Cuerdas, ondas estacionarias y armónicos

Introducción: vibraciones, cuerdas, tubos, percusión….

¿Cómo hacemos sonidos musicales? Para hacer un sonido, necesitamos algo que vibre. Si queremos hacer notas musicales, normalmente necesitamos que la vibración tenga una frecuencia casi constante: eso significa un tono estable. También queremos una frecuencia que pueda ser fácilmente controlada por el jugador. En instrumentos electrónicos, esto se hace con circuitos eléctricos o con relojes y memorias. En instrumentos no electrónicos, la vibración estable y controlada es producida por una onda estacionaria. Aquí discutimos la forma en que funcionan las cuerdas. Esta también es una introducción útil para estudiar instrumentos de viento, porque las cuerdas vibrantes son más fáciles de visualizar que la vibración del aire en instrumentos de viento. Ambos son menos complicados que las vibraciones de las barras y pieles de la familia de percusión. Para la física de las ondas estacionarias, hay un tutorial multimedia.

Ondas viajeras en cuerdas

Las cuerdas en el violín, piano, etc. se estiran firmemente y vibran tan rápido que es imposible ver lo que está sucediendo. Si puedes encontrar un resorte largo (un juguete conocido como «slinky» funciona bien) o varios metros de manguera de goma flexible, puedes probar algunos experimentos divertidos que harán que sea fácil entender cómo funcionan las cuerdas. (El caucho blando es bueno para esto, las mangueras de jardín no son lo suficientemente flexibles.) Primero sostenga o sujete un extremo y luego, sosteniendo el otro extremo en una mano, estírelo un poco (no demasiado, un poco de pandeo no dolerá). Ahora tire de él a un lado con la otra mano para hacer una torcedura, y luego suéltelo. (Esto, en cámara lenta, es lo que sucede cuando arrancas una cuerda.) Probablemente verás que la torcedura viaja por la «cuerda», y luego vuelve a ti. De repente, tirará de tu mano hacia un lado, pero, si la sostienes con firmeza, se reflejará de nuevo.

En primer lugar, notará que la velocidad de la onda en la cuerda aumenta si la estira con más fuerza. Esto es útil para afinar instrumentos , pero nos estamos adelantando a nosotros mismos. También depende del» peso » de la cuerda: viaja más lentamente en una cuerda gruesa y pesada que en una cuerda ligera de la misma longitud bajo la misma tensión. (Estrictamente, es la relación de tensión a masa por unidad de longitud la que determina la velocidad, como veremos a continuación.)

A continuación, echemos un vistazo de cerca al reflejo en el extremo fijo. Notarás que si al principio tiras de la cuerda hacia la izquierda, la torcedura que se aleja de ti está hacia la izquierda, pero regresa como una torcedura hacia la derecha: el reflejo se invierte. Este efecto es importante no solo en instrumentos de cuerda, sino también en vientos y percusión. Cuando una onda encuentra un límite con algo que no se mueve o cambia (o que no cambia fácilmente), el reflejo se invierte. (El hecho de que esté invertido da un desplazamiento cero al final. Sin embargo, la reflexión con cualquier cambio de fase dará una onda estacionaria.)

Cuerdas pulsadas

Si pulsas una de las cuerdas en una guitarra o bajo, estás haciendo algo similar, aunque aquí la cuerda se fija en ambos extremos. Tira de la cuerda en un punto, luego suéltala como se muestra. El movimiento que sigue es interesante, pero complicado. El movimiento inicial se muestra a continuación. Sin embargo, los componentes de alta frecuencia del movimiento (las curvas agudas de la cuerda) desaparecen rápidamente, por lo que el sonido de una nota de guitarra se vuelve más suave un segundo o más después de arrancarla.

Bosquejo del reflejo de torceduras de viaje causadas por tocar una cuerda. En los instantes representados por (e) y (m), la cuerda es recta por lo que ha perdido la energía potencial asociada con tirarla hacia los lados, pero tiene una energía cinética máxima. Tenga en cuenta que, en las reflexiones, la fase de la torcedura se cambia en 180°: de arriba a abajo o viceversa. Observe también cómo los torceduras «se atraviesan» entre sí cuando se encuentran en el medio.

¿Por qué se invierte la reflexión? Bueno, si asumimos que está sujeto o atado a un objeto fijo, el punto de reflexión en realidad no se movió. Pero mira el movimiento de la cuerda comparando los diferentes tiempos representados en los bocetos de la izquierda. Tenga en cuenta que la cuerda detrás de la torcedura se mueve hacia atrás hacia la posición tranquila (hacia abajo en el boceto). A medida que el pliegue se acerca al extremo, se vuelve más pequeño y, cuando llega al extremo inmóvil, no hay pliegue en absoluto: la cuerda está recta por un instante. Pero la cuerda todavía tiene su impulso hacia abajo, y eso la lleva más allá de la posición de reposo, y produce un doblez en el otro lado, que luego se mueve hacia atrás en la otra dirección. (El movimiento de las ondas en las cuerdas se describe con más detalle en Travelling Waves, que tiene clips de película y animaciones. En esta página, sin embargo, nos concentraremos en las implicaciones musicales. )

Como se mencionó anteriormente, este movimiento solo se observa inmediatamente después del desplume. A medida que los componentes de alta frecuencia pierden energía, las torceduras agudas desaparecen y la forma se aproxima gradualmente a la del modo fundamental de vibraiton, que analizamos a continuación.

Una cuerda arqueada se comporta de manera bastante diferente

Primero, tiene una fuente continua de energía, y por lo tanto puede mantener el mismo movimiento indefinidamente (o al menos hasta que se agote el arco. En segundo lugar, la forma de cuerda requerida para que coincida con el arco que se mueve uniformemente es diferente.

Un boceto del reflejo de torceduras de viaje causadas por el arqueo de una cuerda. Vea la animación y una explicación de la interacción arco-cuerda en Arcos y cuerdas

Ondas viajeras y ondas estacionarias

Un efecto interesante se produce si intentas enviar una onda simple a lo largo de la cuerda agitando repetidamente un extremo hacia arriba y hacia abajo. Si ha encontrado una manguera de resorte o de goma adecuada, pruébela. De lo contrario, mira estos diagramas.


La animación muestra la interacción de dos ondas, con igual frecuencia y magnitud, que viajan en direcciones opuestas: azul a la derecha, verde a la izquierda. La línea roja es su suma: la onda roja es lo que sucede cuando las dos ondas viajantes se suman (superponer es el término técnico). Al detener la animación, puede comprobar que la onda roja es realmente la suma de las dos ondas viajantes que interactúan.

La figura de la derecha es el mismo diagrama representado como una secuencia de tiempo: el tiempo aumenta de arriba a abajo. Se podría pensar que representa una serie de fotografías de las olas, tomadas muy rápidamente. La onda roja es lo que veríamos en esas fotografías.

Supongamos que el límite de la mano derecha es una pared inmóvil. Como se mencionó anteriormente, la onda se invierte en la reflexión, por lo que, en cada «fotografía», el azul más verde se suma a cero en el límite de la mano derecha. La onda reflejada (verde) tiene la misma frecuencia y amplitud, pero viaja en la dirección opuesta.

En el extremo fijo se añaden para no dar movimiento-desplazamiento cero: después de todo, es esta condición de inmovilidad la que causa la reflexión invertida. Pero si nos fijamos en la línea roja de la animación o en el diagrama (la suma de las dos ondas), veremos que hay otros puntos en los que la cuerda nunca se mueve. Ocurren a media longitud de onda de distancia. Estos puntos inmóviles se denominan nodos de la vibración y desempeñan un papel importante en casi todas las familias de instrumentos. A medio camino entre los nodos hay antinodos: puntos de máximo movimiento. Pero tenga en cuenta que estos picos no viajan a lo largo de la cuerda: la combinación de dos ondas que viajan en direcciones opuestas produce una onda estacionaria.

Esto se muestra en la animación y en la figura. Tenga en cuenta las posiciones (nodos) donde las dos ondas viajantes siempre se cancelan, y las otras (antinodos) donde se suman para dar una oscilación con amplitud máxima.

Se podría pensar en este diagrama como una representación (no a escala) del quinto armónico en una cuerda cuya longitud es el ancho del diagrama. Esto nos lleva al siguiente tema.

Armónicos y modos

La cuerda de un instrumento musical está (casi) fija en ambos extremos, por lo que cualquier vibración de la cuerda debe tener nodos en cada extremo. Ahora eso limita las posibles vibraciones. Por ejemplo, la cuerda con longitud L podría tener una onda estacionaria con longitud de onda dos veces más larga que la cuerda (longitud de onda λ = 2L) como se muestra en el primer boceto de la siguiente serie. Esto da un nodo en cada extremo y un antinodo en el medio.

Este es uno de los modos de vibración de la cuerda («modo de vibración» solo significa estilo o forma de vibración). ¿Qué otros modos se permiten en una cadena fija en ambos extremos? Varias ondas estacionarias se muestran en el siguiente boceto.



Un boceto de los primeros cuatro modos de vibración de una cuerda estirada idealizada* de longitud fija. El eje vertical ha sido exagerado.

veamos las relaciones entre las frecuencias de estos modos. Para una onda, la frecuencia es la relación entre la velocidad de la onda y la longitud de la onda: f = v / λ. En comparación con la longitud de la cuerda L, se puede ver que estas ondas tienen longitudes 2L, L, 2L / 3, L/2. Podríamos escribir esto como 2L / n, donde n es el número del armónico.

La fundamental o primer modo de frecuencia f1 = v/λ1 = v/2L,
El segundo armónico tiene la frecuencia f2 = v/λ2 = 2v/2L = 2f1
El tercer armónico tiene la frecuencia f3 = v/λ3 = 3v/2L = 3f1,
El cuarto armónico tiene frecuencia f4 = v/λ4 = 4v/2L = 4f1, y, para generalizar,

La n-ésima armónica tiene la frecuencia fn = v/λn = nv/2L = nf1.

Todas las ondas de una cuerda viajan a la misma velocidad, por lo que estas ondas con diferentes longitudes de onda tienen diferentes frecuencias como se muestra. El modo con la frecuencia más baja (f1) se llama fundamental. Tenga en cuenta que el enésimo modo tiene frecuencia n veces la de la fundamental. Todos los modos (y los sonidos que producen) se llaman armónicos de la cuerda. Las frecuencias f, 2f, 3f, 4f, etc. se denominan series armónicas. Esta serie será familiar para la mayoría de los músicos, particularmente para los cornetas y los instrumentistas de cuernos naturales. Si, por ejemplo, la fundamental es la nota C3 o la viola C (una frecuencia nominal de 131 Hz: consulte este enlace para ver una tabla), entonces los armónicos tendrían las alturas que se muestran en la siguiente figura. Estos tonos se han aproximado al cuarto de tono más cercano. Las octavas son exactamente octavas, pero todos los demás intervalos son ligeramente diferentes de los intervalos en la escala templada igual.

La figura muestra la notación musical de los primeros doce armónicos en una cuerda en Do. Cuando reproduzcas el archivo de sonido, escucha atentamente el tono. Los armónicos séptimo y undécimo caen aproximadamente a medio camino entre notas en la escala temperada igual, y por lo tanto se han anotado con medio sostenido.

Puede producir estos tonos en una cuerda estirada: es más fácil en las cuerdas graves de una guitarra, violonchelo o bajo*. Toque la cuerda ligeramente en un punto 1 / n de su longitud desde el extremo (donde n es 1, 2, 3, etc.), luego incline la cuerda cerca del extremo. Alternativamente, toque la cuerda muy ligeramente en un punto 1 / n de su longitud desde el extremo, puntee la cuerda cerca del extremo y suelte el primer dedo tan pronto como haya punteado. Tocar la cadena produce un nodo donde se toca, y así se excita (principalmente) el modo que tiene un nodo allí. Encontrarás que puedes tocar melodías de corneta usando armónicos de dos a seis cuerdas.

(*Si acabas de hacer este experimento, es posible que hayas notado algunas peculiaridades. El duodécimo traste, que se usa para producir la octava, está a menos de la mitad de la longitud de la cuerda, por lo que la posición en la que toca la cuerda para producir el segundo armónico, a mitad de camino a lo largo de la cuerda, no está directamente encima del traste de la octava. Dije cuerda «idealizada» arriba, lo que significa una cuerda que es completamente flexible y, por lo tanto, se puede doblar fácilmente en cualquier extremo. En la práctica, las cuerdas tienen una rigidez de flexión finita y, por lo tanto, su longitud efectiva (la «L» que debe usarse en las fórmulas anteriores) es un poco menor que su longitud física. Esta es una de las razones por las que las cuerdas más grandes generalmente tienen un bobinado sobre un núcleo delgado, por qué el puente generalmente está en un ángulo que da a las cuerdas más gruesas longitudes más largas y por qué la cuerda Sol (sólida) en una guitarra clásica tiene una afinación deficiente en los trastes más altos. También hay un efecto debido al estiramiento adicional de una cuerda cuando se empuja hacia abajo al diapasón, un efecto que es considerable en las cuerdas de acero.)

Un ejercicio para guitarristas. En una guitarra afinada de la manera habitual, la cuerda en Si y la cuerda en Mi alta están afinadas aproximadamente a los armónicos 3 y 4 de la cuerda en Mi baja. Si toca la cuerda Mi baja en cualquier lugar excepto en un tercio del camino, la cuerda Si debe comenzar a vibrar, impulsada por las vibraciones en el puente desde el armónico de la primera cuerda. Si toca la cuerda de Mi baja en cualquier lugar excepto un cuarto del camino, la cuerda de Mi superior debe manejarse de manera similar.

Afinación armónica en guitarras

Los guitarristas a menudo comienzan a afinar de la siguiente manera: primero afinar el 4º armónico de la cuerda Mi baja, el 3º de la cuerda La y el Mi superior, todo a la misma nota. La figura de la derecha muestra la serie armónica en las dos cuerdas más bajas. A continuación afinan la cuerda Si (B3) al 3er armónico de la primera (E2); luego afinan el 4to armónico de la cuerda A al 3er armónico de la cuerda Re. Este método no se puede extender con éxito a la cuerda Sol porque generalmente es demasiado gruesa y rígida, por lo que se afina mejor por octavas, utilizando los trastes. Por varias razones (ver las notas al final de esta página), este método de afinación es solo aproximado, y uno necesita volver a afinar las octavas después. La mejor afinación suele ser un compromiso que debe hacerse después de considerar qué acordes tocarás y dónde tocarás en el diapasón.

Afinación de guitarra por armónicos. (Estos son lanzamientos reales: la música de guitarra generalmente se transpone una octava.)

Los armónicos en la música

Los compositores a menudo piden tales armónicos en instrumentos de cuerda: el más común es el «toque cuarto». Con un dedo, el intérprete detiene la cuerda para producir la longitud requerida para una nota en particular, y luego, con otro dedo, toca la cuerda muy ligeramente en la posición requerida para la nota cuatro notas más altas en la escala (de ahí el nombre). Esta posición es un cuarto del camino a lo largo de la cuerda, por lo que produce el cuarto armónico de la nota detenida. El cuarto armónico tiene cuatro veces la frecuencia fundamental, por lo que es dos octavas más alta. Para los instrumentistas de cuerdas, los armónicos se llaman «naturales»; cuando se tocan en cuerdas abiertas y» artificiales»; si el ejecutante debe detener la cuerda. El diagrama muestra cómo se toca un cuarto toque natural, y la notación para el cuarto toque en el violín Una cuerda. El eje vertical del diagrama se ha exagerado para mayor claridad.


Abra una cuerda tocada normalmente, luego toque la cuarta en esta cuerda (4º armónico)

El tono de una nota está determinado por la rapidez con la que vibra la cuerda. Esto depende de cuatro cosas:

• Las cuerdas más gruesas y masivas vibran más lentamente. En violines, guitarras, etc., la longitud abierta de la cuerda no cambia, y por lo general la tensión tampoco cambia mucho (son casi igual de difíciles de empujar hacia abajo). Así que las cuerdas de tono bajo son más gruesas.
• La frecuencia aumenta con la tensión en la cuerda. Así es como afinas el instrumento, usando cabezales de máquina o clavijas de afinación: más apretado da un tono más alto.
• La longitud de la cuerda que es libre de vibrar también es importante. Cuando deje de una cadena contra el diapasón de un violonchelo, por ejemplo, acortar la longitud efectiva y así elevar el tono.
• también puede cambiar el tono cambiando el modo de vibración. Cuando juegas armónicos, se induce la cadena para producir ondas que son una fracción de la longitud de las personas normalmente producida por una cadena de longitud.

  Podemos poner todo esto en una expresión simple. Si la parte vibrante de la cuerda tiene una longitud L y una masa M, si la tensión en la cuerda es F y si tocas el enésimo armónico, entonces la frecuencia resultante es

  fn = (n/2L)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  En instrumentos como el violín y la guitarra, la longitud abierta y la tensión son bastante similares para todas las cuerdas. Esto significa que, para hacer una cuerda una octava más baja, manteniendo la misma longitud, debe cuadruplicar la relación M/L. Si las cuerdas están hechas del mismo material, esto significa duplicar el diámetro. Sin embargo, las cuerdas de grasa generalmente son compuestas: un núcleo delgado envuelto con devanados para hacerlos más masivos sin hacerlos más difíciles de doblar.

  Veamos de dónde viene esta expresión. La onda viaja una distancia λ en un período T de la vibración, por lo que v = λ / T. La frecuencia f = 1/T = v/λ. Así que f = v / λ. También vimos que, para la frecuencia fundamental f1, la longitud de la cuerda es λ/2, por lo que f1 = v/2L. La velocidad de onda está determinada por la tensión de la cuerda F y la masa por unidad de longitud o densidad lineal μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL/M)1/2. Así que f1 = ½ (F/LM)1/2. Multiplicando ambos lados por n se obtienen las frecuencias de los armónicos citados anteriormente.

  Podemos reorganizar esto para dar la tensión de la cadena: F = 4f12LM.

Complicaciones con la afinación armónica

Hay varios problemas con cualquier afinación de guitarra, incluido el uso de armónicos sugerido anteriormente.

La aproximación más obvia está relacionada con el temperamento: si las cuerdas de guitarra fueran ideales y los trastes idealmente espaciados para temperamento igual, afinar las cuartas armónicas a los pares E-A y A-D, más dos semitonos templados iguales en la cuerda D, haría que el intervalo entre el Mi más bajo y el 2do traste en la cuerda D fuera de 4 centavos planos ((4/3)222/12=1.996). Esto llevaría a latidos de interferencia a velocidades de orden una cada varios segundos.

Otra complicación obvia con la afinación armónica es que las cuerdas no se doblan con total facilidad sobre la tuerca y el puente (como se discutió anteriormente). Vea también Cómo los armónicos son armónicos.) Como resultado, el 1er armónico en una cuerda es ligeramente más agudo que una octava, el siguiente incluso más agudo que una duodécima, y así sucesivamente. Así que afinar el cuarto ‘armónico’ de la cuerda Mi al 3er de la cuerda A hace que su intervalo abierto sea más de un cuarto armónico. Así que esto tiende a compensar el problema de temperamento.

Otro problema tiene que ver con la colocación del traste y el puente. Cuando presionas una cuerda hacia abajo en el duodécimo traste, aumentas su longitud. (Antes de presionarlo, la distancia más corta entre la tuerca y el puente. Después es más largo. Para alargarlo, has aumentado su tensión. Debido a esto, y también debido al efecto de flexión al final de la cuerda, si el traste 12 estuviera a medio camino entre la tuerca y el puente, el intervalo sería mayor que una octava. (Puede comprobarlo experimentalmente en un instrumento sin trastes.) En consecuencia, la distancia del puente al traste 12 es mayor que la de la tuerca al traste 12. El efecto difiere entre las cuerdas. En algunas guitarras eléctricas, es posible el ajuste individual de la posición de cada puente. En otras guitarras, el puente se coloca en ángulo. En una guitarra clásica, el puente recto simple necesita algún compromiso en la afinación.

Los efectos anteriores son difíciles de medir experimentalmente con la precisión requerida: los efectos son solo unos pocos centavos, que no es mucho mayor que la precisión de las orejas o los medidores de afinación cuando se aplican a una cuerda de punteo. Además, es difícil ajustar los cabezales de la máquina para lograr una precisión mejor que un par de centavos. Por otro lado, si obtienes todas las notas afinadas en un par de centavos, lo estás haciendo mejor que la mayoría de los músicos y sonará bastante bien.

Hay más problemas cuando las cadenas envejecen. Donde los dedos con la mano izquierda, recogen grasa y se vuelven más masivos (aunque también pueden perder material donde frotan en los trastes). También pueden ponerse en el lugar que usted elija. A medida que las cuerdas se vuelven no homogéneas, la afinación empeora sucesivamente. Lavarlos puede ayudar.

La forma de evitar la mayoría de estos problemas es tocar instrumentos sin trastes, pero esto hace que los acordes sean más incómodos.

La escala posiciones en la entonación. El toque en 2/9 es más seguro que en 1/9, pero no cae por encima de ninguna posición de nota de escala: está un poco por encima del tercio menor. Se invita a violistas o violonchelistas que ensayen «Practicing Infinity» (sic) de Radulescu a escribirme para obtener más sugerencias sobre técnicas para armónicos altos.

Véase también ¿Cómo son armónicos los armónicos?

Acústica de arpas

El único trabajo que hemos hecho en arpas se describe aquí.

Más información

• Las ondas estacionarias y las ondas viajeras de Physclips tienen clips de película y animaciones.
• Arcos y cuerdas (una simple introducción a esa interacción).
• Estudios de violín (más información sobre nuestros estudios de violines).
• Patrones de Chladni (resultados experimentales que muestran la vibración de las placas de violines).
• Articulación y vibrato en el violín y su importancia para el sonido del violín.
• Acústica para violín: una visión general (una introducción simple a la acústica para violín).
• Los trabajos de investigación de John McLennan, estudiante de doctorado en Acústica Musical en la UNSW.
• Una introducción a la acústica de flautas (con una discusión de armónicos en una columna de aire).