Knotentheorie

Knotentheorie in der Mathematik das Studium geschlossener Kurven in drei Dimensionen und ihrer möglichen Verformungen, ohne dass ein Teil ein anderes durchschneidet. Knoten können als gebildet angesehen werden, indem man ein Stück Schnur auf irgendeine Weise verflechtet und umschlingt und dann die Enden verbindet. Die erste Frage, die sich stellt, ist, ob eine solche Kurve wirklich verknotet ist oder einfach entwirrt werden kann; das heißt, ob man es im Raum in eine standardmäßige unverknotete Kurve wie einen Kreis verformen kann oder nicht. Die zweite Frage ist, ob zwei gegebene Kurven allgemeiner unterschiedliche Knoten darstellen oder wirklich derselbe Knoten in dem Sinne sind, dass einer kontinuierlich in den anderen verformt werden kann.

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Das grundlegende Werkzeug zur Klassifizierung von Knoten besteht darin, jeden Knoten auf eine Ebene zu projizieren — den Schatten des Knotens unter einem Licht darzustellen — und zu zählen, wie oft sich die Projektion kreuzt, wobei bei jeder Kreuzung zu notieren ist, welche Richtung „über“ und welche „unter“ geht.“ Ein Maß für die Komplexität des Knotens ist die geringste Anzahl von Kreuzungen, die auftreten, wenn der Knoten auf alle möglichen Arten bewegt wird. Der einfachste mögliche wahre Knoten ist der Kleeblattknoten oder Überhandknoten, der drei solche Kreuzungen aufweist; Die Reihenfolge dieses Knotens wird daher als drei bezeichnet. Selbst dieser einfache Knoten hat zwei Konfigurationen, die nicht ineinander verformt werden können, obwohl sie Spiegelbilder sind. Es gibt keine Knoten mit weniger Kreuzungen, und alle anderen haben mindestens vier.

Die Anzahl der unterscheidbaren Knoten nimmt mit zunehmender Reihenfolge schnell zu. Zum Beispiel gibt es fast 10.000 verschiedene Knoten mit 13 Kreuzungen und über eine Million mit 16 Kreuzungen — die höchsten bis zum Ende des 20. Bestimmte Knoten höherer Ordnung können in Kombinationen aufgelöst werden, Produkte genannt, von Knoten niedrigerer Ordnung; zum Beispiel sind der quadratische Knoten und der dreieckige Knoten (Knoten sechster Ordnung) Produkte von zwei Kleeblättern, die die gleiche oder entgegengesetzte Chiralität oder Händigkeit aufweisen. Knoten, die nicht so aufgelöst werden können, werden als Primzahlen bezeichnet.

Die ersten Schritte zu einer mathematischen Knotentheorie unternahm um 1800 der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Die Ursprünge der modernen Knotentheorie gehen jedoch auf einen Vorschlag des schottischen Mathematikers und Physikers William Thomson (Lord Kelvin) aus dem Jahr 1869 zurück, wonach Atome aus verknoteten Wirbelrohren des Äthers bestehen könnten, wobei verschiedene Elemente verschiedenen Knoten entsprechen. Als Reaktion darauf unternahm ein Zeitgenosse, der schottische Mathematiker und Physiker Peter Guthrie Tait, den ersten systematischen Versuch, Knoten zu klassifizieren. Obwohl Kelvins Theorie schließlich zusammen mit Ether abgelehnt wurde, entwickelte sich die Knotentheorie etwa 100 Jahre lang als rein mathematische Theorie weiter. Dann führte ein großer Durchbruch des neuseeländischen Mathematikers Vaughan Jones im Jahr 1984 mit der Einführung der Jones-Polynome als neue Knoteninvarianten den amerikanischen mathematischen Physiker Edward Witten dazu, eine Verbindung zwischen Knotentheorie und Quantenfeldtheorie zu entdecken. (Beide Männer erhielten 1990 Fields-Medaillen für ihre Arbeit.) In einer anderen Richtung stellte der amerikanische Mathematiker (und Fields-Medaillengewinner) William Thurston eine wichtige Verbindung zwischen Knotentheorie und hyperbolischer Geometrie her, mit möglichen Auswirkungen auf die Kosmologie. Andere Anwendungen der Knotentheorie wurden in der Biologie, Chemie und mathematischen Physik gemacht.