Elevar a una potencia es una multiplicación iterada. Afortunadamente, puedes encontrar el dígito de tus unidades con un patrón de multiplicación simple, incluso cuando trabajas con grandes potencias. (Para una actualización de las reglas de multiplicación de dígitos unitarios, consulte nuestra publicación en dígitos de unidades difíciles.)
Vea cómo lo hace con esta pregunta:
¿Cuál es el dígito de unidades de 5745?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Para solucionar esto, vamos a comenzar a examinar más pequeños poderes y buscar un patrón.
571 = 57 (el dígito de unidades es 7)
572 = 3,249 (el dígito de unidades es 9)
573 = 185,193 (el dígito de unidades es 3)
Aparte: Dado que estos poderes aumentan rápidamente, es útil notar que solo necesitamos multiplicar el dígito de unidades cada vez. Por ejemplo, el dígito de unidades de 572 es el mismo que el dígito de unidades de 72. De manera similar, el dígito de unidades de 573 es el mismo que el dígito de unidades de 73.
Así que, una vez que sabemos que las unidades de 572 son 9, podemos encontrar el dígito de unidades de 573 multiplicando 9 por 7 para obtener 63. Así que el dígito de unidades de 573 es 3.
Para encontrar el dígito de unidades de 574, multiplicaremos 3 por 7 para obtener 21. Así que el dígito de unidades de 574 es 1.
Cuando comenzamos a enumerar los diversos poderes, podemos ver que emerge un patrón:
- El dígito de unidades de 571 es 7
- El dígito de unidades de 572 es 9
- El dígito de unidades de 573 es 3
- El dígito de unidades de 574 es 1
- El dígito de unidades de 575 es 7
En este punto, debemos reconocer que el patrón comienza a repetirse. El patrón va: 7-9-3-1-7-9-3-1-7-9-3-1-…
Dado que el patrón se repite cada 4 potencias, decimos que el «ciclo» es igual a 4
Ahora viene una observación importante:
El dígito de unidades de 571 es 7
El dígito de unidades de 572 es 9
El dígito de unidades de 573 es 3
El dígito de unidades de 574 es 1
El dígito de unidades de 575 es 7
El dígito de unidades de 576 es 9
El dígito de unidades de 577 es 3
El dígito de unidades de 578 es 1
El dígito de unidades de 579 es 7
El dígito de unidades de 5710 es 9
El dígito de unidades de 5711 es 3
Como puede ver, desde el ciclo = 4, el dígito de unidades de 57k será 1 siempre que k sea un múltiplo de 4.
Ahora para encontrar el dígito de unidades de 5745, todo lo que necesitamos hacer es reconocer que el dígito de unidades de 5744 es 1 (ya que 44 es un múltiplo de 4).
A partir de aquí, continuaremos con nuestro patrón:
El dígito de unidades de 5744 es 1
El dígito de unidades de 5745 es 7
El dígito de unidades de 5746 es 9
El dígito de unidades de 5747 es 3 . . . sucesivamente.
Por lo tanto, el dígito de unidades de 5745 es 7, lo que significa que la respuesta es D.
