Lo siguiente es del nuevo libro de Joseph Mazur, ¿Qué tiene que Ver la Suerte con Esto?:
…hay una historia verificada auténticamente de que en algún momento de la década de 1950 una rueda en Monte Carlo surgió incluso veintiocho veces en sucesión recta. Las probabilidades de que eso suceda están cerca de 268,435,456 a 1. Basado en el número de golpes de estado por día en Monte Carlo, tal evento es probable que ocurra solo una vez en quinientos años.
Mazur utiliza esta historia para respaldar un argumento que sostiene que, al menos hasta hace muy poco, muchas ruedas de ruleta no eran justas.
Asumiendo que la matemática es correcta (la comprobaremos más tarde), ¿puedes encontrar el defecto en su argumento? El siguiente ejemplo le ayudará.
La probabilidad de Rodar Dobles
Imagina que le das un par de dados a alguien que nunca ha tirado dados en su vida. Ella los rueda, y obtiene doble cincos en su primer rollo. Alguien dice: «¡Oye, suerte de principiante! ¿Cuáles son las probabilidades de eso en su primer rollo?»
Bueno, ¿qué son?
Aquí hay dos respuestas, una mucho mejor que la otra.
El primero va así. Las probabilidades de rodar un cinco con un dado son de 1 en 6; los dados son independientes, por lo que las probabilidades de rodar otros cinco son de 1 en 6; por lo tanto, las probabilidades de doble cincos rodantes son
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 de cada 36.
Con esta lógica, nuestra nueva jugadora acaba de hacer algo bastante improbable en su primera tirada.
Pero, espere un minuto. ¿No sería un par de dobles igual de «impresionante» en el primer rollo? Lo que realmente deberíamos calcular son las probabilidades de dobles rodantes, no necesariamente de cincos. ¿Cuál es la probabilidad de eso?
Dado que hay seis pares posibles de dobles, no solo uno, podemos multiplicar por seis para obtener 1/6. Otra forma fácil de calcularlo: El primer dado puede ser cualquier cosa. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dado coincida? Simple: 1 en 6. (El hecho de que los dados se rueden simultáneamente no tiene ninguna consecuencia para el cálculo.)
No es tan notable, ¿verdad?
Por alguna razón, muchas personas tienen problemas para comprender ese concepto. Las posibilidades de hacer dobles con un solo lanzamiento de un par de dados es de 1 en 6. La gente quiere creer que es 1 en 36, pero eso es solo si especificas qué par de dobles deben lanzarse.
Ahora vamos a reexaminar la «anomalía»de la ruleta
Este mismo error es lo que hace que Joseph Mazur concluya incorrectamente que debido a que una rueda de ruleta surgió incluso 28 veces seguidas en 1950, era muy probable que fuera una rueda injusta. Veamos dónde se equivocó.
Hay 37 ranuras en una ruleta europea. 18 son pares, 18 son impares, y uno es el 0, que asumo que no cuenta como pares o impares aquí.
Por lo tanto, con una rueda justa, las posibilidades de que aparezca un número par son 18/37. Si los giros son independientes, podemos multiplicar las probabilidades de giros individuales para obtener probabilidades conjuntas, por lo que la probabilidad de dos pares rectos es entonces (18/37)*(18/37). Continuando de esta manera, calculamos las posibilidades de obtener 28 números pares consecutivos para ser $$(18/37)^{28}$$.
Resulta que esto nos da un número que es aproximadamente el doble de grande (es decir, un evento el doble de raro) de lo que indicaría el cálculo de Mazur. ¿Por qué la diferencia?
Aquí es donde Mazur lo hizo bien: Está admitiendo que una racha de 28 números impares consecutivos sería tan interesante (y es tan probable) como una racha de pares. Si hubieran surgido 28 probabilidades, eso también lo habría incluido en su libro, porque sería igual de extraordinario para el lector.
Por lo tanto, duplica la probabilidad que calculamos, e informa que 28 pares seguidos o 28 probabilidades seguidas deben ocurrir solo una vez cada 500 años. Fino.
Pero, ¿qué hay de 28 rojos seguidos? ¿O 28 negros?
Aquí está el problema: No da cuenta de varios eventos más que serían igual de interesantes. Dos obvias que vienen a la mente son 28 rojos seguidos y 28 negros seguidos.
Hay 18 negros y 18 rojos en la rueda (0 es verde). Así que las probabilidades son idénticas a las anteriores, y ahora tenemos dos eventos más que habrían sido lo suficientemente notables como para hacernos preguntarnos si la rueda estaba sesgada.
Así que ahora, en lugar de dos eventos (28 cuotas o 28 pares), ahora tenemos cuatro eventos de este tipo. Así que es casi el doble de probable que ocurra una. Por lo tanto, uno de estos eventos debería ocurrir cada 250 años, no 500. Un poco menos notable.
¿Qué pasa con otros eventos improbables?
¿Qué tal una serie de 28 números que alternaban exactamente todo el tiempo, como par-impar-par-impar, o rojo-negro-rojo-negro? Creo que si uno de estos hubiera ocurrido, Mazur habría estado igual de emocionado de incluirlo en su libro.
Estos eventos son tan improbables como los demás. Ahora casi hemos duplicado nuestro número de eventos notables que nos harían señalar a una rueda rota como culpable. Solo que ahora, hay tantos de ellos, esperaríamos que ocurriera uno cada 125 años.
Finalmente, considere que Mazur está mirando hacia atrás a lo largo de muchos años cuando señala este evento aparentemente extraordinario que ocurrió. Si hubiera ocurrido en cualquier momento entre 1900 y el presente, supongo que Mazur lo habría considerado lo suficientemente reciente como para incluir como evidencia de su punto que las ruedas de ruleta estaban sesgadas no hace mucho tiempo.
Es una ventana de 110 años. ¿Es tan sorprendente, entonces, que algo que debería suceder una vez cada 125 años o así sucedió durante esa gran ventana? En realidad no.
Quizás sea poco probable, pero nada que convenza a nadie de que una rueda es injusta.
