Das Folgende stammt aus Joseph Mazurs neuem Buch What’s Luck Got to Do with It?:
… es gibt eine authentisch verifizierte Geschichte, dass irgendwann in den 1950er Jahren ein Rad in Monte Carlo sogar achtundzwanzig Mal hintereinander auftauchte. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, liegt nahe bei 268.435.456 zu 1. Basierend auf der Anzahl der Staatsstreiche pro Tag in Monte Carlo wird ein solches Ereignis wahrscheinlich nur einmal in fünfhundert Jahren stattfinden.
Mazur verwendet diese Geschichte, um ein Argument zu sichern, das besagt, dass zumindest bis vor kurzem viele Roulette-Räder überhaupt nicht fair waren.
Angenommen, die Mathematik stimmt (wir werden es später überprüfen), können Sie den Fehler in seiner Argumentation finden? Das folgende Beispiel wird helfen.
Die Wahrscheinlichkeit des Würfelns verdoppelt sich
Stellen Sie sich vor, Sie geben jemandem, der noch nie in seinem Leben gewürfelt hat, ein Paar Würfel. Sie rollt sie und bekommt doppelte Fünfer in ihrer ersten Rolle. Jemand sagt: „Hey, Anfängerglück! Was sind die Chancen, dass auf ihrer ersten Rolle?“
Nun, was sind sie?
Es gibt zwei Antworten, die ich hier nehmen würde, eine viel besser als die andere.
Der erste geht so. Die Chancen, eine Fünf mit einem Würfel zu würfeln, sind 1 zu 6; Die Würfel sind unabhängig, so dass die Chancen, weitere fünf zu würfeln, 1 zu 6 sind; daher sind die Chancen, Double Fives zu rollen
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 zu 36.
Nach dieser Logik hat unsere neue Spielerin bei ihrem ersten Wurf etwas ziemlich Unwahrscheinliches getan.
Aber warte eine Minute. Wäre nicht JEDES Doppelpaar beim ersten Wurf genauso „beeindruckend“ gewesen? Was wir wirklich berechnen sollten, sind die Chancen, Doppel zu rollen, nicht unbedingt Fünfer. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
Da es sechs mögliche Doppelpaare gibt, nicht nur eines, können wir einfach mit sechs multiplizieren, um 1/6 zu erhalten. Eine weitere einfache Möglichkeit, es zu berechnen: Der erste Würfel kann alles sein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Würfel dazu passt? Einfach: 1 in 6. (Die Tatsache, dass die Würfel gleichzeitig gewürfelt werden, hat für die Berechnung keine Bedeutung.)
Nicht ganz so bemerkenswert, oder?
Aus irgendeinem Grund haben viele Leute Schwierigkeiten, dieses Konzept zu verstehen. Die Chancen, Doppel mit einem einzigen Wurf eines Würfelpaares zu würfeln, sind 1 zu 6. Die Leute wollen glauben, dass es 1 zu 36 ist, aber das ist nur, wenn Sie angeben, welches Doppelpaar geworfen werden muss.
Lassen Sie uns nun die Roulette- „Anomalie“ erneut untersuchen
Derselbe Fehler führt dazu, dass Joseph Mazur fälschlicherweise zu dem Schluss kommt, dass es sehr wahrscheinlich ein unfaires Rad war, weil ein Roulette-Rad 1950 sogar 28 Mal in Folge auftauchte. Mal sehen, wo er sich geirrt hat.
Es gibt 37 Slots auf einem europäischen Roulette-Rad. 18 sind gerade, 18 sind ungerade, und eine ist die 0, von der ich annehme, dass sie hier weder gerade noch ungerade zählt.
Also, mit einem fairen Rad, sind die Chancen auf eine gerade Zahl 18/37. Wenn Spins unabhängig sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten einzelner Spins multiplizieren, um gemeinsame Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, so dass die Wahrscheinlichkeit von zwei geraden Gleichungen dann (18/37) * (18/37) ist. Wenn wir auf diese Weise fortfahren, berechnen wir die Chancen, 28 aufeinanderfolgende gerade Zahlen zu erhalten $$(18/37)^{28}$$.
Es stellt sich heraus, dass dies eine Zahl ergibt, die ungefähr doppelt so groß ist (was ein doppelt so seltenes Ereignis bedeutet), wie Mazurs Berechnung anzeigen würde. Warum der Unterschied?
Hier hat Mazur es richtig gemacht: Er räumt ein, dass ein Lauf von 28 aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen genauso interessant wäre (und genauso wahrscheinlich ist) wie ein Lauf von Evens. Wenn 28 Quoten gekommen wären, hätte es das auch in sein Buch geschafft, weil es für den Leser genauso außergewöhnlich wäre.
Somit verdoppelt er die von uns berechnete Wahrscheinlichkeit und berichtet, dass 28 Evens in Folge oder 28 Odds in Folge nur einmal alle 500 Jahre auftreten sollten. Fein.
Aber was ist mit 28 Rottönen hintereinander? Oder 28 Schwarze?
Hier ist das Problem: Er berücksichtigt nicht mehrere weitere Ereignisse, die genauso interessant wären. Zwei offensichtliche, die mir in den Sinn kommen, sind 28 Rot hintereinander und 28 Schwarz hintereinander.
Es gibt 18 schwarze und 18 Rote auf dem Rad (0 ist grün). Die Wahrscheinlichkeiten sind also identisch mit den oben genannten, und wir haben jetzt zwei weitere Ereignisse, die bemerkenswert genug gewesen wären, um uns zu fragen, ob das Rad voreingenommen war.
Anstelle von zwei Ereignissen (28 Odds oder 28 Evens) haben wir jetzt vier solcher Ereignisse. Es ist also fast doppelt so wahrscheinlich, dass einer auftritt. Daher sollte eines dieser Ereignisse etwa alle 250 Jahre stattfinden, nicht 500. Etwas weniger bemerkenswert.
Was ist mit anderen unwahrscheinlichen Ereignissen?
Was ist mit einem Lauf von 28 Zahlen, die sich die ganze Zeit genau abwechselten, wie gerade-ungerade-gerade-ungerade oder rot-schwarz-rot-schwarz? Ich denke, wenn eines davon aufgetreten wäre, wäre Mazur genauso aufgeregt gewesen, es in sein Buch aufzunehmen.
Diese Ereignisse sind genauso unwahrscheinlich wie die anderen. Wir haben jetzt unsere Anzahl bemerkenswerter Ereignisse fast verdoppelt, die uns dazu bringen würden, auf ein gebrochenes Rad als Schuldigen hinzuweisen. Nur jetzt, es gibt so viele von ihnen, wir würden erwarten, dass man alle 125 Jahre passieren sollte.
Bedenken Sie schließlich, dass Mazur auf viele Jahre zurückblickt, wenn er auf dieses scheinbar außergewöhnliche Ereignis hinweist. Wäre es irgendwann zwischen 1900 und der Gegenwart passiert, Ich vermute, Mazur hätte das für neu genug gehalten, um als Beweis für seinen Standpunkt aufzunehmen, dass Roulette-Räder vor nicht allzu langer Zeit voreingenommen waren.
Das ist ein 110-Jahres-Fenster. Ist es dann so überraschend, dass etwas, das alle 125 Jahre oder so passieren sollte, in diesem großen Fenster geschah? Eigentlich nicht.
Vielleicht etwas unwahrscheinlich, aber nichts, was jemanden davon überzeugen würde, dass ein Rad unfair war.
