Hyperbolische Trajektorie

Wie eine elliptische Umlaufbahn kann eine hyperbolische Trajektorie für ein gegebenes System (ohne Orientierung) durch seine Halbachse und die Exzentrizität definiert werden. Bei einer hyperbolischen Umlaufbahn können jedoch andere Parameter nützlicher sein, um die Bewegung eines Körpers zu verstehen. Die folgende Tabelle listet die Hauptparameter auf, die den Weg des Körpers beschreiben, der einer hyperbolischen Flugbahn um einen anderen unter Standardannahmen folgt, und die Formel, die sie verbindet.

Diese Gleichungen können ungenau sein. Zusätzliche Referenzen sind erforderlich.

Hyperbolische Trajektoriengleichungen
Element	Symbol	Formel	mit v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} $v_{\infty }$ (oder a {\displaystyle a} $a$ ), und b {\displaystyle b} $b$
Standardgravitationsparameter	μ {\displaystyle \mu \,} $\ mu \,$	v 2 ( 2 / r − 1 / a ) {\displaystyle {\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}} ${\ displaystyle {\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}}$	b v ∞ 2 cot ⁡ θ ∞ {\displaystyle v_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }} ${\ displaystyle bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }}$
Exzentrizität (>1)	e {\displaystyle e}} $e$	ℓ r p – 1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1} ${\ displaystyle {\frac {\ell }{r_{p }}}}}-1}$	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}} ${\ displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/ein^{2}}}}$
Halbachse (<0)	a {\displaystyle \,\!} $ein\,\!$	1 / ( 2 / r – v 2 / μ ) {\displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )} ${\ displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )}$	− μ / v ∞ 2 {\displaystyle 2} }^{2}} ${\ {\displaystyle{\inf }} }^{2}}$
Hyperbolische Übergeschwindigkeit	v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} $v_{\infty }$	− μ / a {\displaystyle μ /a}}}} ${\ displaystyle {\sqrt {-\mu /a}}}$
( Extern) Winkel zwischen asymptoten	2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }} ${\ displaystyle 2\theta _{\infty }}$	2 cos – 1 ⁡ ( -1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)} ${\ displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)}$	π + 2 tan – 1 ⁡ ( b / a ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b/a)} ${\ displaystyle \pi +2\tan ^{-1})}$
Winkel zwischen Asymptoten und der konjugierten Achse des hyperbolischen Annäherungspfades	2 ν {\displaystyle 2\nu } $2\nu$	2 θ ∞ – π {\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi } $2\theta _{\infty }-\pi$	2 sünde – 1 ⁡ ( 1 ( 1 + r p ∗ v ∞ 2 / μ ) ) {\displaystyle 2\sünde ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+ r_{p}v_{\infty } ^{2}/\mu )}}{\bigg )}} ${\ displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}$
Aufprallparameter (Semi-Minor-Achse)	b {\displaystyle b} $b$	− a e 2 – 1 {\displaystyle -a{\sqrt {e^{2}-1}}} ${\ displaystile -a{\sqrt {e^{2}-1}}}$
Semilaterales Rektum	ℓ {\displaystyle \ell } $\ell$	und ( e 2 − 1 ) {\displaystyle a(e^{2}-1)} ${\ displaystyle a(e^{2}-1)}$	− b 2 / a = h 2 / μ {\displaystyle -b^{2}/a=h^{2}/\mu } $-b^{2}/a=h^{2}/\mu}$
Periapsisabstand	r p {\displaystyle r_{p}} $r_{p}$	und ( 1 – e ) {\displaystyle a(1-e)} $und(1-e)$	a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a} ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a$
Spezifische Orbitalenergie	ε {\displaystyle \varepsilon } $\varepsilon$	− μ / 2a {\displaystyle -\mu /2a} $-\mu /2a}$	v ∞ 2/2 {\displaystyle v_{\inf } }^{2}/2} ${\ displaystyle v_{\infty } }^{2}/2}$
Spezifischer Drehimpuls	h {\displaystyle h} $h$	μ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}} ${\ displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}$	b v ∞ {\displaystyle bv_{\inf } }} ${\ displaystyle bv_{\infty }}$

Siehe auch: Charakteristische Energie

Die Halbachse ( a {\displaystyle a\,\!}

$ein\,\!$

) ist bei einer hyperbolischen Trajektorie nicht sofort sichtbar, kann aber konstruiert werden, da es sich um die Entfernung von der Periapsis bis zu dem Punkt handelt, an dem sich die beiden Asymptoten kreuzen. Normalerweise ist es konventionell negativ, verschiedene Gleichungen mit elliptischen Bahnen konsistent zu halten.

Die Halbachse ist direkt mit der spezifischen Orbitalenergie ( ϵ {\displaystyle \epsilon \,}

$\ epsilon\,$

) oder charakteristische Energie C 3 {\displaystyle C_{3}}

$C_{3}$

der Umlaufbahn, und zu der Geschwindigkeit, mit der der Körper erreicht, wenn die Entfernung gegen unendlich tendiert, die hyperbolische Übergeschwindigkeit ( v ∞ {\displaystyle v_{\infty }\,\!}

$v_\infty\,\!$

). v ∞ 2 = 2 ϵ = C 3 = − μ / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}

$v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu/a$

oder a = − μ/ v ∞ 2 {\displaystyle a=-{\ v_{\infty }^{2}}}}

${\ displaystyle a=-{\mu /{v_{\inf } }^{2}}}}$

dabei gilt: μ = G m {\displaystyle \mu =Gm\,\!}

$\ mu =Gm\,\!$

ist der Standardgravitationsparameter und C 3 {\displaystyle C_{3}}

$C_{3}$

ist charakteristische Energie, die üblicherweise bei der Planung interplanetarer Missionen verwendet wird

Beachten Sie, dass die Gesamtenergie bei einer hyperbolischen Flugbahn positiv ist (während sie bei einer elliptischen Umlaufbahn negativ ist).

Exzentrizität und Winkel zwischen Anflug und Abflugbearbeiten

Bei einer hyperbolischen Trajektorie ergibt sich die Orbitalexzentrizität ( e {\displaystyle e\,}

$e\,$

) größer als 1 ist. Die Exzentrizität steht in direktem Zusammenhang mit dem Winkel zwischen den Asymptoten. Bei einer Exzentrizität von knapp über 1 ist die Hyperbel eine scharfe „V“ -Form. Bei e = 2 {\displaystyle e={\sqrt {2}}}

${\ displaystyle e={\sqrt {2}}}$

die Asymptoten stehen im rechten Winkel. Mit e > 2 {\displaystyle e>2}

${\ displaystyle e2}$

Die Asymptoten sind mehr als 120 ° voneinander entfernt, und der Periapsisabstand ist größer als die Halbachse. Wenn die Exzentrizität weiter zunimmt, nähert sich die Bewegung einer geraden Linie.

Der Winkel zwischen der Periapsisrichtung und einer Asymptote vom Zentralkörper ist die wahre Anomalie, da die Entfernung gegen unendlich tendiert ( θ ∞ {\displaystyle \theta _{\infty }\,}

${\ {\displaystyle{\inf } } }\,}$

), also 2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}

${\ displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

ist der äußere Winkel zwischen Anflug- und Abflugrichtung (zwischen Asymptoten). Dann θ ∞ = cos – 1 ⁡ ( -1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}

${\ displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$

oder e = – 1 / cos ⁡ θ ∞ {\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}

${\ displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Aufprallparameter und die Entfernung der nächsten Annäherung Bearbeiten

Hyperbolische Trajektorien, gefolgt von Objekten, die sich dem zentralen Objekt (kleiner Punkt) mit derselben hyperbolischen Übergeschwindigkeit (und Halbachse (= 1)) nähern und von derselben richtung aber mit verschiedenen Auswirkungsparametern und Exzentrizitäten. Die gelbe Linie verläuft tatsächlich um den zentralen Punkt herum und nähert sich ihm genau.

Der Aufprallparameter ist die Entfernung, um die ein Körper, wenn er auf einem ungestörten Weg fortfährt, den zentralen Körper bei seiner nächsten Annäherung verfehlen würde. Bei Körpern, die Gravitationskräfte erfahren und hyperbolischen Trajektorien folgen, ist sie gleich der Semi-Minor-Achse der Hyperbel.

In der Situation eines Raumfahrzeugs oder Kometen, das sich einem Planeten nähert, sind der Aufprallparameter und die Übergeschwindigkeit genau bekannt. Wenn der zentrale Körper bekannt ist, kann die Flugbahn jetzt gefunden werden, einschließlich der Nähe des sich nähernden Körpers bei Periapsis. Wenn dies kleiner als der Radius des Planeten ist, sollte ein Einschlag erwartet werden. Die Entfernung der nächsten Annäherung oder Periapsis-Entfernung ist gegeben durch:

r p = − a ( e – 1 ) = μ / v ∞ 2 ( 1 + ( b v ∞ 2 / μ ) 2 – 1 ) {\displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}

${\ displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}$

Also, wenn ein Komet nähert sich der Erde (effektiver Radius ~ 6400 km) mit einer Geschwindigkeit von 12.5 km/s (die ungefähre minimale Annäherungsgeschwindigkeit eines Körpers, der vom äußeren Sonnensystem kommt) ist, um eine Kollision mit der Erde zu vermeiden, muss der Aufprallparameter mindestens 8600 km oder 34% mehr als der Erdradius betragen. Ein Körper, der sich Jupiter (Radius 70000 km) vom äußeren Sonnensystem mit einer Geschwindigkeit von 5,5 km / h nähert, benötigt einen Aufprallparameter von mindestens 770.000 km oder dem 11-fachen Jupiterradius, um eine Kollision zu vermeiden.

Wenn die Masse des Zentralkörpers nicht bekannt ist, kann sein Standardgravitationsparameter und damit seine Masse durch die Auslenkung des kleineren Körpers zusammen mit dem Aufprallparameter und der Annäherungsgeschwindigkeit bestimmt werden. Da typischerweise alle diese Variablen genau bestimmt werden können, liefert ein Vorbeiflug eines Raumfahrzeugs eine gute Schätzung der Körpermasse.

μ = b v ∞ 2 tan ⁡ δ / 2 {\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}

${\ displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$