyle C_{3}}

er karakteristisk energi, der almindeligvis anvendes til planlægning af interplanetære missioner

Bemærk, at den samlede energi er positiv i tilfælde af en hyperbolsk bane (mens den er negativ for en elliptisk bane).

ekscentricitet og vinkel mellem tilgang og afgangredit

med en hyperbolsk bane den orbitale ekscentricitet (e {\displaystyle e\,}

) er større end 1. Ekscentriciteten er direkte relateret til vinklen mellem asymptoterne. Med ekscentricitet lidt over 1 er hyperbolen en skarp “v” – form. At e = 2 {\displaystyle e={2}}}

asymptoterne er vinkelret. Med e > 2 {\displaystyle e>2}

asymptoterne er mere end 120 liter fra hinanden, og periapsis-afstanden er større end semi-hovedaksen. Efterhånden som ekscentriciteten øges yderligere, nærmer bevægelsen sig en lige linje.

vinklen mellem retningen af periapsis og en asymptot fra det centrale legeme er den sande anomali, da afstanden har tendens til uendelighed (liter {\displaystyle \theta _ {\infty }\,}

), så 2 kr {\displaystyle 2\theta _ {\infty }\,}

er den ydre vinkel mellem indflyvnings-og afgangsretninger (mellem asymptoter). Så er det værd = cos − 1 (- 1 / e) {\displaystyle \theta {_{\infty}} =\cos ^ {-1} (-1/e)\,}

eller e = – 1 / cos list {\displaystyle E = -1 / \ cos \ theta {_{\infty }}\,}

effektparameter og afstanden til nærmeste tilgang Rediger

hyperbolske baner efterfulgt af objekter, der nærmer sig det centrale objekt (lille prik) med samme hyperbolske overskydende hastighed (og semi-hovedakse (=1)) og fra samme retning, men med forskellige effektparametre og særheder. Den gule linje passerer faktisk rundt om den centrale prik og nærmer sig den tæt.

påvirkningsparameteren er den afstand, hvormed et legeme, hvis det fortsatte på en uforstyrret sti, ville savne det centrale legeme ved dets nærmeste tilgang. Med kroppe, der oplever gravitationskræfter og følger hyperbolske baner, er det lig med hyperbolaens Semi-mindre akse.

i situationen for et rumfartøj eller komet, der nærmer sig en planet, vil påvirkningsparameteren og overskydende hastighed være kendt nøjagtigt. Hvis det centrale legeme er kendt, kan banen nu findes, herunder hvor tæt det nærliggende legeme vil være ved periapsis. Hvis dette er mindre end planetens radius, bør der forventes en påvirkning. Afstanden til nærmeste tilgang, eller periapsis afstand, er givet af:

r p = − A ( e − 1 ) = LR / v LR 2 ( 1 + ( b v LR 2 / LR ) 2-1 ) {\displaystyle r_{p}=-A(e-1)=\mu /v {_{\infty }}^{2} ({\LRT {1+(bv {_{\infty }} ^{2} / \ mu )^{2}}}-1)}

så hvis en komet nærmer sig Jorden (effektiv radius ~6400 km) med en hastighed på 12.5 km / s (den omtrentlige mindste tilgangshastighed for et legeme, der kommer fra det ydre solsystem) er at undgå en kollision med jorden, slagparameteren skal være mindst 8600 km eller 34% mere end Jordens radius. En krop, der nærmer sig Jupiter (radius 70000 km) fra det ydre solsystem med en hastighed på 5,5 km/t, har brug for, at slagparameteren skal være mindst 770.000 km eller 11 gange Jupiter-radius for at undgå kollision.

hvis massen af det centrale legeme ikke er kendt, kan dens standard gravitationsparameter og dermed dens masse bestemmes ved afbøjning af det mindre legeme sammen med slagparameteren og tilgangshastigheden. Fordi typisk alle disse variabler kan bestemmes nøjagtigt, vil et rumfartøj flyby give et godt skøn over en krops masse.

Larv = b v Larv 2 tan Larv / 2 {\displaystyle \ mu = bv_ {\infty} ^{2}\tan \delta /2}

hvor prit = 2 prit − prit {\displaystyle \Delta =2\theta _{\infty }-\pi }

er den vinkel, den mindre krop afbøjes fra en lige vinkel, der er linje i sin kurs.