Teoría de nudos

Teoría de nudos, en matemáticas, el estudio de curvas cerradas en tres dimensiones, y sus posibles deformaciones sin que una parte corte a través de otra. Se puede considerar que los nudos se forman entrelazando y haciendo bucles en un trozo de cuerda de cualquier manera y luego uniendo los extremos. La primera pregunta que surge es si tal curva está verdaderamente anudada o puede simplemente desenredarse; es decir, si uno puede deformarla en el espacio en una curva estándar no anudada como un círculo. La segunda pregunta es si, de manera más general, dos curvas dadas representan nudos diferentes o son realmente el mismo nudo en el sentido de que uno puede deformarse continuamente en el otro.

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La herramienta básica para clasificar nudos consiste en proyectar cada nudo sobre un plano—representar la sombra del nudo bajo una luz—y contar el número de veces que la proyección se cruza, anotando en cada cruce qué dirección va «por encima» y cuál «por debajo».»Una medida de la complejidad del nudo es el menor número de cruces que se producen a medida que el nudo se mueve de todas las maneras posibles. El nudo verdadero más simple posible es el nudo de trébol, o nudo por encima de la cabeza, que tiene tres cruces de este tipo; el orden de este nudo se denota como tres. Incluso este nudo simple tiene dos configuraciones que no se pueden deformar entre sí, aunque son imágenes especulares. No hay nudos con menos cruces, y todos los demás tienen al menos cuatro.

El número de nudos distinguibles aumenta rápidamente a medida que aumenta el orden. Por ejemplo, hay casi 10.000 nudos distintos con 13 cruces, y más de un millón con 16 cruces, el más alto conocido a finales del siglo XX. Ciertos nudos de orden superior se pueden resolver en combinaciones, llamadas productos, de nudos de orden inferior; por ejemplo, el nudo cuadrado y el nudo abuelita (nudos de sexto orden) son productos de dos tréboles que son de la misma o opuesta quiralidad, o manivela. Los nudos que no se pueden resolver así se llaman primos.

Los primeros pasos hacia una teoría matemática de nudos fueron dados alrededor de 1800 por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Los orígenes de la teoría de nudos moderna, sin embargo, provienen de una sugerencia del matemático y físico escocés William Thomson (Lord Kelvin) en 1869 de que los átomos podrían consistir en tubos de vórtice anudados del éter, con diferentes elementos correspondientes a diferentes nudos. En respuesta, un contemporáneo, el matemático y físico escocés Peter Guthrie Tait, hizo el primer intento sistemático de clasificar nudos. Aunque la teoría de Kelvin fue finalmente rechazada junto con el éter, la teoría de nudos continuó desarrollándose como una teoría puramente matemática durante unos 100 años. Luego, un gran avance del matemático neozelandés Vaughan Jones en 1984, con la introducción de los polinomios de Jones como nuevos invariantes de nudos, llevó al físico matemático estadounidense Edward Witten a descubrir una conexión entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos. (Ambos hombres recibieron Medallas Fields en 1990 por su trabajo. En otra dirección, el matemático estadounidense (y también medallista de Fields) William Thurston estableció un vínculo importante entre la teoría de nudos y la geometría hiperbólica, con posibles ramificaciones en cosmología. Otras aplicaciones de la teoría de nudos se han hecho en biología, química y física matemática.