Al igual que una órbita elíptica, una trayectoria hiperbólica para un sistema dado se puede definir (ignorando la orientación) por su semieje mayor y la excentricidad. Sin embargo, con una órbita hiperbólica, otros parámetros pueden ser más útiles para comprender el movimiento de un cuerpo. La siguiente tabla enumera los parámetros principales que describen la trayectoria del cuerpo siguiendo una trayectoria hiperbólica alrededor de otro bajo supuestos estándar y la fórmula que los conecta.
Estas ecuaciones pueden ser inexactas. Se necesitan referencias adicionales.
| el Elemento | Fórmula | uso de v ∞ {\displaystyle v_{\infty }}
 (o un {\displaystyle un}  ), y b {\displaystyle b}  |
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|---|---|---|---|
| Estándar gravitacional parámetro | µ {\displaystyle \mu \,}
 |
v 2 ( 2 / r − 1 / a ) {\displaystyle {\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}}
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b v ∞ 2 cuna θ ∞ {\displaystyle bv_{\infty }^{2}\cuna \theta _{\infty }}
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| la Excentricidad (>1) | e {\displaystyle e}
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ℓ p r p r p − 1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}
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1 + b 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}}
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| Semi-eje mayor (<0) | un {\displaystyle a\,\!}
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1 / ( 2 / r − v 2 / μ ) {\displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )}
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− μ / v ∞ 2 {\displaystyle -\mu /v_{\infty }^{2}}
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| Hiperbólico exceso de velocidad | v ∞ {\displaystyle v_{\infty }}
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− μ / a {\displaystyle {\sqrt {-\mu /un}}}
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| (Externo) Ángulo entre asíntotas | 2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }}
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2 cos − 1 ( − 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)}
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π + 2 tan − 1 ( b / a ) {\displaystyle \pi +2\bronceado ^{-1}(b/a)}
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| El ángulo entre las asíntotas y el eje conjugado de la hiperbólico ruta de enfoque |
2 ν {\displaystyle 2\nu }
 |
2 θ ∞ − π {\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi }
 |
2 el pecado − 1 ( 1 ( 1 + r p ∗ v ∞ 2 / µ ) ) {\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}*v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}
 |
| el parámetro de Impacto (semi-eje menor) | b {\displaystyle b}
|
− a e 2 − 1 {\displaystyle -un{\sqrt {e^{2}-1}}}
 |
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| Semi-latus recto | ℓ {\displaystyle \ell }
 |
y ( e 2 − 1 ) {\displaystyle a(e^{2}-1)}
 |
− b 2 / a = h 2 / µ {\displaystyle -b^{2}/a=h^{2}/\mu }
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| Periapsis distancia | p r p r p {\displaystyle r_{p}}
 |
y ( 1 − e ) {\displaystyle una(1-e)}
 |
a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}
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| Específico de energía orbital | ε {\displaystyle \varepsilon }
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− μ / 2 {\displaystyle -\mu /2a}
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v ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_{\infty }^{2}/2}
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| Específicos momento angular | h {\displaystyle h}
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μ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}
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b v ∞ {\displaystyle bv_{\infty }}
 |
Semi-eje mayor, la energía y la hiperbólica exceso de velocityEdit
Véase también: energía Característica
El semi eje mayor ( un {\displaystyle a\,\!}
) no es inmediatamente visible con una trayectoria hiperbólica, pero se puede construir ya que es la distancia desde el periapsis hasta el punto donde se cruzan las dos asíntotas. Generalmente, por convención, es negativo, para mantener varias ecuaciones consistentes con órbitas elípticas.
El semieje mayor está directamente vinculado a la energía orbital específica (ϵ {\displaystyle \epsilon \,}
) o energía característica C 3 {\displaystyle C_{3}}
de la órbita, y a la velocidad a la que el cuerpo alcanza a medida que la distancia tiende al infinito, el exceso de velocidad hiperbólica (v ∞ {\displaystyle v_{\infty }\,\!}
). v ∞ 2 = 2 ϵ = C 3 = − µ / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /un}
o = − µ / v ∞ 2 {\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}
donde: µ = G m {\displaystyle \mu =Gm\,\!}
es el parámetro gravitacional estándar y C 3 {\displaystyle C_{3}}
es energía característica, comúnmente utilizada en la planificación de misiones interplanetarias
Tenga en cuenta que la energía total es positiva en el caso de una trayectoria hiperbólica (mientras que es negativa para una órbita elíptica).
Excentricidad y ángulo entre la aproximación y la salidaeditar
Con una trayectoria hiperbólica la excentricidad orbital (e {\displaystyle e\,}
) es mayor que 1. La excentricidad está directamente relacionada con el ángulo entre las asíntotas. Con excentricidad un poco más de 1, la hipérbola es una forma de «v» aguda. E = 2 {\displaystyle e={\sqrt {2}}}
las asíntotas están en ángulos rectos. Con e > 2 {\displaystyle e>2}
las asíntotas están separadas por más de 120°, y la distancia de periapsis es mayor que el semieje mayor. A medida que aumenta la excentricidad, el movimiento se acerca a una línea recta.
El ángulo entre la dirección de la periapsis y una asíntota del cuerpo central es la verdadera anomalía, ya que la distancia tiende al infinito (θ ∞ {\displaystyle \ theta _ {\infty }\,}
), so 2 θ ∞ {\displaystyle 2 \ theta _ {\infty }\,}
es el ángulo externo entre las direcciones de aproximación y de salida (entre asíntotas). Entonces θ ∞ = cos − 1 (- 1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1} (-1 / e)\,}
o e = − 1 / cos θ ∞ {\displaystyle e=-1 / \ cos \ theta {_{\infty }}\,}
Parámetro de impacto y distancia de aproximación más cercana Editar
Trayectorias hiperbólicas seguidas por objetos que se acercan al objeto central (punto pequeño) con la misma velocidad hiperbólica excesiva (y semieje mayor (=1)) y desde el mismo dirección pero con diferentes parámetros de impacto y excentricidades. La línea amarilla de hecho pasa alrededor del punto central, acercándose a él de cerca.
El parámetro de impacto es la distancia a la que un cuerpo, si continuaba por un camino tranquilo, perdería el cuerpo central en su aproximación más cercana. Con cuerpos que experimentan fuerzas gravitacionales y siguen trayectorias hiperbólicas, es igual al semieje menor de la hipérbola.
En la situación de una nave espacial o cometa que se aproxima a un planeta, el parámetro de impacto y el exceso de velocidad se conocerán con precisión. Si se conoce el cuerpo central, ahora se puede encontrar la trayectoria, incluyendo qué tan cerca estará el cuerpo que se aproxima en el periapsis. Si esto es menor que el radio del planeta, debería esperarse un impacto. La distancia de aproximación más cercana, o distancia de periapsis, viene dada por:
p r p r p = a − ( e − 1 ) = μ / v ∞ 2 ( 1 + ( b, v ∞ 2 / µ ) 2 − 1 ) {\displaystyle r_{p}=a-(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(vb{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}
Así que si un cometa se aproxima a la Tierra (radio efectivo ~6400 km) con una velocidad de 12.5 km / s (la velocidad de aproximación mínima aproximada de un cuerpo procedente del Sistema Solar exterior) es para evitar una colisión con la Tierra, el parámetro de impacto tendrá que ser de al menos 8600 km, o un 34% más que el radio de la Tierra. Un cuerpo que se aproxima a Júpiter (radio 70000 km) desde el Sistema Solar exterior con una velocidad de 5,5 km / h, necesitará que el parámetro de impacto sea al menos 770.000 km o 11 veces el radio de Júpiter para evitar la colisión.
Si no se conoce la masa del cuerpo central, su parámetro gravitacional estándar, y por lo tanto su masa, se puede determinar por la desviación del cuerpo más pequeño junto con el parámetro de impacto y la velocidad de aproximación. Debido a que, por lo general, todas estas variables se pueden determinar con precisión, un sobrevuelo de una nave espacial proporcionará una buena estimación de la masa de un cuerpo.
μ = b v ∞ 2 tan δ / 2 {\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}
donde δ = 2 θ ∞ − π {\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }
es el ángulo que el cuerpo más pequeño se desvía de la línea recta en su curso.
