Strenge, stående bølger og harmoniske

introduktion: vibrationer, strenge, rør, percussion….

Hvordan laver vi musikalske lyde? For at lave en lyd har vi brug for noget, der vibrerer. Hvis vi vil lave musiknoter, har du normalt brug for vibrationen for at have en næsten konstant frekvens: det betyder stabil tonehøjde. Vi ønsker også en frekvens, der let kan styres af afspilleren. I elektroniske instrumenter gøres dette med elektriske kredsløb eller med Ure og minder. I ikke-elektroniske instrumenter produceres den stabile, kontrollerede vibration af en stående bølge. Her diskuterer vi, hvordan strenge fungerer. Dette er også en nyttig introduktion til at studere blæseinstrumenter, fordi vibrerende strenge er lettere at visualisere end vibrationen af luften i blæseinstrumenter. Begge er mindre komplicerede end vibrationerne i stængerne og skindene i percussionfamilien. For fysikken i stående bølger er der en multimedievejledning.

rejser bølger i strenge

strengene i violin, klaver og så videre strækkes tæt og vibrerer så hurtigt, at det er umuligt at se, hvad der foregår. Hvis du kan finde en lang fjeder (et legetøj kendt som en ‘slinky’ fungerer godt) eller flere meter fleksibel gummislange, kan du prøve et par sjove eksperimenter, der gør det let at forstå, hvordan strenge fungerer. (Blød gummi er god til dette, haveslanger er ikke rigtig fleksible nok.) Hold først eller klem den ene ende, og hold den anden ende stadig i den ene hånd, stræk den lidt (ikke for meget, en lille sag vil ikke skade). Træk det nu til side med den anden hånd for at lave et knæk, og lad det gå. (Dette er i langsom bevægelse, hvad der sker, når du plukker en streng.) Du vil sandsynligvis se, at knækket bevæger sig ned ad “strengen”, og så kommer det tilbage til dig. Det vil pludselig trække din hånd sidelæns, men hvis du holder den fast, vil den reflektere igen.

først vil du bemærke, at bølgens hastighed i strengen øges, hvis du strækker den mere tæt. Dette er nyttigt til tuning af instrumenter-men vi kommer foran os selv. Det afhænger også af strengens “vægt” – den bevæger sig langsommere i en tyk, tung streng end i en let streng af samme længde under den samme spænding. (Strengt er det forholdet mellem spænding og masse pr.)

næste lad os se nærmere på refleksionen i den faste ende. Du vil bemærke, at hvis du oprindeligt trækker strengen til venstre, er knækket, der bevæger sig væk fra dig, til venstre, men at det kommer tilbage som et knæk til højre – refleksionen er omvendt. Denne effekt er vigtig ikke kun i strengeinstrumenter, men også i vind og percussion. Når en bølge støder på en grænse med noget, der ikke bevæger sig eller ændrer sig (eller som ikke ændrer sig let), vendes refleksionen. (Det faktum, at det er omvendt, giver nul forskydning i slutningen. Imidlertid vil refleksion med enhver faseændring give en stående bølge.)

plukkede strenge

hvis du plukker en af strengen på en guitar eller bas, gør du noget lignende, selvom strengen her er fastgjort i begge ender. Du trækker strengen ud på et tidspunkt og slipper den derefter som vist. Den følgende bevægelse er interessant, men kompliceret. Den oprindelige bevægelse er vist nedenfor. Imidlertid forsvinder bevægelsens højfrekvente komponenter (de skarpe bøjninger i strengen) hurtigt – hvorfor lyden af en guitarnote bliver mere blød et sekund eller mere, når du plukker den.


en skitse af refleksionen af rejse kinks forårsaget af plukning af en streng. På de øjeblikke, der er repræsenteret af (e) og (m), er strengen lige, så den har mistet den potentielle energi, der er forbundet med at trække den sidelæns, men den har en maksimal kinetisk energi. Bemærk, at ved refleksionerne ændres kink-fasen med 180 liter: fra op til ned eller omvendt. Bemærk også, hvordan kinks ‘passerer’ hinanden, når de mødes i midten.

Hvorfor er refleksionen omvendt? Hvis vi antager, at det er fastspændt eller bundet til et fast objekt, bevægede refleksionspunktet sig faktisk ikke. Men se på strengens bevægelse ved at sammenligne de forskellige tidspunkter, der er repræsenteret i venstre håndskitser. Bemærk, at strengen bag knækket bevæger sig tilbage mod den uforstyrrede position (nede i skitsen). Når kink nærmer sig slutningen, bliver den mindre, og når den når den faste ende, er der slet ingen kink – strengen er lige et øjeblik. Men strengen har stadig sit nedadgående momentum, og det bærer det forbi hvilepositionen og producerer et knæk på den anden side, som derefter bevæger sig tilbage i den anden retning. (Bevægelsen af bølger i strenge er beskrevet mere detaljeret i rejser bølger, som har filmklip og animationer. På denne side vil vi dog koncentrere os om de musikalske implikationer. )

som nævnt ovenfor observeres denne bevægelse kun umiddelbart efter plukken. Da højfrekvenskomponenterne mister energi, forsvinder de skarpe knæk, og formen nærmer sig gradvist den grundlæggende tilstand af vibraiton, som vi diskuterer nedenfor.

en bøjet streng opfører sig ret forskelligt

for det første har den en kontinuerlig energikilde og kan således opretholde den samme bevægelse på ubestemt tid (eller i det mindste indtil man løber tør for bue. For det andet er den strengform, der kræves for at matche den ensartet bevægelige bue, forskellig.

en skitse af refleksionen af rejse kinks forårsaget af bøjning af en streng. Se animationen og en forklaring på bue-streng interaktion i buer og strenge

rejser bølger og stående bølger

en interessant effekt opstår, hvis du forsøger at sende en simpel bølge langs strengen ved gentagne gange at vifte den ene ende op og ned. Hvis du har fundet en passende fjeder-eller gummislange, kan du prøve den. Ellers skal du se på disse diagrammer.


animationen viser interaktionen mellem to bølger med samme frekvens og størrelse, der rejser i modsatte retninger: blå til højre, grøn til venstre. Den røde linje er deres sum: den røde bølge er, hvad der sker, når de to rejser bølger tilføje sammen (superpose er det tekniske udtryk). Ved at stoppe animationen kan du kontrollere, at den røde bølge virkelig er summen af de to interagerende rejsebølger.

figuren til højre er det samme diagram repræsenteret som en tidssekvens – tiden stiger fra top til bund. Du kan tænke på det som at repræsentere en række fotografier af bølgerne, taget meget hurtigt. Den røde bølge er, hvad vi rent faktisk ville se i en sådan fotografier.

Antag, at højre håndgrænse er en ubevægelig væg. Som diskuteret ovenfor er bølgen omvendt ved refleksion, så i hvert “fotografi” tilføjer den blå plus grøn op til nul på højre håndgrænse. Den reflekterede (grønne) bølge har samme frekvens og amplitude, men bevæger sig i den modsatte retning.

i den faste ende tilføjer de for ikke at give nogen bevægelse – nul forskydning: det er trods alt denne tilstand af immobilitet, der forårsager den omvendte refleksion. Men hvis du ser på den røde linje i animationen eller diagrammet (summen af de to bølger), vil du se, at der er andre punkter, hvor strengen aldrig bevæger sig! De forekommer en halv bølgelængde fra hinanden. Disse ubevægelige punkter kaldes knudepunkter for vibrationen, og de spiller en vigtig rolle i næsten alle instrumentfamilierne. Halvvejs mellem knudepunkterne er antinoder: punkter med maksimal bevægelse. Men bemærk, at disse toppe ikke rejser langs strengen: kombinationen af to bølger, der rejser i modsatte retninger, producerer en stående bølge.

dette vises i animationen og figuren. Bemærk positionerne (noder), hvor de to rejsende bølger altid annullerer, og de andre (antinoder), hvor de tilføjer for at give en svingning med maksimal amplitude.

du kunne tænke på dette diagram som en repræsentation (ikke til skala) af den femte harmoniske på en streng, hvis længde er bredden af diagrammet. Dette bringer os til det næste emne.

harmoniske og tilstande

strengen på et musikinstrument er (næsten) fastgjort i begge ender, så enhver vibration af strengen skal have noder i hver ende. Nu begrænser det de mulige vibrationer. For eksempel kunne strengen med længde L have en stående bølge med bølgelængde dobbelt så lang som strengen (bølgelængde prisT = 2L) som vist i den første skitse i den næste serie. Dette giver en knude i begge ender og en antinode i midten.

dette er en af strengens vibrationsformer (“vibrationstilstand” betyder bare stil eller måde at vibrere på). Hvilke andre tilstande er tilladt på en streng fastgjort i begge ender? Flere stående bølger vises i den næste skitse.



en skitse af de første fire vibrationsformer af en idealiseret* strakt streng med en fast længde. Den lodrette akse er overdrevet.

lad os udarbejde forholdet mellem frekvenserne af disse tilstande. For en bølge er frekvensen forholdet mellem hastigheden af bølgen og længden af bølgen: f = V/liter. Sammenlignet med strenglængden L kan du se, at disse bølger har længder 2L, L, 2L/3, L/2. Vi kunne skrive dette som 2L / n, hvor n er nummeret på den harmoniske.

den grundlæggende eller første tilstand har frekvens f1 = v/LR1 = v/2L,
den anden harmoniske har frekvens f2 = v/LR2 = 2v/2L = 2F1
den tredje harmoniske har frekvens f3 = v/LR3 = 3v/2L = 3f1,
den fjerde harmoniske har frekvens f4 = v/LR4 = 4V/2L = 4f1, og for at generalisere,

den n ‘ te harmoniske har frekvens FN = v/lutn = NV/2L = NF1.

alle bølger i en streng bevæger sig med samme hastighed, så disse bølger med forskellige bølgelængder har forskellige frekvenser som vist. Tilstanden med den laveste frekvens (f1) kaldes den grundlæggende. Bemærk, at nth-tilstanden har frekvens n gange den grundlæggende. Alle tilstande (og de lyde, de producerer) kaldes strengens harmoniske. Frekvenserne f, 2F, 3F, 4F osv kaldes den harmoniske serie. Denne serie vil være kendt for de fleste musikere, især for buglere og spillere af naturlige horn. Hvis for eksempel det grundlæggende er note C3 eller viola C (en nominel frekvens på 131 HS: se dette link for en tabel), ville harmoniske have tonehøjderne vist i den næste figur. Disse pladser er blevet tilnærmet til den nærmeste kvart tone. Oktaverne er nøjagtigt oktaver, men alle andre intervaller er lidt forskellige fra intervallerne i den lige tempererede skala.

figuren viser den musikalske notation for de første tolv harmoniske på en C-streng. Når du afspiller lydfilen, skal du lytte omhyggeligt til tonehøjden. Den syvende og ellevte harmoniske falder omkring halvvejs mellem toner på lige hærdet skala, og så er blevet noteret med halv skarpe.

du kan producere disse pladser på en strakt streng: det er nemmest på de lave strenge af en guitar, cello eller bas*. Berør strengen let på et punkt 1 / n af dens længde fra enden (hvor n er 1, 2, 3 osv.), og bøj derefter strengen tæt på enden. Alternativt kan du røre strengen meget let på et punkt 1 / n af dens længde fra enden, plukke strengen tæt på enden og slippe den første finger, så snart du har plukket. Berøring af strengen producerer en node, hvor du rører, og så ophidser du (hovedsagelig) den tilstand, der har en node der. Du vil opdage, at du kan spille bugle melodier ved hjælp af harmoniske to til seks af en streng.

(*hvis du lige har gjort dette eksperiment, har du måske bemærket nogle særegenheder. Den tolvte bånd, der bruges til at producere oktaven, er mindre end halvvejs langs strengens længde, og så er den position, hvor du rører ved strengen for at producere den 2.harmoniske – halvvejs langs strengen – ikke direkte over oktavens bånd. Jeg sagde” idealiseret ” streng ovenfor, hvilket betyder en streng, der er helt fleksibel og så kan bøje let i begge ender. I praksis har strenge en endelig bøjningsstivhed, og derfor er deres effektive længde (“L”, der skal bruges i ovenstående formler) lidt mindre end deres fysiske længde. Dette er en af grundene til, at større strenge normalt har en vikling over en tynd kerne, hvorfor broen normalt er i en vinkel, der giver de federe strenge længere længder, og hvorfor den (faste) G-streng på en klassisk guitar har dårlig indstilling på de højere bånd. Der er også en effekt på grund af den ekstra strækning af en streng, når den skubbes ned til gribebrættet, en effekt, der er betydelig på stålstrenge.)

en øvelse for guitarister. På en guitar, der er indstillet på den sædvanlige måde, er B-strengen og den høje E-streng omtrent indstillet til 3.og 4. harmoniske i den lave E-streng. Hvis du plukker den lave E-streng hvor som helst undtagen en tredjedel af vejen, B-strengen skal begynde at vibrere, drevet af vibrationerne i broen fra den harmoniske af den første streng. Hvis du plukker den lave E-streng hvor som helst undtagen en fjerdedel af vejen, skal den øverste E-streng køres på samme måde.

harmonisk tuning på guitarer

guitarister begynder ofte at tune op på følgende måde: Indstil først den 4.harmoniske af den lave E-streng, den 3. af A-strengen og toppen E alle til den samme tone. Figuren til højre viser den harmoniske serie på de to laveste strenge. dernæst indstiller De B-strengen (B3) til 3.harmoniske af den første (E2); indstil derefter 4. harmoniske af A-strengen til 3. af D-strengen. Denne metode kan ikke udvides med succes til G-strengen, fordi den normalt er for tyk og stiv, så den er bedre indstillet af oktaver ved hjælp af båndene. Af flere grunde (se noterne i slutningen af denne side) er denne metode til tuning kun omtrentlig, og man skal genoprette oktaverne bagefter. Den bedste tuning er normalt et kompromis, der skal laves efter at have overvejet, hvilke akkorder du vil spille, og hvor du spiller på gribebrættet.

Guitar tuning af harmoniske. (Disse er rigtige pladser: guitarmusik er normalt transponeret op en oktav.)

harmoniske i musik

komponister kræver ofte sådanne harmoniske på strenginstrumenter: den mest almindelige er “touch fjerde”. Med en finger stopper spilleren strengen for at producere den længde, der kræves til en bestemt note, og rører derefter ved hjælp af en anden finger strengen meget let på den position, der kræves til noten fire toner højere i skalaen (deraf navnet). Denne position er en fjerdedel af vejen langs strengen, så den producerer den fjerde harmoniske af den stoppede note. Den fjerde harmoniske har fire gange den grundlæggende frekvens, og det samme er to oktaver højere. For strengspillere kaldes harmoniske “naturlige”; når de spilles på åbne strenge og” kunstige”; hvis spilleren skal stoppe strengen. Diagrammet viser, hvordan en naturlig touch fjerde spilles, og notationen For touch fjerde på violin en streng. Diagrammets lodrette akse er overdrevet for klarhed.


Åbn en streng, der spilles normalt, og tryk derefter på fjerde på denne streng (4. harmoniske)

tonehøjden af en note bestemmes af, hvor hurtigt strengen vibrerer. Dette afhænger af fire ting:

• tykkere, mere massive strenge vibrerer langsommere. På violiner, guitarer osv. ændres strengens åbne længde ikke, og spændingen ændres normalt heller ikke meget (de handler om lige så svært at skubbe ned). Så de lave strenge er tykkere.
• frekvensen stiger med spændingen i strengen. Sådan indstiller du instrumentet ved hjælp af maskinhoveder eller indstillingspinde: strammere giver højere tonehøjde.
• længden af strengen, der er fri til at vibrere, er også vigtig. Når du stopper en streng mod gribebrættet af en cello, for eksempel, du forkorte den effektive længde og så hæve banen.
• du kan også ændre tonehøjden ved at ændre vibrationstilstanden. Når du spiller harmoniske, inducerer du strengen til at producere bølger, som er en brøkdel af længden af dem, der normalt produceres af en streng af den længde.

  vi kan sætte alt dette i et simpelt udtryk. Hvis den vibrerende del af strengen har en længde L og en masse M, hvis spændingen i strengen er F, og hvis du spiller den nth harmoniske, er den resulterende frekvens

  fn = (n/2L)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  i instrumenter som violin og guitar er den åbne længde og spændingen ret ens for alle strenge. Dette betyder, at for at gøre en streng en oktav lavere, mens du opretholder den samme længde, skal du firedoble forholdet M/L. hvis strengene er lavet af det samme materiale, betyder det at fordoble diameteren. Imidlertid er fedtstrengene normalt sammensatte: en tynd kerne indpakket med viklinger for at gøre dem mere massive uden at gøre dem sværere at bøje.

  lad os se, hvor dette udtryk kommer fra. Bølgen bevæger sig en afstand i en periode t af vibrationen, så v = Larv/T. frekvensen f = 1/T = V/Larv. Så f = V / kr. Vi så også, at for den grundlæggende frekvens f1 er strenglængden prit/2, så f1 = v/2L. bølgehastigheden bestemmes af strengspændingen F og massen pr. Så f1 = liter (F / LM) 1/2. Multiplikation af begge sider med n giver frekvenserne af de ovenfor citerede harmoniske.

  vi kan omarrangere dette for at give strengspændingen: F = 4f12lm.

komplikationer med harmonisk tuning

der er flere problemer med enhver guitar tuning, herunder at bruge harmoniske foreslået ovenfor.

den mest oplagte tilnærmelse er relateret til temperament: hvis guitarstrengene var ideelle, og båndene var ideelt placeret for lige temperament, ville tuning af harmoniske fjerdedele til E-A-og A-D-parene plus to lige tempererede halvtoner på D-strengen gøre intervallet mellem laveste E og 2.bånd på D-strengen omkring 4 cent flad ((4/3)222/12=1.996). Dette ville føre til interferensslag ved ordenshastigheder hvert andet sekund.

en anden åbenbar komplikation med harmonisk tuning er, at strengene ikke bøjes med fuldstændig lethed over møtrikken og broen (som diskuteret ovenfor). Se også, hvordan harmoniske er harmoniske.) Som et resultat er den 1.overtone på en streng lidt skarpere end en oktav, den næste endnu skarpere end en tolvte osv. Så tuning den 4. ‘harmoniske’ af E-strengen til 3.af A-strengen gør dem til deres åbne interval mere end en harmonisk fjerde. Så dette har tendens til at kompensere for temperamentproblemet.

et yderligere problem har at gøre med fret og bro placering. Når du trykker på en streng ned ved den tolvte bånd, øger du dens længde. (Før du trykker på den, den korteste afstand mellem møtrik og bro. Bagefter er det længere.) For at forlænge det har du øget spændingen. På grund af dette og også på grund af bøjningseffekten i slutningen af strengen, hvis den 12.bånd var midtvejs mellem møtrik og bro, ville intervallet være større end en oktav. (Du kan tjekke dette eksperimentelt på et båndløst instrument.) Følgelig er afstanden fra broen til den 12.bånd større end den fra møtrikken til den 12. bånd. Effekten adskiller sig mellem strenge. I nogle elektriske guitarer er individuel justering af hver Bros position mulig. I andre guitarer er broen placeret i en vinkel. I en klassisk guitar, den lige simple bro nødvendiggør nogle kompromis i tuning.

effekterne ovenfor er vanskelige mål med eksperimentelt med den krævede præcision: effekterne er kun et par cent, hvilket ikke er meget større end nøjagtigheden af ører eller indstillingsmålere, når de påføres en plukkestreng. Endvidere er det vanskeligt at justere maskinhoveder for at opnå en præcision bedre end et par cent. På den anden side, hvis du får alle noter i harmoni inden for et par cent, klarer du dig bedre end de fleste musikere, og det lyder ret godt!

der er yderligere problemer, når strenge bliver gamle. Hvor du finger dem med venstre hånd, samler de fedt op og bliver mere massive (selvom de også kan miste materiale, hvor de gnider på bånd). De kan også bære, hvor du vælger dem. Efterhånden som strengene bliver inhomogene, bliver tuningen successivt værre. Vask dem kan hjælpe.

måden at omgå de fleste af disse problemer er at spille båndløse instrumenter, men det gør akkorder mere akavet.

skalapositionerne er i bare intonation. Berøringen ved 2/9 er sikrere end den ved 1/9, men den falder ikke over nogen skala note position: den er lidt over den mindre tredjedel. Violister eller violoncellister, der øver Radulescus “Practicing Infinity” (sic), opfordres til at skrive til mig for yderligere forslag til teknikker til høje harmoniske.

Se også hvordan harmoniske er harmoniske?

Harp acoustics

det eneste arbejde, vi har udført på Harper, er beskrevet her.

mere information

• stående bølger og omrejsende bølger fra Physclips har filmklip og animationer.
• buer og strenge (en simpel introduktion til denne interaktion).
• violinstudier (mere information om vores studier på violiner).
• Chladni mønstre (eksperimentelle resultater, der viser vibrationen af violins plader).
• artikulation og vibrato på violinen og deres betydning for violinens lyd(r).
• Violinakustik: en oversigt (en simpel introduktion til violinakustik).
• forskningsartikler fra John McLennan, ph.d. – studerende i Musikakustik.
• en introduktion til fløjteakustik (med en diskussion af harmoniske i en luftkolonne).