 |
 |
Figur 1. Carte de visite (visitkort) omkring 1866 af Augustus De Morgan, underskrevet “ADeMorgan” af ham. Foto af Maull og Polyblank (Se Note). (Fra samlingen af Dr. Sid Kolpas)
en kort biografi
Augustus De Morgan (1806-1871) var en af de mest indflydelsesrige og succesrige lærere i matematik i det 19.århundrede. Både efter moderne og nuværende standarder var han en ekstraordinær professor. Ifølge Adrian Rice, i artiklen, “Hvad gør en stor matematiklærer? Sagen om Augustus De Morgan, ” han var et eksempel på en stor matematiklærer, en der indpodede en kærlighed og entusiasme for emnet hos sine studerende og således havde en dybtgående indvirkning på dem, selvom de aldrig forfulgte en karriere inden for matematik. Bevis for denne udtalelse kommer fra de overlevende kommentarer fra de Morgans studerende og nogle berømte matematikere, der var påvirket af hans undervisning. Han besad den sjældne kombination af indsigt, humor og kreativitet. Hans foredrag var koncise og klare; i modsætning til alt for mange af hans jævnaldrende var han interesseret i, at hans studerende skulle stimuleres, udfordres, inspireres og omhyggeligt instrueres med sund planlægning og pædagogik. Han hadede konkurrenceprøver og den manglende deling af viden, der var resultatet af dem (et aktuelt problem i vores skoler); han var for kooperativ læring. Studerende rapporterede, at hans foredrag var rige på humor, applikationer til andre discipliner, referencer til videre undersøgelse og kærlighed til hans emne. Selv det mest abstrakte af begreber blev gjort klart gennem hans strålende brug af analogi, metafor og lignelse.
De Morgan blev født i Madura, Indien. Han blev uddannet i private skoler indtil sin adgang til Trinity College, Cambridge, i en alder af seksten. Han var en fremragende elev, nær toppen af sin klasse. Imidlertid valgte han ikke at opnå Ma-graden eller at konkurrere om et college-stipendium på grund af hans samvittighedsnægtelse mod de religiøse prøver, der var påkrævet af kandidater i Cambridge. I 1828 modtog han på grund af sin akademiske præstation en udnævnelse som professor i matematik ved det nyoprettede London University (som blev University College London). Han ville undervise der i over 30 flere år, inspirerende generationer af studerende. Efterfølgende generationer af hans elever henvist til ham som” Gussy ” – den høje stout vattende figur peering gennem guld-kantede briller, der lidenskabeligt ville lære dem matematik.
hans omdømme voksede på grund af hans fremragende, opmuntrende, omsorgsfulde undervisning og hans artikler om banebrydende emner, matematiske gåder, spil, underlige ting og paradokser; De Morgan var Martin Gardner fra det nittende århundrede. De Morgans kærlighed til matematiske gåder og historier førte posthumt til offentliggørelsen af hans budget for paradokser (1872); det er stadig på tryk. Mens han var en mand af mild natur, var han også en mand med stærk overbevisning. Han kæmpede mod religiøs foregivelse og var en fortaler for kvinders uddannelsesrettigheder, men var imod Kvindelig valgret. Han mente også, at avancerede matematiske studier var potentielt skadelige for en kvindes fysiske helbred, som var en udbredt holdning til kvinder på det tidspunkt. Stadig mere liberal, da han blev ældre, han belært om matematik til klasser af kvinder uden beregning og opfordrede kvinder, selv i betragtning af deres formodede mentale begrænsninger, at fortsætte med deres matematiske studier.
figur 2. En studerendes tegning af Augustus De Morgan, der leder en klasse på University College London. (Dette billede af MS ADD 7 bruges her med venlig tilladelse fra UCL Library Services, Special Collections.)
de Morgans tekster var lige så fremragende som hans undervisning. Over hundrede år senere ville de stadig være fremragende læseplanmodeller. Emnerne i hans tekster omfattede algebra, trigonometri, differentiel og integreret beregning, beregningen af variationer, sandsynlighed og symbolsk logik. Alle teksterne er klare, interessant, og fyldt med vidunderlige eksempler. Blandt hans bedste publikationer var et Essay om sandsynligheder (1838), Calculus (1842), formel logik (1847) og dobbelt Algebra (1849), som forudså abstrakt algebra. Da han ikke var hårdt på arbejde med sine mange artikler og bøger—herunder en sjettedel af artiklerne i den berømte Penny Cyclopaedia som han skrev en artikel, der definerede processen med matematisk induktion-De Morgan brugt tid på hans to store lidenskaber: spille fløjte og indsamle sjældne matematik bøger. Sidstnævnte hobby hjalp ham med at blive ekspert i sin æra på matematikens historie.
i 1837 giftede Augustus De Morgan sig med Sophia Elisabeth Frend. Deres hjem med fem børn blev centrum for en stor vennekreds, der mødtes der for at dele intellektuelle interesser. En af Augustus’ venner var George Boole, der sammen med de Morgan var banebrydende for udviklingen af symbolsk logik. De Morgans formelle logik (1847) gik til presse på samme tid som Boole ‘ s arbejde med algebra af logik. Begge værker beskæftigede sig med propositionel beregning.
De Morgan huskes måske bedst for “de Morgans love”, to relaterede sætninger i henholdsvis symbolsk logik og sætteori.
symbolsk logik: \
sætteori: \
Augustus De Morgan skal huskes som alle inspirerende lærere for den dybe indflydelse, han havde på sine studerende; blandt dem var Isaac Todhunter (1820-1884) og James Joseph Sylvester (1814-1897). Han underviste også Ada Lovelace (1815-1852) og opfordrede hende til at udvikle sine matematiske talenter; han følte, at hun havde overlegen matematisk talent sammenlignet med de fleste kvinder. Han var en stimulerende kraft i udviklingen af matematik og matematik lærere, en drivkraft i udviklingen af de logiske grundlag for matematik, og en fortaler for modernisering af calculus. En uhøjtidelig mand, han undgik æresgrader, medlemskab af Royal Society og politisk og religiøs smålighed. Hans liv var viet til hans familie, hans venner og hans studerende.
Bemærk: Maull & Polyblanks London photographic studio blev grundlagt i 1854. Studiet specialiserede sig i portrætter af berømte personer. Deres mest bemærkelsesværdige arbejde, fotografiske portrætter af levende Berømtheder, blev udgivet i dele fra 1856 til 1859. Det bestod af fyrre individuelle portrætter med biografier, udstedt til abonnenter og derefter bundet til et enkelt bind af abonnenten, efter at alle dele blev leveret; dette var en praksis, der var populær på det tidspunkt. Portrætterne blev også offentliggjort som graveringer i Illustreret London nyheder. Tilbage til kort biografi af de Morgan.
figur 3. De Morgan ‘ s et Essay om sandsynligheder (1838). (Fra samlingen af Dr . Sid Kolpas)
de Morgans algoritme til tilnærmelse af Faktorier
Faktorier af hele tal spiller en vigtig rolle i sandsynlighedsteorien, især i permutationer og kombinationer. I løbet af det 19.århundrede, uden at beregne enheder, var disse faktorer vanskelige at beregne for store hele tal. I sit Essay om sandsynligheder introducerede de Morgan algoritmen beskrevet i figur 4 nedenfor for at tilnærme \(n!,\) hvor \(n\) er et helt tal. Bemærk, at \(\) er de Morgans notation for “\(n\) factorial” eller \(n!.\ ) Således i første afsnit i figur 4, da de Morgan skrev”, ” mente han faktorialet for et givet positivt heltal.
figur 4. De Morgans instruktioner til tilnærmelse af \(n!\ ) fra S. 15-16 af hans Et Essay om sandsynligheder (Google Bøger)
Stirlings tilnærmelse af \(n!,\) hvor \(n\) er et helt tal, blev opdaget af den skotske matematiker James Stirling (1692-1770). Stirling udgav sit vigtigste arbejde, Methodus Differentialis, i 1730. Denne bog diskuterer uendelig serie, summation, interpolation og kvadratur. Følgende formel for \(n!,\) for hvilken Stirling er blevet kendt, vises som eksempel 2 i Proposition 28 af Methodus Differentialis. Stirlings tilnærmelse siger, at \
de Morgans algoritme leverede trinvise instruktioner til beregning af tilnærmelsen til \ (n!\ ) givet ved Stirlings formel.
figur 5. Titelside af Stirlings Methodus Differentialis(Google Bøger)
henviser til de Morgans algoritme til tilnærmelse \(n!\ ) og bemærker, at \(0.4342945\) er en tilnærmelse af \(\log_{10} E,\) og \(0.7981799\) er en tilnærmelse af \(\log_{10}(2\pi),\) vi har:
- tag basen 10 logaritme af tallet \(n\), og træk \(0,4342945\) fra det: \(\log n – \log e = \log \venstre(\frac{n}{e}\højre).\)
- multiplicer resultatet med \(n\): \(n\log \left(\frac{n}{e}\right)= \log \left(\frac{n}{e}\right)^n.\)
- til \(\log n\) Tilføj \(0,7981799\): \(\log n + \log 2\pi = \log 2n\pi.\)
- tag halvdelen af denne sum: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \kvm{2n\pi}.\)
- tilføj resultaterne af 2. og 4. trin: \
- siden \(\log n!{2n \ pi} \ venstre (\frac{n}{e} \ højre)^n,\) derefter \(n!{2n \ pi} \ venstre (\frac{n}{e} \ højre)^n,\) som er Stirlings formel.
- denne tilnærmelse af \(n!\ ) er lidt for lille; for at forbedre det, tilføj \({\frac{1}{12n}}\) af det til sig selv: \
et brev fra De Morgan om Matematikhistorie
som nævnt ovenfor var Augustus De Morgan en hyppig bidragyder til Penny Cyclopaedia, der bidrog med over 700 artikler til de 27 bind af Cyclopaedia, offentliggjort fra 1828 til 1843.
figur 6. Penny Cyclopaedia, bind 26, indeholder en artikel af de Morgan om den indiske matematiske tekst Viga Ganita. (Google Books)
en af de Morgans sidste poster i Penny Cyclopaedia var en artikel med titlen “VIGA GANITA”, som blev vist på side 318-326 i bind 26, udgivet i 1843 (let tilgængelig via Google Bøger). De Morgan indrømmede i starten af denne artikel, at han ville diskutere meget mere end bare Viga Ganita (nu oftere translittereret som B-Kurtjaga-Kurrita eller B-Kurtja-ga-kurrita), et værk om algebra af det indiske matematiker og astronom fra det 12.århundrede Bhascara (nu generelt kendt som bh-Kurtskara II), der længe blev antaget at have boet og arbejdet på et berømt astronomisk observatorium i Ujjain. Faktisk skrev De Morgan, at hans plan var at drage fordel af stedet for bogstavet “V” nær slutningen af alfabetet for at rapportere det nyeste stipendium om “hinduernes astronomiske og aritmetiske videnskab” (s. 318). Ventetiden har måske ikke været det værd, fordi det, De Morgan måtte skrive, var “en redegørelse for de mest enestående ekstremer af mening” (s. 318) – en fortælling om meget uenighed blandt lærde, i det mindste nogle af dem han anså for at være ret partisk.
i denne artikel gav de Morgan tre muligheder for identiteten og århundredet af den indiske astronom og matematiker var Larrishamihira, som var af interesse for ham, fordi (p. 320):
de forfattere, der er mest Citeret af hinduistiske astronomer, bærer navnene på Varaha-mihira og Brahmegupta.
det menes nu, at var Larshamihira levede i det sjette århundrede og Brahmagupta i det syvende århundrede. Begge blev længe antaget at have boet og arbejdet i Ujjain på et berømt astronomisk observatorium, ligesom Bhaskara II århundreder senere. Som historiker for Indisk astronomi og matematik Kim Plofker rapporterede i sin bog fra 2009, matematik i Indien, er der imidlertid ingen beviser for, at nogen af de tre astronomer boede i Ujjain, eller at der endda var et astronomisk observatorium der (s.318-319, 326).
det, De Morgan vidste i 1843, var imidlertid, at den højt ansete Indolog Henry Thomas Colebrooke og “astronomerne ved Ujein” var enige om var-eller Brahmaguptas (og Brahmaguptas) datoer, men at andre placerede var-eller”VIGA GANITA” århundreder tidligere eller senere (“VIGA GANITA”, s. 320):
fra sine astronomiske data udleder Colebrooke, at Varaha-mihira skrev i slutningen af det femte århundrede, hvilket også er den dato, som astronomerne i ujein tildelte ham. … Der er en anden Varaha-mihira, som de samme astronomer placerer i A. D. 200. Men populær tradition placerer Varaha-mihira i Vicramadytias tid (f.kr. 56) og navne, som herefter bemærket, flere af hans samtidige.
Colebrooke døde i 1837. Han var den første Boden Professor i Sanskrit ved Universitetet i 1832; men som vist i Figur 7, nedenfor, havde han skrevet i 1835, at var Larshamihira levede i det første århundrede fvt!
Figur 7. Fra en Manual om universel historie og kronologi, til brug for skoler (1835), af H. H. Vilson, side 25, afsnit 43. Her, Vilson placeret var Larshamihira på 56 fvt eller lidt senere. “Ougein” blev “Ujein” i de Morgans artikel og er nu kendt som Ujjain. (Google Books)
i det følgende brev fra De Morgan til Vilson, De Morgan forsøgte at bekræfte Vilsons tro på identiteten og århundredet af var Larshamihira, sandsynligvis for hans Penny Cyclopaedia artikel før dens offentliggørelse.
figur 8. Brev fra Augustus De Morgan til H. H. Bemærk, at de Morgans underskrift i slutningen af brevet er identisk med den på visitkortet i Figur 1. (Fra samlingen af Dr . Sid Kolpas)
transkription af de Morgans brev
Sir
med mange undskyldninger for at bekymre dig, helt ukendt for dig som jeg er, tager jeg mig friheden til at stille dig et spørgsmål i din historiehåndbog , et værk, som jeg ofte har konsulteret for orientalske datoer, og som jeg på grund af bekvemmeligheden ved de samme datoer har anbefalet som nyttigt for den studerende i matematisk historie i den traktat, som jeg beder om din accept af.
side 25 43 . Betragter du Varaha-Mihira som den astronomiske forfatter af det navn eller den af det navn, hvis alder diskuteres af Colebrooke, og som Bentley og en fransk forfatter Citeret af Delambre vil have (imod Colebrooks mening , som jeg samler) at være forfatter til Surya Siddhanta : eller tror du, at der er en rimelig sandsynlighed for, at han er den samme.
jeg forbliver Sir
din trofaste tjener
ADeMorgan
69 gade
5.April 1843
vi ved ikke, om de Morgan modtog et svar fra Vilson, eller i bekræftende fald, hvad det var. De Morgans henvisning til” populær tradition ” i hans artikel i Penny Cyclopaedia snarere end til Vilson ved navn kan indikere, at han støttede sig væk fra sin påstand om, at var Larshamihira boede omkring 56 fvt.
noter til de Morgans brev og dets transskription
Note 1. En Manual om universel historie og kronologi til brug for skoler. H. H., M. A., Boden Professor i sanskrit. London: Hvidtaker, 1835. I 1832 blev han den første Boden Professor i Sanskrit ved Universitetet i sanskrit.
bestemmelse 2. Passagen fra en Manual om universel historie og kronologi, til brug for skoler, af H. H. Vilson, på side 25, afsnit 43, er vist i Figur 7 ovenfor.
bestemmelse 3. Var larshamihira (505-587) var en indisk astronom, matematiker og astrolog.
bestemmelse 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) var en engelsk Indolog især interesseret i religion, lingvistik og astronomi. De Morgan skrev i sin Cyclopaedia-artikel, “Hr. Colebrooke var en af de mest fremtrædende af sanscrit-lærde, en utrættelig Indisk antikvar og mere end velinformeret inden for matematik og astronomi” (s. 319). Efter at have tilbragt over 30 år (1783-1814) i Indien vendte Colebrooke tilbage til England, hvor han udgav Algebra med aritmetik og Mensuration fra sanskrit af Brahmegupta og Bhascara (London, 1817) og medstifter både Royal Astronomical Society i 1820 og Royal Asiatic Society i 1823.
bestemmelse 5. John Bentley var en engelsk Indolog, som De Morgan skrev nedsættende i sin “VIGA GANITA” – artikel. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) var en berømt fransk astronom, der også skrev bøger om astronomiens historie fra oldtiden til det 18.århundrede.
Note 6. Den s Larrya-Siddh Larsnta, en astronomi manual, der diskuterer, hvad vi kalder sinus, cosinus, og tangent, blev antaget af nogle til at være en af var Larshamihira mindre kendte værker. Plofker (2009) placerede s-Kurrya-Siddh Kursnta eller” Sun-treatise “omkring 800 E. kr.,” komponeret eller revideret fra et tidligere værk med samme navn…. Denne tidligere S-Kurrya-Siddh-Kursnta blev delvist bevaret ” i et værk fra det sjette århundrede af var Kurrhamihira (s. 71).
vend tilbage til transkription af de Morgans brev
Augustus De Morgan. Et budget af paradokser. London: Longmans, Green and Company, 1872.
Augustus De Morgan. Et Essay Om Sandsynligheder. London: Longman, Orme, brun, grøn og Longmans, og John Taylor, 1838.
, “Viga Ganita,” Penny Cyclopaedia af Society for Diffusion af nyttig viden, vol. 26 (1843), s.318-326.
Sophia De Morgan. Memoir af Augustus De Morgan. London: Longmans, Green and Company, 1882.
James Essinger. ADA ‘ s algoritme: Hvordan Lord Byrons Datter Ada Lovelace lancerede den digitale tidsalder. London: Gibson-Pladsen Ltd., 2014.
J. Paul Getty Museum. “Maull og Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor. En Matematikhistorie: en introduktion (3. udgave.). Boston, 2009.
ny verdens encyklopædi bidragydere, “Henry Thomas Colebrooke,” ny verdens encyklopædi, sidst opdateret 24.februar 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O ‘ Connor og E. F. Robertson. “Augustus De Morgan,” MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematik i Indien. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. “Hvad gør en god matematiklærer? Sagen om Augustus De Morgan.”Den Amerikanske Matematiske Månedlige. Vol. 106, Nr.6 (Jun. – Jul., 1999), s.534-552.
Horace Hayman Vilson. En Manual om universel historie og kronologi til brug for skoler. København: Co., 1835.
