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Abbildung 1. Carte de visite (Visitenkarte) um 1866 von Augustus De Morgan, signiert „ADeMorgan“ von ihm. Foto von Maull und Polyblank (siehe Anmerkung). (Aus der Sammlung von Dr. Sid Kolpas)
Eine kurze Biographie
Augustus De Morgan (1806-1871) war einer der einflussreichsten und erfolgreichsten Mathematiklehrer des 19. Sowohl nach zeitgenössischen als auch nach aktuellen Maßstäben war er ein außerordentlicher Professor. Laut Adrian Rice, in dem Artikel, „Was macht einen großen Mathematiklehrer? Der Fall von Augustus De Morgan: “ Er war ein Beispiel für einen großen Mathematiklehrer, der seinen Schülern Liebe und Begeisterung für das Fach einflößte und sie so tiefgreifend beeinflusste, auch wenn sie nie eine Karriere in Mathematik anstrebten. Beweise für diese Meinung stammt aus den überlebenden Kommentare von De Morgan ’s Studenten, und von einigen renommierten Mathematikern, die von seiner Lehre beeinflusst wurden. Er besaß diese seltene Kombination aus Einsicht, Humor und Kreativität. Seine Vorträge waren prägnant und klar; im Gegensatz zu allzu vielen seiner Kollegen kümmerte er sich darum, dass seine Schüler angeregt, herausgefordert, inspiriert und sorgfältig mit fundierter Planung und Pädagogik unterwiesen wurden. Er hasste Wettbewerbsprüfungen und den daraus resultierenden Mangel an Wissensaustausch (ein aktuelles Problem in unseren Schulen); Er war für kooperatives Lernen. Die Studenten berichteten, dass seine Vorlesungen reich an Humor, Anwendungen auf andere Disziplinen, Referenzen für weitere Studien und Liebe zu seinem Thema waren. Selbst das abstrakteste Konzept wurde durch seine brillante Verwendung von Analogie, Metapher und Gleichnis deutlich.
De Morgan wurde in Madura, Indien geboren. Er wurde in Privatschulen bis zu seinem Eintritt in Trinity College erzogen, Cambridge, im Alter von sechzehn. Er war ein ausgezeichneter Schüler, in der Nähe der Spitze seiner Klasse. Er entschied sich jedoch, den MA-Abschluss nicht zu erhalten oder wegen seiner Kriegsdienstverweigerung gegen die religiösen Tests, die von Kandidaten in Cambridge verlangt wurden, um ein College-Stipendium zu konkurrieren. Im Jahr 1828 erhielt er aufgrund seiner akademischen Leistungen eine Ernennung zum Professor für Mathematik an der neu gegründeten London University (die zum University College London wurde). Er unterrichtete dort über 30 Jahre lang und inspirierte Generationen von Studenten. Nachfolgende Generationen seiner Schüler bezeichneten ihn als „Gussy“ – die große, dicke, watschelnde Figur, die durch eine Goldbrille spähte und ihnen leidenschaftlich Mathematik beibrachte.
Sein Ruf wuchs wegen seiner hervorragenden, ermutigenden, fürsorglichen Lehre und seiner Artikel über topaktuelle Themen, mathematische Rätsel, Spiele, Kuriositäten und Paradoxien; De Morgan war der Martin Gardner des neunzehnten Jahrhunderts. De Morgans Liebe zu mathematischen Rätseln und Geschichten führte posthum zur Veröffentlichung seines Budgets der Paradoxien (1872); es ist immer noch gedruckt. Während er ein Mann von sanfter Natur war, war er auch ein Mann von starker Überzeugung. Er kämpfte gegen religiöse Vorwände und war ein Verfechter der Bildungsrechte von Frauen, war aber gegen das Frauenwahlrecht. Er glaubte auch, dass fortgeschrittene mathematische Studien potenziell schädlich für die körperliche Gesundheit einer Frau waren, was zu dieser Zeit eine allgegenwärtige Haltung gegenüber Frauen war. Zunehmend liberal, als er älter wurde, hielt er Vorlesungen über Mathematik in Klassen von Frauen ohne Gebühr und ermutigte Frauen, auch angesichts ihrer vermuteten geistigen Einschränkungen, mit ihren mathematischen Studien fortzusetzen.
Abbildung 2. Eine Studentenzeichnung von Augustus De Morgan, der eine Klasse am University College London leitet. (Dieses Bild von MS ADD 7 wird hier mit freundlicher Genehmigung von UCL Library Services, Special Collections verwendet.)
De Morgans Texte waren ebenso herausragend wie seine Lehre. Über hundert Jahre später wären sie immer noch hervorragende Lehrplanmodelle. Die Themen seiner Texte umfassten Algebra, Trigonometrie, Differential- und Integralrechnung, Variationsrechnung, Wahrscheinlichkeit und symbolische Logik. Alle Texte sind klar, interessant und mit wunderbaren Beispielen gefüllt. Zu seinen besten Veröffentlichungen gehörten ein Aufsatz über Wahrscheinlichkeiten (1838), Kalkül (1842), formale Logik (1847) und Doppelalgebra (1849), die die abstrakte Algebra vorwegnahmen. Als er nicht hart an der Arbeit an seinen vielen Artikeln und Büchern—darunter ein Sechstel der Artikel in der berühmten Penny Cyclopaedia, für die er schrieb einen Artikel, der den Prozess der mathematischen Induktion definiert-De Morgan verbrachte Zeit auf seine beiden großen Leidenschaften: Flöte spielen und sammeln seltene Mathematik Bücher. Das letztere Hobby half ihm, der Experte seiner Zeit in der Geschichte der Mathematik zu werden.
1837 heiratete Augustus De Morgan Sophia Elizabeth Frend. Ihr Zuhause mit fünf Kindern wurde zum Zentrum eines großen Freundeskreises, der sich dort traf, um intellektuelle Interessen zu teilen. Einer von Augustus ‚Freunden war George Boole, der zusammen mit De Morgan Pionierarbeit bei der Entwicklung der symbolischen Logik leistete. De Morgans Formale Logik (1847) ging zur gleichen Zeit wie Booles Arbeit über die Algebra der Logik in Druck. Beide Arbeiten befassten sich mit Aussagenrechnung.
De Morgan ist vielleicht am besten für „De Morgans Gesetze“ bekannt, zwei verwandte Theoreme in der symbolischen Logik bzw.
Symbolische Logik: \
Mengenlehre: \
Augustus De Morgan sollte, wie alle inspirierenden Lehrer, für den tiefen Einfluss in Erinnerung bleiben, den er auf seine Schüler hatte; unter ihnen waren Isaac Todhunter (1820-1884) und James Joseph Sylvester (1814-1897). Er unterrichtete auch Ada Lovelace (1815-1852) und ermutigte sie, ihre mathematischen Talente zu entwickeln. Er war eine stimulierende Kraft in der Entwicklung von Mathematik und Mathematiklehrern, eine treibende Kraft in der Entwicklung der logischen Grundlagen der Mathematik und ein Befürworter der Modernisierung der Analysis. Ein unprätentiöser Mann, Er mied Ehrentitel, Mitgliedschaft in der Royal Society, und politische und religiöse Kleinlichkeit. Sein Leben war seiner Familie, seinen Freunden und seinen Schülern gewidmet.
Hinweis: Maull & Polyblanks Londoner Fotostudio wurde 1854 gegründet. Das Studio spezialisierte sich auf Porträts berühmter Persönlichkeiten. Ihre bemerkenswerteste Arbeit, fotografische Porträts lebender Prominenter, wurde in Teilen von 1856 bis 1859 veröffentlicht. Es bestand aus vierzig einzelnen Porträts mit Biografien, an Abonnenten ausgegeben und dann vom Abonnenten nach Lieferung aller Teile zu einem einzigen Band gebunden; Dies war eine damals beliebte Praxis. Die Porträts wurden auch als Gravuren in der Illustrated London News veröffentlicht. Zurück zur Kurzbiographie von De Morgan.
Abbildung 3. De Morgans Essay über Wahrscheinlichkeiten (1838). (Aus der Sammlung von Dr. Sid Kolpas)
De Morgans Algorithmus zur Approximation von Fakultäten
Fakultäten ganzer Zahlen spielen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere bei Permutationen und Kombinationen. Während des 19.Jahrhunderts waren diese Fakultäten ohne Rechengeräte für große ganze Zahlen schwer zu berechnen. In seinem Aufsatz über Wahrscheinlichkeiten führte De Morgan den in Abbildung 4 beschriebenen Algorithmus ein, um \(n!,\) wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Beachten Sie, dass \(\) De Morgans Notation für „\ (n\) Fakultät“ oder \(n!.\) Also, im ersten Absatz in Abbildung 4, als De Morgan schrieb „,“ er meinte die Fakultät einer gegebenen positiven ganzen Zahl.
Abbildung 4. De Morgans Anweisungen zur Approximation \(n!15-16 seines Essays über Wahrscheinlichkeiten (Google Books)
Stirlings Approximation von \(n!,\), wobei \(n\) eine ganze Zahl ist, wurde vom schottischen Mathematiker James Stirling (1692-1770) entdeckt. Stirling veröffentlichte seine wichtigste Arbeit, Methodus Differentialis (Methodus Differentialis), 1730. Dieses Buch behandelt unendliche Reihen, Summation, Interpolation und Quadratur. Die folgende Formel für \(n!,\), für die Stirling bekannt geworden ist, erscheint als Beispiel 2 des Satzes 28 der Methodus Differentialis. Stirlings Approximation besagt, dass \
De Morgans Algorithmus Schritt-für-Schritt-Anweisungen zur Berechnung der Approximation an \(n!\) gegeben durch Stirlings Formel.
Abbildung 5. Titelseite von Stirlings Methodus Differentialis (Google Books)
Unter Bezugnahme auf De Morgans Algorithmus zur Approximation von \(n!\) und stellt fest, dass \(0.4342945\) ist eine Approximation von \(\log_{10} e,\) und \(0.7981799\) ist eine Approximation von \(\log_{10}(2\pi),\) wir haben:
- Nehmen Sie den Logarithmus zur Basis 10 der Zahl \(n\) und subtrahieren Sie \(0,4342945\) davon: \(\log n – \log e = \log \left(\frac{n}{e}\right).\)
- Multiplizieren Sie das Ergebnis mit \(n\): \(n\log \left(\frac{n}{e}\right)= \log \left(\frac{n}{e}\right)^n.\)
- Zu \(\log n\) addiere \(0,7981799\): \(\log n + \log 2\pi = \log 2n\pi.\)
- Nimm die Hälfte dieser Summe: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\)
- Addiere die Ergebnisse des 2. und 4. Schritts: \
- Seit \(\log n!\sim \log \sqrt{2n\pi}\links (\frac{n}{e}\rechts) ^ n,\) dann \(n!\sim \sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\) Das ist Stirlings Formel.
- Diese Approximation von \(n!\) ist etwas zu klein; um es zu verbessern, füge \({\frac{1}{12n}}\) davon zu sich selbst hinzu: \
A Letter of De Morgan Concerning History of Mathematics
Wie oben erwähnt, war Augustus De Morgan ein häufiger Mitwirkender an der Penny Cyclopaedia und trug über 700 Artikel zu den 27 Bänden der Cyclopaedia bei, die von 1828 bis 1843 veröffentlicht wurden.
Abbildung 6. Die Penny Cyclopaedia, Band 26, enthält einen Artikel von De Morgan über den indischen mathematischen Text Viga Ganita. (Google Books)
Einer der letzten Einträge von De Morgan in der Penny Cyclopaedia war ein Artikel mit dem Titel „VIGA GANITA“, der auf den Seiten 318-326 von Band 26 erschien und 1843 veröffentlicht wurde (leicht zugänglich über Google Books). De Morgan gab zu Beginn dieses Artikels zu, dass er viel mehr als nur die Viga Ganita (heute häufiger als Bījagaṇita oder Bīja-gaṇita transkribiert) diskutieren würde, eine Arbeit über Algebra des indischen Mathematikers und Astronomen Bhascara aus dem 12.Jahrhundert (heute allgemein bekannt als Bhāskara II), von dem lange angenommen wurde, dass er an einem berühmten astronomischen Observatorium in Ujjain gelebt und gearbeitet hat. In der Tat schrieb De Morgan, sein Plan sei es, die Stelle des Buchstabens „V“ am Ende des Alphabets auszunutzen, um über die neuesten Erkenntnisse über die „astronomische und arithmetische Wissenschaft der Hindus“ zu berichten (S. 318). Das Warten hat sich vielleicht nicht gelohnt, denn was De Morgan schreiben musste, war „ein Bericht über die seltsamsten Extreme der Meinung“ (S. 318) – eine Geschichte großer Meinungsverschiedenheiten unter Gelehrten, von denen er zumindest einige für ziemlich voreingenommen hielt.
In diesem Artikel gab De Morgan drei Möglichkeiten für die Identität und das Jahrhundert des indischen Astronomen und Mathematikers Varāhamihira an, der für ihn von Interesse war, weil (p. 320):
Die Autoren, die von hinduistischen Astronomen am häufigsten zitiert werden, tragen die Namen Varaha-mihira und Brahmegupta.
Es wird nun angenommen, dass Varāhamihira im sechsten Jahrhundert und Brahmagupta im siebten Jahrhundert lebte. Es wurde lange angenommen, dass beide in Ujjain an einem berühmten astronomischen Observatorium gelebt und gearbeitet haben, ebenso wie Bhaskara II Jahrhunderte später. Wie die Historikerin der indischen Astronomie und Mathematik Kim Plofker in ihrem 2009 erschienenen Buch Mathematics in India berichtete, gibt es jedoch keine Beweise dafür, dass einer der drei Astronomen in Ujjain lebte oder dass es dort sogar ein astronomisches Observatorium gab (S. 318-319, 326).
Was De Morgan jedoch 1843 wusste, war, dass der hoch angesehene Indologe Henry Thomas Colebrooke und die „Astronomen von Ujein“ sich auf Varāhamihiras (und Brahmaguptas) Daten einigten, aber dass andere Varāhamihira Jahrhunderte früher oder später platzierten („VIGA GANITA“, S. 320):
Aus seinen astronomischen Daten schließt Colebrooke, dass Varaha-mihira am Ende des fünften Jahrhunderts schrieb, was auch das Datum ist, das ihm von den Astronomen in Ujein zugewiesen wurde. … Es gibt einen anderen Varaha-Mihira, den die gleichen Astronomen im Jahr 200 n.Chr. Aber populäre Tradition Orte Varaha-mihira in der Zeit von Vicramadytia (BC 56), und Namen, wie später bemerkt, mehrere seiner Zeitgenossen.
Colebrooke starb 1837. Sein Protegé Horace Hayman Wilson war 1832 der erste Boden-Professor für Sanskrit an der Universität Oxford geworden; wie in Abbildung 7 unten gezeigt, hatte Wilson jedoch 1835 geschrieben, dass Varāhamihira im ersten Jahrhundert v. Chr. lebte!
Abbildung 7. Aus A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), von H. H. Wilson, Seite 25, Absatz 43. Hier stellte Wilson Varāhamihira auf 56 v. Chr. oder etwas später. Wilsons „Ougein“ wurde in De Morgans Artikel zu „Ujein“ und ist jetzt als Ujjain bekannt. (Google Books)
Im folgenden Brief von De Morgan an Wilson versuchte De Morgan, Wilsons Überzeugungen über die Identität und das Jahrhundert von Varāhamihira zu bestätigen, wahrscheinlich für seinen ersten Cyclopaedia-Artikel vor seiner Veröffentlichung.
Abbildung 8. Brief von Augustus De Morgan an H. H. Wilson. Beachten Sie, dass De Morgans Unterschrift am Ende des Briefes identisch mit der auf der Visitenkarte in Abbildung 1 ist. (Aus der Sammlung von Dr. Sid Kolpas)
Transkription von De Morgans Brief
Sir
Mit vielen Entschuldigungen für Ihre Beunruhigung, die Ihnen so unbekannt sind wie ich, erlaube ich mir, Ihnen eine Frage zu Ihrem Handbuch der Geschichte zu stellen, ein Werk, das ich oft für orientalische Daten konsultiert habe und das ich wegen der Bequemlichkeit derselben Daten dem Studenten der mathematischen Geschichte als nützlich empfohlen habe, in dessen Traktat ich Sie um Ihre Annahme bitte.
Seite 25 43 . Betrachten Sie Varaha-Mihira als den astronomischen Schreiber dieses Namens, oder den mit diesem Namen, dessen Alter von Colebrooke diskutiert wird , und den Bentley und ein von Delambre zitierter französischer Schriftsteller (entgegen Colebrooks Meinung, wie ich sammle) als den Autor des Surya Siddhanta haben werden? oder denkst du, es gibt eine faire Wahrscheinlichkeit, dass er derselbe ist.
Ich bleibe Sir
Ihr treuer Diener
ADeMorgan
69 Gower Street
5. April 1843
Wir wissen nicht, ob De Morgan eine Antwort von Wilson erhalten hat oder, wenn ja, was es war. De Morgans Hinweis auf „Volkstradition“ in seinem Artikel in der Penny Cyclopaedia und nicht auf Wilson beim Namen kann darauf hindeuten, dass Wilson sich von seiner Behauptung zurückzog, Varāhamihira habe um 56 v. Chr.
Anmerkungen zu De Morgans Brief und seiner Transkription
Anmerkung 1. Ein Handbuch der Universalgeschichte und Chronologie, für den Einsatz von Schulen. H. H. Wilson, M.A., Boden Professor für Sanskrit, Oxford. London: Whittaker, 1835. Wilson war ein Protegé von Colebrooke (siehe Anmerkung 4 unten) und wurde 1832 der erste Boden-Professor für Sanskrit an der Universität Oxford.
Anmerkung 2. Die Passage aus A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools, von H. H. Wilson, auf Seite 25, Absatz 43, ist in Abbildung 7 oben gezeigt.
Anmerkung 3. Varāhamihira (505-587) war ein indischer Astronom, Mathematiker und Astrologe.
Anmerkung 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) war ein englischer Indologe, der sich besonders für Religion, Linguistik und Astronomie interessierte. De Morgan schrieb in seinem Cyclopaedia Artikel, „Herr. Colebrooke war einer der bedeutendsten Sanskrit-Gelehrten, ein unermüdlicher indischer Antiquar und mehr als gut informiert in Mathematik und Astronomie“ (S. 319). Nachdem er über 30 Jahre (1783-1814) in Indien verbracht hatte, kehrte Colebrooke nach England zurück, wo er Algebra mit Arithmetik und Messung aus dem Sanskrit von Brahmegupta und Bhascara (London, 1817) veröffentlichte und mitbegründete sowohl die Royal Astronomical Society im Jahr 1820 als auch die Royal Asiatic Society im Jahr 1823.
Anmerkung 5. John Bentley war ein englischer Indologe, über den De Morgan in seinem Artikel „VIGA GANITA“ abschätzig schrieb. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) war ein berühmter französischer Astronom, der auch Bücher über die Geschichte der Astronomie von der Antike bis zum 18.
Anmerkung 6. Das Sūrya-Siddhānta, ein astronomisches Handbuch, das beschreibt, was wir Sinus, Kosinus und Tangente nennen, wurde von einigen als eines von Varāhamihiras weniger bekannten Werken angenommen. Plofker (2009) stellte die Sūrya-Siddhānta oder „Sun-Abhandlung“ auf etwa 800 n. Chr., „komponiert oder überarbeitet aus einem früheren gleichnamigen Werk …. Diese frühere Sūrya-Siddhānta wurde teilweise erhalten “ in einem Werk von Varāhamihira aus dem sechsten Jahrhundert. 71).
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Augustus De Morgan. Ein Haushalt voller Paradoxien. London: Longmans, Grün und Unternehmen, 1872.
Augustus Von Morgan. Ein Essay über Wahrscheinlichkeiten. London: Longman, Orme, Brown, Grün und Longmans, und John Taylor, 1838.
, „Viga Ganita“, Die Zyklopädie der Gesellschaft zur Verbreitung nützlichen Wissens, vol. 26 (1843), S. 318-326.
Sophia Von Morgan. Memoiren von Augustus De Morgan. London: Longmans, Grün und Unternehmen, 1882.
James Essinger. Der Algorithmus von Ada: Wie Lord Byrons Tochter Ada Lovelace das digitale Zeitalter einleitete. London: Gibson Square Ltd., 2014.
Das J. Paul Getty Museum. „Maull und Polyblank.“
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. Eine Geschichte der Mathematik: Eine Einführung (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
New World Encyclopedia contributors, „Henry Thomas Colebrooke,“ New World Encyclopedia, zuletzt aktualisiert am 24.Februar 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O’Connor und E. F. Robertson. „Augustus De Morgan,“ MacTutor Geschichte der Mathematik Archiv, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Mathematik in Indien. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Reis. „Was macht einen guten Mathematiklehrer aus? Der Fall Augustus De Morgan.“ American Mathematical Monthly. Vol. 106, Nr. 6 (Jun. – Jul., 1999), S. 534-552.
Horace Hayman Wilson. Ein Handbuch der Universalgeschichte und Chronologie, für den Einsatz von Schulen. London: Whittaker und Co., 1835.
