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Figura 1. Carte de visite (tarjeta de visita) alrededor de 1866 de Augusto De Morgan, firmada «ADeMorgan» por él. Fotografía de Maull y Polyblank (ver Nota). (De la colección del Dr. Sid Kolpas)
Una Breve Biografía
Augustus De Morgan (1806-1871) fue uno de los maestros de matemáticas más influyentes y exitosos del siglo XIX. Tanto para los estándares contemporáneos como para los actuales, fue un profesor extraordinario. Según Adrian Rice, en el artículo, «¿Qué hace a un Gran Profesor de Matemáticas? El caso de Augustus De Morgan, » fue un ejemplo de un gran profesor de matemáticas, uno que inculcó un amor y entusiasmo por el tema en sus estudiantes, teniendo así un profundo efecto en ellos, incluso si nunca siguieron una carrera en matemáticas. La evidencia de esa opinión proviene de los comentarios sobrevivientes de los estudiantes de De Morgan, y de algunos matemáticos de renombre que fueron influenciados por su enseñanza. Poseía esa rara combinación de perspicacia, humor y creatividad. Sus conferencias fueron concisas y lúcidas; a diferencia de muchos de sus compañeros, le importaba que sus estudiantes fueran estimulados, desafiados, inspirados e instruidos cuidadosamente con una planificación y pedagogía sólidas. Odiaba los exámenes competitivos y la falta de intercambio de conocimientos que resultaban de ellos (un problema actual en nuestras escuelas); estaba a favor del aprendizaje cooperativo. Los estudiantes informaron que sus conferencias eran ricas en humor, aplicaciones a otras disciplinas, referencias para un mayor estudio y amor por su tema. Incluso los conceptos más abstractos quedaron claros a través de su brillante uso de la analogía, la metáfora y el símil.
De Morgan nació en Madura, India. Fue educado en escuelas privadas hasta su entrada en el Trinity College de Cambridge, a los dieciséis años. Era un estudiante excelente, cerca de los mejores de su clase. Sin embargo, optó por no obtener el título de Maestría, o competir por una beca universitaria debido a su objeción de conciencia a las pruebas religiosas que se requerían a los candidatos en Cambridge. En 1828, por el mérito de sus logros académicos, recibió un nombramiento como profesor de matemáticas en la recién formada Universidad de Londres (que se convirtió en el University College de Londres). Enseñaría allí durante más de 30 años, inspirando a generaciones de estudiantes. Las generaciones posteriores de sus estudiantes se referían a él como «Gussy», la figura alta y robusta que miraba a través de gafas de borde dorado que les enseñaba apasionadamente matemáticas.
Su reputación creció debido a su enseñanza sobresaliente, alentadora y cuidadosa y sus artículos sobre temas de vanguardia, rompecabezas matemáticos, juegos, rarezas y paradojas; De Morgan fue el Martin Gardner del siglo XIX. El amor de De Morgan por los rompecabezas matemáticos y las historias llevó, póstumamente, a la publicación de su Presupuesto de Paradojas (1872); todavía está impreso. Aunque era un hombre de naturaleza gentil, también era un hombre de fuerte convicción. Luchó contra la pretensión religiosa y fue un defensor de los derechos educativos de las mujeres, pero se opuso al sufragio femenino. También creía que los estudios matemáticos avanzados eran potencialmente dañinos para la salud física de una mujer, que era una actitud generalizada hacia las mujeres en ese momento. Cada vez más liberal a medida que crecía, dio conferencias sobre matemáticas a clases de mujeres sin cargo y alentó a las mujeres, incluso dadas sus supuestas limitaciones mentales, a continuar con sus estudios matemáticos.
Gráfico 2 Dibujo de un estudiante de Augustus De Morgan dirigiendo una clase en el University College de Londres. (Esta imagen de MS ADD 7 se usa aquí con permiso de UCL Library Services, Special Collections.)
Los textos de De Morgan fueron tan sobresalientes como su enseñanza. Más de cien años después, seguirían siendo excelentes modelos curriculares. Los temas de sus textos incluyeron álgebra, trigonometría, cálculo diferencial e integral, cálculo de variaciones, probabilidad y lógica simbólica. Todos los textos son claros, interesantes y llenos de ejemplos maravillosos. Entre sus mejores publicaciones se encuentran Un Ensayo Sobre Probabilidades (1838), Cálculo (1842), Lógica Formal (1847) y Álgebra Doble (1849), que presagiaba el álgebra abstracta. Cuando no estaba trabajando duro en sus muchos artículos y libros, incluyendo una sexta parte de los artículos en la famosa Penny Cyclopaedia para la que escribió un artículo que definía el proceso de inducción matemática, De Morgan pasó tiempo en sus dos grandes pasiones: tocar la flauta y coleccionar libros de matemáticas raros. Este último pasatiempo le ayudó a convertirse en el experto de su época en la historia de las matemáticas.
En 1837 Augustus De Morgan se casó con Sophia Elizabeth Frend. Su hogar, con cinco hijos, se convirtió en el centro de un gran círculo de amigos que se reunían allí para compartir intereses intelectuales. Uno de los amigos de Augusto fue George Boole, quien junto con De Morgan fue pionero en el desarrollo de la lógica simbólica. Lógica Formal de De Morgan (1847) se publicó al mismo tiempo que el trabajo de Boole sobre el álgebra de la lógica. Ambos trabajos se ocupaban del cálculo proposicional.
De Morgan quizás es mejor recordado por «Las leyes de De Morgan», dos teoremas relacionados en lógica simbólica y teoría de conjuntos, respectivamente.
Lógica simbólica: \
Teoría de conjuntos: \
Augustus De Morgan debe ser recordado, como todos los maestros inspiradores, por la profunda influencia que tuvo en sus estudiantes; entre los que se encontraban Isaac Todhunter (1820-1884) y James Joseph Sylvester (1814-1897). También fue tutor de Ada Lovelace (1815-1852), y la animó a desarrollar sus talentos matemáticos; sintió que tenía un talento matemático superior en comparación con la mayoría de las mujeres. Fue una fuerza estimulante en el desarrollo de las matemáticas y los profesores de matemáticas, una fuerza impulsora en el desarrollo de los fundamentos lógicos de las matemáticas, y un defensor de la modernización del cálculo. Un hombre sin pretensiones, rechazó los títulos honorarios, la membresía en la Royal Society y la mezquindad política y religiosa. Su vida fue dedicada a su familia, sus amigos y sus estudiantes.
Nota: Maull & El estudio fotográfico de Polyblank en Londres fue fundado en 1854. El estudio se especializó en retratos de personajes famosos. Su trabajo más notable, Retratos Fotográficos de Celebridades Vivas, se publicó en partes desde 1856 hasta 1859. Consistía en cuarenta retratos individuales con biografías, emitidos a los suscriptores y luego encuadernados en un solo volumen por el suscriptor después de que se entregaran todas las partes; esta era una práctica popular en ese momento. Los retratos también se publicaron como grabados en el Illustrated London News. Volver a breve biografía de De Morgan.
Gráfico 3 De Morgan’s An Essay On Probabilities (1838). (De la colección del Dr. Sid Kolpas)
El algoritmo de De Morgan para Aproximar Factoriales
Los factoriales de números enteros juegan un papel importante en la teoría de la probabilidad, particularmente en permutaciones y combinaciones. Durante el siglo XIX, sin dispositivos de cálculo, estos factoriales eran difíciles de calcular para grandes números enteros. En su Ensayo sobre Probabilidades, De Morgan introdujo el algoritmo descrito en la Figura 4, a continuación, para aproximar \(n!,\) donde \(n\) es un número entero. Tenga en cuenta que \ ( \ ) es la notación de De Morgan para «\(n\) factorial» o \(n!.\ ) Así, en el primer párrafo de la Figura 4, cuando De Morgan escribió «, » se refería al factorial de un entero positivo dado.
Figura 4. Instrucciones de De Morgan para aproximar \(n!\ ) de las páginas 15-16 de su Ensayo Sobre probabilidades (Google Books)
La aproximación de Stirling de \(n!,\) donde \(n\) es un número entero, fue descubierto por el matemático escocés James Stirling (1692-1770). Stirling publicó su obra más importante, Methodus Differentialis, en 1730. Este libro trata sobre series infinitas, sumatoria, interpolación y cuadratura. La siguiente fórmula para \(n!,\) por el que Stirling se ha hecho conocido, aparece como Ejemplo 2 de la Proposición 28 del Methodus Differentialis. La aproximación de Stirling establece que \
El algoritmo de De Morgan proporcionó instrucciones paso a paso para calcular la aproximación a \(n!\ ) dada por la Fórmula de Stirling.
Figura 5. Portada del Methodus Differentialis de Stirling (Google Books)
Que hace referencia al algoritmo de De Morgan para aproximar \(n!\ ) y observando que \(0.4342945\) es una aproximación de \(\log_{10} e,\) y \(0.7981799\) es una aproximación de \(\log_{10} (2\pi),\) tenemos:
- Tome el logaritmo base 10 del número \(n\), y reste \(0.4342945\) de él: \(\log n – \log e = \log \left(\frac{n}{e}\right).\)
- Multiplique el resultado por\ (n\):\(n \log\left (\frac{n}{e} \right)= \log\left (\frac{n}{e}\right)^n.\)
- A \(\log n\) agregue\ (0.7981799\): \(\log n + \log 2 \pi = \log 2n \ pi.\)
- Tome la mitad de esta suma: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\)
- Agregue los resultados de los pasos 2 y 4: \
- Desde \(\log n!\sim \ log \ sqrt{2n \ pi} \ left (\frac{n}{e}\right)^n,\) y luego \ (n!\sim \ sqrt{2n \ pi} \ left (\frac{n}{e}\right)^n,\) que es la fórmula de Stirling.
- Esta aproximación de \(n!\ ) es un poco demasiado pequeño; para mejorarlo, agregue \({\frac{1}{12n}}\) de él a sí mismo: \
Una Carta de De Morgan Relativa a la Historia de las Matemáticas
Como se señaló anteriormente, Augustus De Morgan fue un colaborador frecuente de la Cyclopaedia Penny, contribuyendo con más de 700 artículos a los 27 volúmenes de la Cyclopaedia, publicados de 1828 a 1843.
Gráfico 6 The Penny Cyclopaedia, Volumen 26, contiene un artículo de De Morgan sobre el texto matemático indio Viga Ganita. (Google Books)
Una de las últimas entradas de De Morgan en la Penny Cyclopaedia fue un artículo titulado «VIGA GANITA» que apareció en las páginas 318-326 del Volumen 26, publicado en 1843 (de fácil acceso a través de Google Books). De Morgan admitió al principio de este artículo que discutiría mucho más que la Viga Ganita (ahora transliterada más a menudo como Bījagaṇita o Bīja-gaṇita), un trabajo sobre álgebra del matemático y astrónomo indio del siglo XII Bhascara (ahora conocido generalmente como Bhāskara II), que durante mucho tiempo se creía que había vivido y trabajado en un famoso observatorio astronómico en Ujjain. De hecho, De Morgan escribió que su plan era aprovechar el lugar de la letra «V» cerca del final del alfabeto para reportar la más reciente erudición sobre la «ciencia astronómica y aritmética de los hindúes» (p. 318). La espera puede no haber valido la pena, porque lo que De Morgan tuvo que escribir fue «un relato de los extremos de opinión más singulares» (p. 318) – una historia de mucho desacuerdo entre los eruditos, al menos algunos de los cuales él consideraba bastante sesgados.
En este artículo, De Morgan dio tres posibilidades para la identidad y el siglo del astrónomo y matemático indio Varāhamihira, que le interesaba porque (p. 320):
Los escritores más citados por los astrónomos hindúes llevan los nombres de Varaha – mihira y Brahmegupta.
Ahora se cree que Varāhamihira vivió durante el siglo VI y Brahmagupta durante el siglo VII. Durante mucho tiempo se pensó que ambos vivieron y trabajaron en Ujjain en un famoso observatorio astronómico, al igual que Bhaskara II siglos más tarde. Sin embargo, como la historiadora de astronomía y matemáticas de la India, Kim Plofker, informó en su libro de 2009, Matemáticas en la India, no hay evidencia de que ninguno de los tres astrónomos viviera en Ujjain o que incluso hubiera un observatorio astronómico allí (pp.318-319, 326).
Sin embargo, lo que De Morgan sabía en 1843 era que el muy respetado Indólogo Henry Thomas Colebrooke y los «astrónomos de Ujein» estaban de acuerdo en las fechas de Varāhamihira (y Brahmagupta), pero que otros colocaron Varāhamihira siglos antes o después («VIGA GANITA», p. 320):
De sus datos astronómicos, Colebrooke infiere que Varaha-mihira escribió a finales del siglo V, que es también la fecha que le asignaron los astrónomos de Ujein. Var Hay otro Varaha-mihira, a quien los mismos astrónomos sitúan en el año 200 d. C. Pero la tradición popular sitúa a Varaha-mihira en la época de Vicramaditia (56 a.C.), y nombra, como se notará más adelante, a varios de sus contemporáneos.
Colebrooke murió en 1837. Su protegido Horace Hayman Wilson se convirtió en el primer profesor Boden de Sánscrito en la Universidad de Oxford en 1832; sin embargo, como se muestra en la Figura 7, a continuación, Wilson había escrito en 1835 que Varāhamihira vivió durante el primer siglo a. C.
Figura 7. De A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), por H. H. Wilson, página 25, párrafo 43. Aquí, Wilson situó a Varāhamihira en el 56 a. C. o un poco más tarde. «Ougein» de Wilson se convirtió en «Ujein» en el artículo de De Morgan y ahora se conoce como Ujjain. (Google Books)
En la siguiente carta de De Morgan a Wilson, De Morgan intentó confirmar las creencias de Wilson sobre la identidad y el siglo de Varāhamihira, probablemente por su artículo de Penny Cyclopaedia antes de su publicación.
Gráfico 8 Carta de Augustus De Morgan a S. S. Wilson. Tenga en cuenta que la firma de De Morgan al final de la carta es idéntica a la de la tarjeta de visita de la Figura 1. (De la colección del Dr. Sid Kolpas)
Transcripción de la Carta de De Morgan
Sir
Con muchas disculpas por molestarlo, totalmente desconocido para usted como yo, me tomo la libertad de hacerle una pregunta sobre su manual de historia , un trabajo que he consultado a menudo para fechas orientales, y que, debido a la conveniencia de esas mismas fechas, he recomendado como útil para el estudiante de historia matemática en el tratado que lo acompaña, que ruego acepte.
Página 25 43 . ¿Considera a Varaha-Mihira como el escritor astronómico de ese nombre, o el de ese nombre, cuya edad es discutida por Colebrooke, y a quien Bentley y un escritor francés citado por Delambre tendrán (en contra de la opinión de Colebrook, según tengo entendido) como el autor del Surya Siddhanta? o cree que hay una probabilidad razonable de que sea el mismo.
Sigo siendo Señor
Su fiel servidor
ADeMorgan
69 Gower Street
5 de abril de 1843
No sabemos si De Morgan recibió una respuesta de Wilson o, si es así, cuál fue. La referencia de De Morgan a la» tradición popular » en su artículo en la Penny Cyclopaedia en lugar de referirse a Wilson por su nombre puede indicar que Wilson se apartó de su afirmación de que Varāhamihira vivió alrededor del 56 a.C.
Notas sobre la Carta de De Morgan y Su Transcripción
Nota 1. Manual de Historia y Cronología Universales, para Uso de las Escuelas. H. H. Wilson, M. A., Profesor Boden de Sanscrit, Oxford. Londres: Whittaker, 1835. Wilson fue un protegido de Colebrooke (ver Nota 4, abajo) y se convirtió en el primer Profesor Boden de Sánscrito en la Universidad de Oxford en 1832.
Nota 2. El pasaje de Un Manual de Historia y Cronología Universales, para uso de las Escuelas, de S. S. Wilson, en la página 25, párrafo 43, se muestra en la Figura 7 supra.
Nota 3. Varāhamihira (505-587) fue un astrónomo, matemático y astrólogo indio.
Nota 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) fue un indólogo inglés especialmente interesado en la religión, la lingüística y la astronomía. De Morgan escribió en su artículo de Cyclopaedia, » Mr. Colebrooke fue uno de los más eminentes eruditos sánscritos, un infatigable anticuario indio, y más que bien informado en matemáticas y astronomía» (p. 319). Después de pasar más de 30 años (1783-1814) en la India, Colebrooke regresó a Inglaterra, donde publicó Álgebra, con Aritmética y Medición, del Sanscrito de Brahmegupta y Bhascara (Londres, 1817) y cofundó la Royal Astronomical Society en 1820 y la Royal Asiatic Society en 1823.
Nota 5. John Bentley fue un indólogo inglés del que De Morgan escribió despectivamente en su artículo «VIGA GANITA». Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) fue un célebre astrónomo francés, autor de libros sobre la historia de la astronomía desde la antigüedad hasta el siglo XVIII.
Nota 6. El Sūrya-Siddhānta, un manual de astronomía que discute lo que llamamos seno, coseno y tangente, fue asumido por algunos como una de las obras menos conocidas de Varāhamihira. Plofker (2009) situó el Sūrya-Siddhānta o «tratado del Sol» alrededor del año 800 d. C., » compuesto o revisado a partir de una obra anterior del mismo nombre …. Este Sūrya-Siddhānta anterior se conservó parcialmente» en una obra del siglo VI de Varāhamihira (pág. 71).
Volver a la transcripción de la carta de De Morgan
Augustus De Morgan. Un Presupuesto de Paradojas. Londres: Longmans, Green and Company, 1872.
Augustus De Morgan. Un Ensayo Sobre Probabilidades. London: Longman, Browne, Brown, Green and Longmans, and John Taylor, 1838.
, «Viga Ganita», Penny Cyclopaedia de la Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil, vol. 26 (1843), pp 318-326.
Sophia De Morgan. Memorias de Augustus De Morgan. Londres: Longmans, Green and Company, 1882.
James Essinger. Algoritmo de Ada: Cómo la Hija de Lord Byron, Ada Lovelace, Lanzó la Era Digital. Londres: Gibson Square Ltd., 2014.
El Museo J. Paul Getty. «Maull y Polyblank.»
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
Colaboradores de New World Encyclopedia, «Henry Thomas Colebrooke,» New World Encyclopedia, última actualización el 24 de febrero de 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O’Connor y E. F. Robertson. «Augustus De Morgan,» MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Mathematics in India (en inglés). Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. «¿Qué Hace a un Gran Profesor de Matemáticas? El caso de Augustus De Morgan.»The American Mathematical Monthly. Vol. 106, No. 6 (Jun. – Jul., 1999), págs. 534 a 552.
Horace Hayman Wilson. Manual de Historia y Cronología Universales, para Uso de las Escuelas. Londres: Whittaker and Co., 1835.
