1.4 Verschiebungen und Dilatationen

Viele Funktionen in Anwendungen werden aus einfachen Funktionen aufgebaut, indem Konstanten an verschiedenen Stellen eingefügt werden. Es ist wichtig zu verstehendie Wirkung solcher Konstanten auf das Aussehen des Graphen.

Horizontale Verschiebungen. Wenn wir $ x $ durch $ x-C $ überall dort ersetzen, wo es in der Formel für $ f (x) $ vorkommt, verschiebt sich der Graph über $ C $ nach rechts. (Wenn $ C $ negativ ist, bedeutet dies, dass sich der Graph über $ | C | $ nach links verschiebt.) Zum Beispiel ist der Graph von $ y = (x-2) ^ 2 $ die $ x ^ 2 $ -Parabel, die verschoben wurde, um ihren Scheitelpunkt am Punkt 2 auf der $ x $ -Achse zu haben. Der Graph von $ y = (x + 1) ^ 2 $ ist dieselbe Parabel, die nach links verschoben wurde, um ihren Scheitelpunkt bei $ -1 $ auf der $ x $ -Achse zu haben. Beachten Sie gut: Wenn Sie $ x $ durch $ x-C $ ersetzen, müssen wir auf die Bedeutung achten, nichtnur Aussehen. Beginnend mit $ y = x ^ 2 $ und wörtliches Ersetzen von $ x $ durch $ x-2 $ ergibt $ y = x-2 ^ 2 $. Dies ist $ y = x-4 $, eine Linie mit Steigung 1, nicht averschiebt Parabel.

Vertikale Verschiebungen. Wenn wir $ y $ durch $ y-D $ ersetzen, dann der Graphbewegt $ D $ Einheiten. (Wenn $ D $ negativ ist, bedeutet dies, dass der Graphbewegt sich nach unten $ | D | $ Einheiten.) Wenn die Formel in der Form$ y=f(x) $ geschrieben ist und wenn $ y $ durch $ y-D $ ersetzt wird, um $ y-D=f(x) $ zu erhalten, können sieäquivalent $ D $ auf die andere Seite der Gleichung verschieben und $ y = f(x) + D $ schreiben. Somit kann dieses Prinzip angegeben werden: um diegraph von $ y = f (x) + D $, nimm den Graph von $ y = f(x) $ und verschiebe ihn $ D $ Einheiten nach oben.Beispielsweise kann die Funktion $ y = x ^ 2-4x =(x-2) ^ 2-4 $ aus $ y = (x-2) ^ 2 $ (siehe letzten Absatz) durch Verschieben des Diagramms um 4 Einheiten nach unten erhalten werden.Das Ergebnis ist die $ x ^ 2 $ -Parabel, die um 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten verschoben wurde, um ihren Scheitelpunkt am Punkt $ (2, -4) $ zu haben.

Warnung. Verwechseln Sie nicht $ f(x) + D $ und $ f(x + D) $. Wenn zum Beispiel $f(x) $ die Funktion $x ^2 $ ist, dann ist $f(x) +2 $ die Funktion $x ^2 +2 $, während $f(x+2) $ die Funktion $ (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 $ ist.

Beispiel 1.4.1 (Kreise) Ein wichtiges Beispiel für die beiden obigen Prinzipebeginnt mit dem Kreis $x^2+y^2=r^2 $. Dies ist der Kreis mit dem Radius $ r $, der am Ursprung zentriert ist. (Wie wir gesehen haben, ist dies keine einzelne Funktion $ y = f(x) $, sondern zwei Funktionen $ y =\ pm \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} $ zusammen; In jedem Fall gelten die beiden Verschiebungsprinzipien für Gleichungen wie diese, die nicht in der Form $ y=f(x) $ .) Wenn wir $ x $ durch $ x-C $ ersetzen und $ y $ durch $ y-D $ ersetzen — die Gleichung erhalten$(x-C)^ 2+(y-D)^ 2= r ^ 2 $— der Effekt auf den Kreis ist, ihn zu verschieben $ C$ nach rechts und $ D $ nach oben, wodurch der Kreis des Radius $ r $ erhalten wird, der am Punkt $ (C, D) $ zentriert ist. Dies sagt uns, wie man das schreibteequation eines Kreises, nicht unbedingt am Ursprung zentriert.

Wir werden später zwei weitere Prinzipien bezüglich der Auswirkungen vonkonstanten auf das Aussehen des Graphen einer Funktion.

Horizontale Dilatation. Wenn $ x $ in einer Formel durch $ x / A $ ersetzt wird und $ A > 1 $ , dann ist der Effekt auf das Diagramm, es um einen Faktor von $ A $ in der $ x $ -Richtung (weg von der $ y $ -Achse) zu erweitern. Wenn $ A $ zwischen 0 und 1 liegt, kontrahiert sich der Effekt auf den Graphen um den Faktor $ 1 / A $ (in Richtung der $ y $ -Achse). Wir verwenden das Wort „erweitern“, um sich zu erweitern oder zusammenzuziehen.

Zum Beispiel hat das Ersetzen von $ x $ durch $x/0.5 =x/(1/2)=2x $ den Effekt, dass es sich um einen Faktor von 2 zur $ y $ -Achse hin zusammenzieht. Wenn $A $ negativ ist, dilatieren wir um den Faktor $|A|$ und drehen uns dann um die $ y $-Achse. Das Ersetzen von $ x $ durch $ -x $ hat also den Effekt, dass das Spiegelbild des Graphen in Bezug auf die $ y $ -Achse geändert wird. Zum Beispiel wird die Funktion $ y = \ sqrt {-x} $, die die Domäne $ \ {x \ in \ R \ mid x \ le 0\} $ hat, erhalten, indem man den Graphen von $ \ sqrt {x} $ nimmt und ihn um die $ y $ -Achse in den zweiten Quadranten dreht.

Vertikale Dilatation. Wenn $ y $ in einer Formel durch $ y / B $ ersetzt wird und$ B > 0 $, dann ist der Effekt auf den Graphen, ihn um einen Faktor von $ B $ in der vertikalen Richtung zu erweitern. Nach wie vor ist dies eine Erweiterung oderkontraktion, abhängig davon, ob $ B $ größer oder kleiner als eins ist.Beachten Sie, dass, wenn wir eine Funktion $ y = f (x) $ haben, das Ersetzen von $ y $ durch $ y / B $ der Multiplikation der Funktion auf der rechten Seite mit $ B $ entspricht: $ y = Bf(x) $. Der Effekt auf das Diagramm besteht darin, das Bild von der $ x $ -Achse um einen Faktor von $ B $ if $B> 1 $ zu erweitern, um es in Richtung der $ x $ -Achse um einen Faktor von $1/B$ if $0

Beispiel 1.4.2 (Ellipsen) Ein grundlegendes Beispiel für die beiden Expansionsprinzipien wird durch eine Ellipse der Semimajorachse $ a $ und der Semiminorachse $ b $ gegeben. Wir erhalten eine solche Ellipse, indem wir mit dem Einheitskreis beginnen — dem Kreis des Radius 1 zentriert bei theorigin, dessen Gleichung $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ ist – und sich um einen Faktor erweiternvon $ a $ horizontal und um einen Faktor von $ b $ vertikal. Um die Gleichung der resultierenden Ellipse zu erhalten, die die $ x $ -Achse bei $ \ pm a $ und die $ y $ -Achse bei $ \ pm b $ kreuzt, ersetzen wir $ x $ durch $ x / a $ und $ y $ durch $ y / b $ in der Gleichungfür den Einheitskreis. Dies ergibt $$\left({x\ über a} \ right) ^ 2+\left({y\ über b}\right)^ 2 = 1\qquad\ hbox{oder}\qquad {x^ 2\ über a ^ 2} +{y^ 2\ über b ^ 2} =1.$$

Wenn wir schließlich eine Funktion analysieren möchten, die sowohl Verschiebungen als auch Dilatationen beinhaltet, ist es normalerweise am einfachsten, zuerst mit den Erweiterungen und dann mit den Verschiebungen zu arbeiten. Wenn wir zum Beispiel eine Funktion um einen Faktor von $ A $ in der $ x $ -Richtung erweitern und dann $ C $ nach rechts verschieben wollen, tun wir dies, indem wir $ x $ zuerst durch $ x / A $ und dann durch $ (x-C) $ in der Formel ersetzen. Nehmen wir als Beispiel an, dass wir, nachdem wir unseren Einheitskreis um $ a $ in der $ x $ -Richtung und um $ b $ in der $ y $ -Richtung erweitert haben, um die Ellipse im letzten Absatz zu erhalten, sie dann um einen Abstand $ h $ nach rechts und einen Abstand $ k $ nach oben verschieben wollten, um am Punkt $ (h, k) $ zentriert zu sein. Die neue Ellipse hätte die Gleichung $$\left({x-h\über a}\right) ^2+\left({y-k\über b}\right) ^2=1 .$$Beachten Sie, dass dies anders ist als zuerst Verschiebungen um $ h $ und $ k $ und dann Dilatationen um $ a $ und $b$: $$\left({x\über a}-h \right) ^2+\left({y\über b}-k\right) ^2=1 .$$Siehe Abbildung 1.4.1.

Abbildung 1.4.1. Ellipsen: $ \ left({x-1 \ über 2} \ rechts) ^ 2 + \ left({y-1 \ über 3} \ rechts) ^ 2 = 1 $ links, $ \ left ({x \ über 2} -1 \ rechts) ^ 2 + \ left ({y \ über 3} -1 \ rechts) ^ 2 = 1 $ rechts.

Übungen 1.4

Skizzieren Sie beginnend mit dem Graphen von $\ds y=\sqrt{x}$, dem Graphen von $\ds y=1/x$ und dem Graphen von $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (dem oberen Halbkreis der Einheit) den Graphen jeder der folgenden Funktionen:

Ex 1.4.1 $\ds f(x)=\sqrt{x-2}$

Beispiel 1.4.2 $\ds f(x)=-1-1/ (x+2)$

Beispiel 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$

Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$

Ab 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt{-x}$

Ab 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1-(x-1)^2}$

Beispiel 1.4.7$\ds f(x)=-4+\sqrt{-(x-2)}$

Beispiel 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1-(x/3)^2}$

Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$

Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$

Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1/(x-1)$

Beispiel 1.4.12$\ds f(x)=\sqrt{100-25(x-1)^2}+2$