Muchas funciones en aplicaciones se construyen a partir de funciones simples insertando constantes en varios lugares. Es importante comprender el efecto que tales constantes tienen en la apariencia del gráfico.
Desplazamientos horizontales. Si reemplazamos la $x$ en $x-C$ en todas partes itoccurs en la fórmula por $f(x)$, entonces la gráfica de turnos de más de $C$ a laderecho. (Si $C is es negativo, entonces esto significa que el gráfico se desplaza sobre$ / C/ left hacia la izquierda. Por ejemplo, la gráfica de $ $ y=(x-2)^2$ es el$x^2$-parábola cambiado con el que tiene su vértice en el punto 2 en la$x$-eje. La gráfica de $ $ y=(x+1)^2$ es la misma parábola desplazado a la izquierda, así como que tiene su vértice en $-1$ en la $x$-eje. Nótese bien: al reemplazar $x by por x x-C must debemos prestar atención al significado, no a la apariencia. A partir de $y=x^2$ y, literalmente, la sustitución de $x$en $x-2$ da $y=x-2^2$. Esto es $y = x-4$, una línea con pendiente 1, no parábola cenicienta.
Desplazamientos verticales. Si reemplazamos $y$ por $y-D$, entonces el graphmoves hasta $D$ unidades. (Si $D is es negativo, entonces esto significa que el grafo mueve hacia abajo unidades $|D| units.) Si la fórmula se escribe en la forma$ $ y=f(x)$ y si $y$ es reemplazado por $y-D$ obtener $y-D=f(x)$, nos canequivalently mover $D$ al otro lado de la ecuación y escribir$ $ y=f(x)+D$. Por lo tanto, este principio puede enunciarse: para obtener thegraph de $ $ y=f(x)+D$, tomar la gráfica de $ $ y=f(x)$ y moverlo $D$ unidades hacia arriba.Por ejemplo, la función $y = x^2-4x=(x-2)^2-4 can se puede obtener de$ y = (x-2)^2 ^ (ver el último párrafo) moviendo el gráfico 4 unidades hacia abajo.El resultado es la parábola $x^2 shifted desplazada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para tener su vértice en el punto $(2,-4)$.
Advertencia. No confunda $f (x) + D and y f f (x+D).. Por ejemplo,si $f(x)$ es la función $x^2$, entonces $f(x)+2$ es la función $x^2+2$,mientras que $f(x+2)$ es la función $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
Ejemplo 1.4.1 (Círculos) Un ejemplo importante de los dos principios anteriores comienza con el círculo x x^2+y^2=r^2.. Este es el círculo de radio centered r centered centrado en el origen. (Como hemos visto, esta no es una sola función$ $ y=f(x)$, pero en lugar de dos funciones $ $ y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ de poner juntos;en cualquier caso, el cambio de dos principios se aplican a las ecuaciones como thisone que no están en el formulario $y=f(x)$.) Si se sustituye la $x$en $x-C$ y reemplazar $y$ por $y-D$—obtención de la ecuación$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$,—el efecto sobre el círculo es para moverlo $C$ a la derecha y $D$ hasta, obteniendo de este modo el círculo de radio $r$centrada en el punto $(C,D)$. Esto nos dice cómo escribir la ecuación de cualquier círculo, no necesariamente centrado en el origen.
Más adelante desearemos utilizar dos principios más sobre los efectos de las constantes en la apariencia del gráfico de una función.
Dilatación horizontal. Si $x$ es sustituido por el valor de$x/A$ en una fórmula y $A>1$, entonces el efecto sobre la gráfica es toexpand por un factor de $Un$ en la $x$-dirección (lejos de la$$y-axis). Si $a$ es entre 0 and1, a continuación, el efecto en la gráfica es el contrato por un factor de 1 $/A$(hacia el $$y-axis). Usamos la palabra «dilatar» para significar expandirse o contraerse.
Por ejemplo, la sustitución de $x$ en$x/0.5=x/(1/2)=2x$ tiene el efecto de contraer hacia el $$y-eje por un factorof 2. Si $a$ es negativo, que se dilatan por un factor de us $|Un|$ y thenflip sobre el $$y-eje. Por lo tanto, la sustitución de $x$ en $x$ tiene el efecto oftaking el espejo de la imagen de la gráfica con respecto a la $$y-eje. Porejemplo, la función $ $ y=\sqrt {x}$, que tiene el dominio $\{x\in\R\mid x\le 0\}$, es obtainedby tomar la gráfica de $\sqrt{x}$ y mover de un tirón alrededor de los $$y-eje al segundo cuadrante.
Dilatación vertical. Si $$ y es reemplazado por $n B$ en una fórmula y$B>0$, entonces el efecto en el gráfico es a dilatarse por un factor de $B$ enla dirección vertical. Como antes, se trata de una expansión o contracción dependiendo de si $B is es mayor o menor que uno.Tenga en cuenta que si tenemos una función $ $ y=f(x)$,reemplazando $y$ en $y/B$ es equivalente a multiplicar la función de laderecho por $B$: $y=Bf(x)$. El efecto en el gráfico es el de ampliar la pictureaway de la $x$eje por un factor de $B$ si $B>1$, para contrato towardthe $x$eje por un factor de 1 $/B$ si $0
Ejemplo 1.4.2 (puntos suspensivos)Un ejemplo básico de las dos de la expansión de los principios está dada por un ellipseof semimajor eje de $a$ y semiminor eje $b$. Podemos conseguir una elipse bystarting con la unidad de círculo: el círculo de radio 1 con centro en el theorigin, la ecuación de la cual es de $x^2+y^2=1$y la dilatación por un factorof $un$ horizontalmente y por un factor de $b$ verticalmente. Para obtener el equationof la resultingellipse, que cruza la $x$-eje en $\pm$ y cruza el $y$-axisat $\pm b$, reemplazamos $x$ en $x/a$ y $y$ por $n b$ en el equationfor del círculo unidad. Esto da $ $\left ({x\sobre a}\right)^2+\left ({y\sobre b}\right)^2=1\qquad\hbox{or}\qquad {x^2\sobre a^2}+{y^2\sobre b^2}=1.$$
Por último, si queremos analizar una función que implique cambios y dilaciones, suele ser más sencillo trabajar primero con los cambios y luego con los cambios. Por ejemplo, si queremos todilate una función por un factor de $Un$ en la $x$-dirección y thenshift $C$ a la derecha, hacemos esto mediante la colocación de $x$ en primer lugar por $x/A$y, a continuación, por $(x-C)$ en la fórmula. Como un ejemplo, supongamos que,después de la dilatación de nuestro círculo unitario en $un$ en la $x$-dirección y $b$en la $y$-dirección para conseguir la elipse en el último párrafo, se thenwanted a cambio de una distancia $h$ a la derecha y a una distancia $k$hacia arriba, así como a estar centrado en el punto $(h,k)$. La nueva elipse tendría la ecuación \ \ left ({x-h\sobre a}\right)^2+\left ({y-k\sobre b}\right)^2=1.$$Tenga en cuenta que esto es diferente que la primera haciendo turnos por $h$ y $k$ andthen dilataciones por $a$ y $b$:$$\left({x\a través de una}-h\derecho)^2+\left({y\sobre b}-k\derecho)^2=1.See Véase la figura 1.4.1.
Figura 1.4.1. Puntos suspensivos: $\left({x-1\over 2}\right)^2+\left({y-1\over 3}\derecho)^2=1$ a la izquierda, $\left({x\over 2}-1\derecho)^2+\left({y\más de 3}-1\derecho)^2=1$ en el derecho.
Ejercicios 1.4
Empezando con la gráfica de $\ds y=\sqrt{x}$, la gráfica de $\ds y=1/x$, y thegraph de $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (la parte superior de la unidad de semicírculo), croquis thegraph de cada una de las siguientes funciones:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/(x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt {x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1-(x-1)^2}$
Ex 1.4.7$\ds f(x)=-4+\sqrt {(x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1-(x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1/(x-1)$
Ex 1.4.12$\ds f(x)=\sqrt{100-25(x-1)^2}+2$
La gráfica de $f(x)$ es se muestra a continuación.Dibuje los gráficos de las siguientes funciones.
Ex 1.4.13\ \ ds y = f (x-1)$
Ex 1.4.$14\ds y=1+f(x+2)$
Ex 1.4.15$\ds y=1+2f(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f(3x)$
Ex 1.4.17$\ds y=2f(3(x-2))+1$
Ex 1.4.18$\ds y=(1/2)f(3x-3)$
Ex 1.4.19 ¿por$\ds y=f(1+x/3)+2$
