De nombreuses fonctions dans les applications sont construites à partir de fonctions simples en insérant des constantes à divers endroits. Il est important de comprendreeffet de telles constantes sur l’apparence du graphique.
Décalages horizontaux. Si l’on remplace la valeur de $x$ par $x-$ C partout itoccurs dans la formule de $f(x)$, alors le graphe quarts de travail de plus de $C$ pour le juste. (Si $C$ est négatif, cela signifie que le graphique se déplace sur$/C/ left vers la gauche. Par exemple, le graphe de $y=(x-2)^2$ est$x^2$-parabole a avoir son sommet au point 2 sur les$x$de l’axe. Le graphe de $y=(x+1)^2$ est la même parabole décalé sur la gauche de manière à avoir son sommet à $-1$ sur $x$de l’axe. Notez bien: lors du remplacement dexx$ parxx-C we, nous devons faire attention au sens, et non à l’apparence. En commençant par $y=x^2$ et, littéralement, en remplacement de $x$par $x-2$ donne $y=x-2^2$. C’est $y = x-4$, une ligne de pente 1, pas une parabole en forme de carré.
Décalages verticaux. Si l’on remplace $y$ par $y-D$, le graphmoves jusqu’ $D$ unités. (SiDD is est négatif, cela signifie que le graphiquedépasse les unités $|D| units.) Si la formule s’écrit sous la forme$y=f(x)$ et si $y$ est remplacé par $y-D$ pour obtenir $y-D=f(x)$, nous canequivalently déplacement de $D$ de l’autre côté de l’équation et écrire$y=f(x)+D$. Ainsi, ce principe peut être énoncé: pour obtenir thegraph de $y=f(x)+D$, prendre le graphe de $y=f(x)$ et de le déplacer $D$ unités vers le haut.Par exemple, la fonctionyy = x^2 – 4x =(x-2)^2-4 can peut être obtenue à partir deyy =(x-2)^2$ (voir le dernier paragraphe) en déplaçant le graphique de 4 unités vers le bas.Le résultat est la parabole shiftedx^2 shifted décalée de 2 unités vers la droite et de 4 unités vers le bas de manière à avoir son sommet au point $(2,-4)$.
Avertissement. Ne confondez pas $f(x) + D and etff(x +D)$. Par exemple,si $f(x)$ est la fonction $x^2$, alors $f(x)+2$ est la fonction $x^2+2$,alors $f(x+2)$ est la fonction $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
Exemple 1.4.1 (Cercles) Un exemple important des deux principes ci-dessuscommence par le cercle $x^2 + y^2 = r^2$. C’est le cercle de rayon$r centered centré à l’origine. (Comme nous l’avons vu, ce n’est pas une simple fonction$y=f(x)$, mais plutôt deux fonctions $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ réunis;dans tous les cas, le décalage de deux principes s’appliquent à de telles équations thisone qui ne sont pas dans la forme $y=f(x)$.) Si l’on remplace la valeur de $x$par $x-$ C et remplacer $y$ par $y-$D—l’obtention de l’équation$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—de l’effet sur le cercle est de le déplacer $C$ au droit et $D$ jusqu’, obtenant ainsi le cercle de rayon $r$centré au point $(C,D)$. Cela nous dit comment écrire l’équation de n’importe quel cercle, pas nécessairement centré à l’origine.
Nous voudrons plus tard utiliser deux autres principes concernant les effets des constantes sur l’apparence du graphe d’une fonction.
Dilatation horizontale. Si $x$ est remplacé par$x/$ A dans une formule et $A>1$, alors l’effet sur le graphique est toexpand par un facteur de $A$ dans $x$-direction (à l’écart de l’$y$de l’axe). Si $A$ est entre 0 et1, alors l’effet sur le graphique est à contrat par un facteur de 1 $/$A(vers le $y$de l’axe). Nous utilisons le mot « dilater » pour signifier étendre ou contracter.
Par exemple, le remplacement de $x$ par$x/0.5=x/(1/2)=2x$ a pour effet de contracter vers le $y$de l’axe par un factorof 2. Si $A$ est négatif, nous dilater par un facteur de $A$ et thenflip sur le $y$de l’axe. Ainsi, le remplacement de $x$ par $x$ a pour effet oftaking l’image en miroir du graphique à l’égard des $y$de l’axe. Par exemple, la fonction $y=\sqrt{-x}$, qui est le domaine $\{x\in\R\mid x\le 0\}$, est obtainedby prendre le graphe de $\sqrt{x}$ et de retournement autour de l’ $y$de l’axe intothe deuxième quadrant.
Dilatation verticale. Si $y$ est remplacé par $a/$ B dans une formule et$B>0$, alors l’effet sur le graphique est de dilater par un facteur de $B$ dans la direction verticale. Comme précédemment, il s’agit d’une expansion oucontraction selon queBB is est plus grand ou plus petit qu’un.Notez que si nous avons une fonction $y=f(x)$,en remplacement de $y$ par $a/$ B est équivalent à multiplier la fonction droit par $B$: $y=Bf(x)$. L’effet sur le graphique est d’élargir le pictureaway de $x$de l’axe par un facteur de $B$ si $B>1$, pour un contrat, il towardthe $x$de l’axe par un facteur de 1 $/B$ si $0
Exemple 1.4.2 (Ellipses)Un exemple de base de la deux d’extension des principes est donné par une ellipseof demi-grand axe de $a$ et semiminor axe de $b$. Nous obtenons une ellipse bystarting avec le cercle unité—le cercle de rayon 1 centré à l’theorigin, l’équation de ce qui est $x^2+y^2=1$et de la dilatation par un factorof $a$ à l’horizontale et par un facteur de $b$ verticalement. Pour obtenir le equationof la resultingellipse, qui traverse l’ $x$de l’axe à $\pm a$ et traverse le $y$-axisat $\pm b$, on remplace la valeur de $x$ par $x/$ a et $y$ par $a/$ b dans le equationfor le cercle unité. Cela donne $$\left({x\over a}\right) ^2 + \left({y\over b}\right) ^2 = 1\qquad\hbox {or}\qquad{x^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1.$$
Enfin, si nous voulons analyser une fonction qui implique à la fois des décalages et des dilatations, il est généralement plus simple de travailler avec les décalages d’abord, puis les décalages. Par exemple, si nous voulons todilate une fonction par un facteur de $A$ dans $x$-direction et thenshift $C$ pour le droit, nous le faisons par le remplacement de $x$ d’abord par $x/$A, puis par $(x-C)$ dans la formule. Par exemple, supposons que,après la dilatation de notre cercle unité en $a$ dans $x$-direction et par $b$dans $y$-direction pour obtenir de l’ellipse dans le dernier paragraphe, nous thenwanted pour le déplacer d’une distance de $h$ à la droite et à une distance de $k$à la hausse, de façon à être centré sur le point $(h,k)$. La nouvelle ellipse aurait l’équation$$\left({x-h\over a}\right) ^2 +\left({y-k\over b}\right) ^2 = 1.$$ $ Note bien que c’est différent de d’abord faire des quarts de travail par $h$ et $k$ andthen dilatations par $a$ et $b$:$$\left({x\over a}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.SeeVoir figure 1.4.1.
Figure 1.4.1. Ellipses:^\left({x-1\over 2}\right) ^2 +\left({y-1\over 3}\right) ^2 = 11 à gauche,^\left({x\over 2} -1\right) ^2+\left ({y\over 3} -1\right) ^2 = 1 on à droite.
en Commençant par le graphe de $\ds y=\sqrt{x}$, le graphe de $\ds y=1/x$, et thegraph de $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (la partie supérieure de l’unité de demi-cercle), esquisse thegraph de chacune des fonctions suivantes:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/(x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.Si vous avez un problème, vous pouvez le faire en utilisant un autre paramètre, mais vous pouvez le faire en utilisant un autre paramètre.-1)^2}$
Ex 1.4.7$ \ds f(x) = -4+ \sqrt {-(x-2)}$
Ex 1.4.8$ \ds f(x) = 2\sqrt { 1-(x/3)^2}$
Ex 1.4.9$ \ds f(x) = 1/(x+1)$
Ex 1.4.10$ \ds f(x) = 4 + 2 \sqrt { 1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$ \ ds f(x) = 1 +1/(x-1)$
Ex 1.4.12$ \ds f(x) = \sqrt {100-25(x-1)^2}+2$
Le graphique deff(x) is est illustré ci-dessous.Esquissez les graphiques des fonctions suivantes.
Ex 1.4.13$ \ ds y = f(x-1)$
Ex 1.4.14$\ds y=1+f(x+2)$
Ex 1.4.15$\ds y=1+2f(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f(3x)$
Ex 1.4.17$\ds y=2f(3(x-2))+1$
Ex 1.4.18$\ds y=(1/2)f(3x-3)$
Ex 1.4.19$\ds y=f(1+x/3)+2$
