Raising zu einer Potenz ist iterierte Multiplikation. Glücklicherweise können Sie Ihre Einheitsziffer mit einem einfachen Multiplikationsmuster finden, auch wenn Sie mit großen Kräften arbeiten. (Eine Aktualisierung der Multiplikationsregeln für Einheitsziffern finden Sie in unserem Beitrag zu schwierigen Einheitsziffern.)
Sehen Sie, wie Sie mit dieser Frage umgehen:
Was ist die Einheitsziffer von 5745?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Um dies zu lösen, untersuchen wir kleinere Potenzen und suchen nach einem Muster.
571 = 57 ( die Einheitsziffer ist 7)
572 = 3,249 ( die Einheitsziffer ist 9)
573 = 185,193 ( die Einheitsziffer ist 3)
Beiseite: Da diese Kräfte schnell zunehmen, ist es nützlich zu bemerken, dass wir nur die Einheitsziffer jedes Mal multiplizieren müssen. Beispielsweise ist die Einheitsziffer von 572 dieselbe wie die Einheitsziffer von 72. In ähnlicher Weise ist die Einheitsziffer von 573 dieselbe wie die Einheitsziffer von 73.
Sobald wir also wissen, dass die Einheiten von 572 9 sind, können wir die Einheitsziffer von 573 finden, indem wir 9 mit 7 multiplizieren, um 63 zu erhalten. Die Einheitsziffer von 573 ist also 3.
Um die Einheitsziffer von 574 zu finden, multiplizieren wir 3 mit 7, um 21 zu erhalten. Die Einheitsziffer von 574 ist also 1.
Wenn wir anfangen, die verschiedenen Kräfte aufzulisten, können wir ein Muster erkennen:
- Die Einheitsziffer von 571 ist 7
- Die Einheitsziffer von 572 ist 9
- Die Einheitsziffer von 573 ist 3
- Die Einheitsziffer von 574 ist 1
- Die Einheitsziffer von 575 ist 7
An diesem Punkt sollten wir erkennen, dass sich das Muster zu wiederholen beginnt. Das Muster geht: 7-9-3-1-7-9-3-1-7-9-3-1-…
Da sich das Muster alle 4 Potenzen wiederholt, sagen wir, dass der „Zyklus“ gleich 4
Nun kommt eine wichtige Beobachtung:
Die Einheitsziffer von 571 ist 7
Die Einheitsziffer von 572 ist 9
Die Einheitsziffer von 573 ist 3
Die Einheitsziffer von 574 ist 1
Die Einheitsziffer von 575 ist 7
Die Einheitsziffer von 576 ist 9
Die Einheitsziffer von 577 ist 3
Die Einheitsziffer von 578 ist 1
Die Einheitsziffer von 579 ist 7
Die Einheitsziffer von 5710 ist 9
Die Einheitsziffer von 5711 ist 3
Die Einheitsziffer von 5712 ist 1. . . etc.
Wie Sie sehen können, ist die Einheitsziffer von 57k, da der Zyklus = 4 ist, 1, wenn k ein Vielfaches von 4 ist.
Um nun die Einheitsziffer von 5745 zu finden, müssen wir nur erkennen, dass die Einheitsziffer von 5744 1 ist (da 44 ein Vielfaches von 4 ist).
Von hier aus fahren wir einfach mit unserem Muster fort:
Die Einheitsziffer von 5744 ist 1
Die Einheitsziffer von 5745 ist 7
Die Einheitsziffer von 5746 ist 9
Die Einheitsziffer von 5747 ist 3 . . . etc.
Die Einheitsziffer von 5745 ist also 7, was bedeutet, dass die Antwort D.
