Eso realmente depende de lo que quieres decir con «infinito». Si te refieres a \ \ infty$, entonces no es un número, sino más bien una abreviatura del concepto de que una cantidad (generalmente un número natural o real) crece más allá de cualquier límite finito. Como tal, no se puede multiplicar por nada, y especialmente no por sí mismo. Hay, sin embargo, varios sistemas aritméticos que tienen elementos más grandes que cualquier suma finita de la forma 1 1+1+\cdots +1$, y por lo tanto merecen ser llamados de tamaño infinito. Te contaré sobre tres de ellos (un poco simplificados, pero con suerte no directamente incorrectos).
El primero son los cardenales. Significan cuán grande es algo (un conjunto). Un cardenal finito es solo un número natural (que significa «el tamaño de un conjunto con tantos elementos»), pero también hay cardenales ininitas. El cardenal infinito más pequeño es \ \ aleph_0$, el tamaño del conjunto de números natruales.
La adición de cardenales funciona de la manera en que se espera que la adición de tamaños funcione, es decir, poner los dos conjuntos uno al lado del otro, y contar cuántos elementos hay en total. Más específicamente, si tiene dos números cardinales $\kappa_1, \kappa_2$, cada uno simbolizando el tamaño de los dos conjuntos $X_1, X_2$, entonces el cardenal $\kappa_1+\kappa_2$ es la cardinalidad de la inconexión de la unión $X_1\sqcup X_2$, o lo que es equivalente, el conjunto de pares $(x_i, i)$ donde $x_i \en X_i$ y $i \in \{1, 2\}$.
La multiplicación de cardenales funciona de la siguiente manera: $\kappa_1\cdot\kappa_2$ es el tamaño del conjunto $X_1\times X_2$, el conjunto de pares $x_1, x_2$ con $x_1,\en X_1$ y $x_2\en X_2$. Si la mayor de $\kappa_1$ y $\kappa_2$ es infinito, entonces $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)$. Esto significa que, si $\kappa$ es un infinito cardenal, $\kappa^2 = \kappa$, por lo que también recibe $\sqrt\kappa = \kappa$.
(también puede definir los exponentes: $\kappa_1^{\kappa_2}$ es el tamaño del conjunto de todas las posibles funciones de la forma $X_2$ a $X_1$. Por ejemplo, $2$ es un elemento de conjunto, por lo que $\kappa^2$ es el conjunto de funciones de un conjunto de dos elementos de $\kappa$. Una función de un conjunto de dos elementos es lo mismo que un par ordenado, por lo que en realidad es lo mismo que $\kappa\cdot \kappa$. Genial, ¿eh?)
El segundo son los ordinales. Significan orden de objetos. Sin embargo, no todos los ordenamientos, sino los ordenamientos donde cualquier subconjunto tiene un elemento más pequeño, los llamados ordenamientos de pozo. De nuevo, un ordinal finito es solo un número natural (que significa «el orden de todos los números naturales más pequeños»), pero al igual que la última vez, hay ordinales infinitos, el más pequeño de los cuales se llama \\omega_00, o simplemente \ \ omega., y significa el orden de los números naturales.
Además de los números ordinales se realiza de la siguiente manera: Si $\gamma \lambda$ son ordinales, entonces $\gamma + \lambda$ es el orden conseguido poniendo $\gamma$ frente $\lambda$. Por ejemplo, $1 + \omega is es lo mismo que $ \ omega because, porque si tomas los números naturales y pones un elemento delante de todos ellos, tienes algo que, en lo que respecta al orden, se ve exactamente igual que los números naturales en sí. Sin embargo, \ \ omega + 1 means significa poner un solo elemento después de todos los números naturales, que es un orden diferente.
Multiplicación funciona de la siguiente manera: $\gamma\cdot \lambda$ es el ordinal obtenemos tomando $\lambda$, sustituyendo cada elemento en el que el pedido de una copia de $\gamma$ y, a continuación, agregue en ese orden (es decir, póngalos uno tras otro) (especificamos que trabaje de izquierda a derecha). De esa manera, 2 2\cdot \omega means significa tomar los números naturales, intercambiar cada uno de los números por dos números, y luego poner todos estos pares uno tras otro. Esto nos da omega \ omega back de vuelta. Sin embargo, $\omega\cdot 2 means significa tomar un par ordenado, intercambiar cada uno de los dos elementos con una copia de los números naturales, y luego colocar una copia tras otra. Esto es lo mismo que obtendrías calculando \ \ omega + \ omega omega.
En este marco, la multiplicación y adición de ordinales infinitos no es tan trivial como para los cardenales. Tenemos, por ejemplo, $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\omega + \cdots $, que es el más pequeño infinito cuadrado perfecto ordinal. Al igual que con los números naturales en sí, hay algunos ordinarios que tienen una raíz cuadrada, y otros que no. Específicamente, $ \ omega not no tiene una raíz cuadrada.
(También puede definir exponentes para ordinales: En este caso, $\gamma^\lambda$ es el ordinal tenemos si tenemos $\lambda$, vuelva a colocar cada elemento en ejemplares de $\gamma$, y los multiplicamos todos juntos, igual que la multiplicación se define como la suma repetida. Esto hace que $\omega^2 = \omega\cdot \omega$. Genial, ¿eh? Nótese que mientras que la suma ordinal y cardinal y la multiplicación son algo similares, sus nociones de exponenciación son muy diferentes.)
Por último, te contaré sobre los números surrealistas. Mientras que los ordinarios y cardenales se usan mucho en la teoría de conjuntos, los números surrealistas son más una curiosidad. También son un poco más difíciles de entender. Sin embargo, me gustan mucho, así que aquí hay un breve resumen.
Un surrealista número $x$ se compone de un par ordenado de conjuntos escrito $\langle L_x\mediados de R_x\rangle$, donde $L_x$ llamado la izquierda conjunto de $x$ y $R_x$ es llamado el conjunto de la derecha. Estos conjuntos son de otros surrealista de los números, con el requisito de que, si $x_l \en L_x$ y $x_r\en R_x$, entonces tenemos $x_l < x_r$. $x$, a continuación, significa un surrealista entre la cantidad de $L_x$ y $R_x$ (el primer número de acuerdo a su generación, ver más abajo). El pedido se definen de la siguiente manera: Dados dos surrealista números $x = \langle L_x\mediados de R_x\rangle, y = \langle L_y\mediados de R_y\rangle$ decimos que $x \leq$ y iff los siguientes son verdaderas:
- no Hay $x_l\en L_x$ tales que $y \leq x_l$
- no Hay $y_r\en R_y$ tales que $y_r\leq x$
(tenga en cuenta que con el fin de evaluar $y \leq x_l$ y $y_r\leq x$, es necesario aplicar la misma definición de nuevo. Esto, en la práctica, será muy tedioso para todos, excepto para los números más simples. Este concepto recursivo vuelve al definir la suma y la multiplicación.)
En realidad, no estaba siendo muy sincero antes. Un número surrealista es una clase de equivalencia de tales pares (esto es lo que me llevó mucho tiempo apreciar realmente). Un par en sí se llama una forma de número surrealista. Dos formas $x,$ y pertenecen a la misma clase de equivalencia si $x\leq$ y y $y\leq x$.
Cada número surrealista tiene una llamada «generación». El primer número surrealista (generación 0 0.) es $0 = \langle {}\mid{} \rangle where donde los conjuntos izquierdo y derecho están vacíos. Los próximos dos surrealista números (generación $1$) $1 = \langle0\mid{}\rangle$ y $-1 = \langle{}\mediados de 0\rangle$. Generación $2$ consta de $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mediados de 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ y $2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
Aquí podemos ver las clases de equivalencia en el trabajo, porque también tenemos $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, y tenemos, por ejemplo, $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, porque a pesar de que $-1$, $\frac12$ y $-\frac12$ también están entre $-2$ y $1$, $0$ pertenece a una generación anterior. Se puede comprobar que realmente tenemos $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$, y al mismo tiempo $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, mientras que el mismo no es cierto si cambiamos de $\langle {}\mid{}\rangle$ para $\langle 0\mid 1\rangle$.
seguir haciendo más fino y más fino divisiones en todos los finita generaciones, cada número que aparece es un número de la forma $\frac un{2^b}$, una diádica fracción, hasta llegar a la primera infinito generación, $\omega$ (sí, las generaciones son ordinales), donde todos los números reales de repente pop-up (por ejemplo, $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). También conseguimos el primer ordinal infinito, $\omega$ sí, como $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, y su recíproco $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
Hasta ahora no he hablado de la aritmética. Sin eso, no hay razón para llamar a \\langle 0\mid 1\rangle \ \ frac12 and y nada más. Dado $x = \ langle L_x \ mid R_x \ rangle and y $y = \langle L_y\mid R_y\rangle rang, la suma se define recursivamente por$ $x + y = \ langle \{x + y_l: y_l \in L_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \ mid \ {x + y_r: y_r \in R_y\} \ cup \ {x_r + y:x_r\in R_x\}\rangle Multiplication La multiplicación es un poco más desordenada, así que usaré una abreviatura: x xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle where donde la resta se define como uno podría esperar, negando el número correcto y sumando. La negación se realiza negando cada elemento en los conjuntos derecho e izquierdo, e intercambiando los dos.
Al igual que con los ordinarios, $\omega^2 = \omega\cdot \omega omega es un cuadrado perfecto. Sin embargo, aquí viene la parte divertida: Cualquier número surrealista positivo tiene una raíz cuadrada. Para obtener la raíz cuadrada de $\omega$, tenemos que para algunos más definiciones (en teoría, uno podría, y debería, justificar cada uno de estos nombres mediante la realización de la adición y la multiplicación para ver de que usted consigue lo que usted debe, pero eso es un montón de trabajo):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$y entonces tenemos $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle$. Al igual, se puede definir $\frac\omega2-1, \frac\omega2-2$, y así sucesivamente, y tenemos $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2 – 3,\frac\omega2-2,\frac\omega2 – 1\rangle$. Entonces podemos definir $\frac\omega8, \frac\omega{16}$ y así sucesivamente. Por último, tenemos $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Ahora estamos en la generación omega \ omega^2..
