Das hängt wirklich davon ab, was Sie mit „Unendlichkeit“ meinen. Wenn Sie $ \ infty $ meinen, dann ist das keine Zahl, sondern eine Abkürzung für das Konzept, dass eine Menge (normalerweise eine natürliche oder reelle Zahl) über jede endliche Grenze hinauswächst. Als solches können Sie es nicht mit irgendetwas multiplizieren, insbesondere nicht mit sich selbst. Es gibt jedoch mehrere arithmetische Systeme, die Elemente haben, die größer sind als jede endliche Summe der Form $ 1 + 1 + \ cdots + 1 $, und daher verdienen, unendlich groß genannt zu werden. Ich erzähle Ihnen von drei davon (leicht vereinfacht, aber hoffentlich nicht direkt falsch).
Der erste sind die Kardinäle. Sie zeigen an, wie groß etwas (eine Menge) ist. Ein endlicher Kardinal ist nur eine natürliche Zahl (was „die Größe einer Menge mit so vielen Elementen“ bedeutet), aber es gibt auch ininite Kardinäle. Der kleinste unendliche Kardinal ist $ \ aleph_0 $, die Größe der Menge der natürlichen Zahlen.
Das Hinzufügen von Kardinälen funktioniert so, wie Sie das Hinzufügen von Größen erwarten würden, nämlich die beiden Sätze nebeneinander zu setzen und zu zählen, wie viele Elemente insgesamt vorhanden sind. Genauer gesagt, wenn Sie zwei Kardinalzahlen $ \ kappa_1, \ kappa_2 $ haben, die jeweils die Größe von zwei Mengen $ X_1, X_2 $ bedeuten, dann ist der Kardinal $\ kappa_1 + \ kappa_2 $ die Kardinalität der disjunkten Vereinigung $ X_1 \ sqcup X_2 $ oder äquivalent die Menge der Paare $ (x_i, i) $ wobei $ x_i \ in X_i $ und $ i \ in \{1, 2 \} $.
Die Multiplikation der Kardinäle funktioniert folgendermaßen: $ \kappa_1 \ cdot\kappa_2 $ ist die Größe der Menge $ X_1 \ mal X_2 $, der Menge der Paare $ x_1, x_2 $ mit $ x_1 \ in X_1 $ und $ x_2 \ in X_2 $. Wenn der größte von $ \kappa_1 $ und $\kappa_2 $ unendlich ist, dann ist $\kappa_1 +\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2) $ . Dies bedeutet, dass, wenn $\kappa $ ein unendlicher Kardinal ist, $\kappa ^ 2 = \kappa $ , so erhalten wir auch $\sqrt\kappa = \kappa $ .
(Sie können auch Exponenten definieren: $\kappa_1^{\kappa_2}$ ist die Größe der Menge aller möglichen Funktionen von $X_2 $ bis $ X_1 $. Zum Beispiel ist $ 2 $ eine Menge von zwei Elementen, also ist $ \ kappa ^ 2 $ die Menge von Funktionen aus einer Menge von zwei Elementen zu $ \ kappa $. Eine Funktion aus einer Menge von zwei Elementen ist dasselbe wie ein geordnetes Paar, also ist dies tatsächlich dasselbe wie $ \ kappa \ cdot \ kappa $ . Ordentlich, was?)
Die zweite ist die Ordinalzahl. Sie bedeuten Ordnungen von Objekten. Allerdings nicht alle Ordnungen, sondern Ordnungen, bei denen eine Teilmenge ein kleinstes Element hat, sogenannte Well-Orderings. Auch hier ist eine endliche Ordinalzahl nur eine natürliche Zahl (was „die Reihenfolge aller kleineren natürlichen Zahlen“ bedeutet), aber genau wie beim letzten Mal gibt es unendliche Ordinalzahlen, von denen die kleinste $ \ omega_0 $ oder nur $ \ omega $ , und es bedeutet die Reihenfolge der natürlichen Zahlen.
Die Addition von Ordinalzahlen erfolgt folgendermaßen: Wenn $\gamma, \lambda$ Ordinalzahlen sind, dann ist $\gamma + \lambda$ die Reihenfolge, indem $\gamma$ vor $\lambda$ gesetzt wird. Zum Beispiel ist $ 1 + \ omega $ dasselbe wie $ \ omega $, denn wenn Sie die natürlichen Zahlen nehmen und ein Element vor alle setzen, haben Sie etwas, das in Bezug auf die Reihenfolge genau so aussieht wie die natürlichen Zahlen selbst. $ \ omega + 1 $ bedeutet jedoch, ein einzelnes Element nach allen natürlichen Zahlen zu setzen, was eine andere Reihenfolge ist.
Die Multiplikation funktioniert folgendermaßen: $ \ gamma \ cdot \ lambda $ ist die Ordinalzahl, die wir erhalten, indem wir $ \ lambda $ nehmen, jedes Element in dieser Reihenfolge durch eine Kopie von $ \ gamma $ ersetzen und sie dann alle in dieser Reihenfolge addieren (dh. setzen Sie sie hintereinander) (wir geben an, dass Sie sich von links nach rechts arbeiten). Auf diese Weise bedeutet $ 2 \ cdot \ omega $, die natürlichen Zahlen zu nehmen, jede der Zahlen dort gegen zwei Zahlen auszutauschen und dann alle diese Paare hintereinander zu setzen. Dies gibt uns $ \ omega $ zurück. $ \ omega \ cdot 2 $ bedeutet jedoch, ein geordnetes Paar zu nehmen, jedes der beiden Elemente mit einer Kopie der natürlichen Zahlen zu tauschen und dann eine Kopie nach der anderen zu setzen. Dies ist das gleiche wie bei der Berechnung von $ \ omega + \ omega $ .
In diesem Rahmen ist die Multiplikation und Addition unendlicher Ordinalen nicht so trivial wie für die Kardinäle. Wir erhalten zum Beispiel $ \ omega \ cdot \ omega = \ omega + \ omega +\ omega + \ cdots $ , was die kleinste unendliche perfekte quadratische Ordnungszahl ist. Wie bei den natürlichen Zahlen selbst gibt es einige Ordinalzahlen, die eine Quadratwurzel haben, und einige, die dies nicht tun. Insbesondere hat $ \ omega $ keine Quadratwurzel.
(Sie können auch Exponenten für Ordinalen definieren: In diesem Fall ist $ \ gamma ^ \ lambda $ die Ordinalzahl, die wir erhalten, wenn wir $ \ lambda $ nehmen, jedes Element darin durch Kopien von $ \ gamma $ ersetzen und sie alle miteinander multiplizieren, genau wie Multiplikation als wiederholte Addition definiert wurde. Dies macht $ \omega ^ 2 = \ omega \cdot \ omega $ . Ordentlich, was? Beachten Sie, dass ordinale und kardinale Addition und Multiplikation zwar etwas ähnlich sind, ihre Vorstellungen von Potenzierung jedoch sehr unterschiedlich sind.)
Zum Schluss erzähle ich Ihnen von den surrealen Zahlen. Während Ordinalzahlen und Kardinalzahlen in der Mengenlehre stark verwendet werden, sind die surrealen Zahlen eher eine Kuriosität. Sie sind auch ein bisschen schwieriger, den Kopf herum zu wickeln. Ich mag sie jedoch sehr, daher hier eine kurze Zusammenfassung.
Eine surreale Zahl $ x $ besteht aus einem geordneten Paar von Mengen, die $ \ langle L_x \ mid R_x \rangle $ geschrieben sind, wobei $L_x $ die linke Menge von $ x $ und $ R_x $ die rechte Menge genannt wird. Diese Mengen bestehen beide aus anderen surrealen Zahlen, mit der Anforderung, dass, wenn $x_l \in L_x $ und $ x_r \in R_x $ , dann haben wir $x_l < x_r $. $ x $ bedeutet dann eine surreale Zahl zwischen $ L_x $ und $ R_x $ (die erste solche Zahl nach ihrer Erzeugung, siehe unten). Die Reihenfolge wird folgendermaßen definiert: Bei zwei surrealen Zahlen $ x = \langle L_x \ mid R_x \ rangle, y = \langle L_y \mid R_y \ rangle $ sagen wir, dass $ x \ leq y $ iff beide der folgenden sind wahr:
- Es gibt kein $x_l\in L_x$, so dass $y \leq x_l$
- Es gibt kein $y_r\in R_y$, so dass $y_r\leq x$
( Beachten Sie, dass Sie zur Auswertung von $ y \ leq x_l $ und $ y_r \ leq x $ dieselbe Definition erneut anwenden müssen. Dies wird in der Praxis für alle außer den einfachsten Zahlen sehr langweilig. Dieses rekursive Konzept kommt bei der Definition von Addition und Multiplikation zurück.)
Eigentlich war ich früher nicht ganz ehrlich. Eine surreale Zahl ist eine Äquivalenzklasse solcher Paare (das habe ich lange gebraucht, um es wirklich zu schätzen). Ein Paar selbst wird als surreale Zahlenform bezeichnet. Zwei Formen $x, y $ gehören zu derselben Äquivalenzklasse iff $x\leq y$ und $y\leq x $.
Jede surreale Zahl hat eine sogenannte „Generation“. Die erste surreale Zahl (Generation $ 0 $) ist $ 0 = \langle {} \mid{} \rangle $ wobei die linken und rechten Mengen leer sind. Die nächsten beiden surrealen Zahlen (Generation $1 $) sind $1 = \langle0\mid{}\rangle $ und $-1 = \langle{}\mid 0\rangle $. Generation $2$ besteht aus $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mid 0\rangle $, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle $ und $2 = \langle 1\mid{}\rangle $.
Hier können wir die Äquivalenzklassen bei der Arbeit sehen, weil wir auch $ 2 = \langle -1, 0, 1 \mid {} \rangle $ haben, und wir haben zum Beispiel $ 0 = \langle -2 \mid 1\rangle $, denn obwohl $ -1 $, $ \ frac12 $ und $ – \ frac12 $ auch zwischen $ -2 $ und $ 1 $ liegen, gehört $ 0 $ zu einer früheren Generation. Sie können überprüfen, ob wir tatsächlich $ \ langle -2 \mid 1 \ rangle \ leq \ langle {}\mid {}\rangle $ und gleichzeitig $ \ langle {}\mid{}\rangle \ leq \ langle -2 \mid 1 \rangle $ haben, während dies nicht der Fall ist, wenn wir $ \ langle {} \ mid{} \ rangle $ gegen $ \ langle 0\mid 1 \ rangle $ tauschen.
Wir machen in allen endlichen Generationen immer feinere Divisionen, wobei jede Zahl eine Zahl der Form $\ frac a {2 ^ b} $ , ein dyadischer Bruch, ist, bis wir zur ersten unendlichen Generation $ \ omega $ (ja, die Generationen sind Ordinalzahlen), wo plötzlich alle reellen Zahlen auftauchen (zum Beispiel $ \ sqrt 2 = \ langle 1, \ frac {5} {4}, \ frac {11} {8}, \ ldots{} \ mitte {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle $). Wir erhalten auch die erste unendliche Ordinalzahl, $ \omega $ selbst, als $ \langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{} \rangle $ und ihren Kehrwert $\frac1 \omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\ frac14,\ frac12,1 \rangle $.
Bisher habe ich nicht über die Arithmetik gesprochen. Ohne das gibt es keinen Grund, $ \ langle 0 \ mid 1 \ rangle $ $ \ frac12 $ und sonst nichts aufzurufen. Bei $x = \langle L_x\mid R_x\rangle $ und $y = \langle L_y\mid R_y\rangle $ wird die Addition rekursiv definiert durch$$x + y = \langle \{x + y_l: y_l \in L_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \Mitte \{x + y_r: y_r \ in R_y \} \ Tasse \{x_r + y:x_r\in R_x\}\rangle $$Die Multiplikation ist etwas chaotischer, daher verwende ich eine Abkürzung: $$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup \{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle $$ wobei die Subtraktion definiert wie zu erwarten, indem die richtige Zahl negiert und addiert wird. Das Negieren erfolgt, indem jedes Element in der rechten und linken Menge negiert und die beiden vertauscht werden.
Genau wie bei den Ordinalen ist $ \ omega ^ 2 = \omega \cdot \omega $ ein perfektes Quadrat. Hier kommt jedoch der lustige Teil: Jede positive surreale Zahl hat eine Quadratwurzel. Um die Quadratwurzel von $ \ omega $ zu erhalten, müssen wir einige weitere Definitionen verwenden (theoretisch könnte und sollte man jeden dieser Namen rechtfertigen, indem man die Addition und Multiplikation durchführt, um zu sehen, dass man bekommt, was man sollte, aber das ist eine Menge Arbeit): $$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3 ,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$und dann erhalten wir $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle $. Ähnlich können wir $\frac\omega2-1 , \frac\omega2-2 $ usw. definieren und erhalten $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots \mid \ldots, \frac \omega2 – 3, \frac \ omega2-2, \frac\omega2 – 1 \rangle $ . Dann können wir $ \frac\omega8 , \frac\omega{16} $ und so weiter definieren. Schließlich erhalten wir $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega \rangle $ . Wir sind jetzt bei Generation $ \ omega ^ 2 $.
