Cordes, ondes stationnaires et harmoniques

Introduction: vibrations, cordes, tuyaux, percussions….

Comment fait-on des sons musicaux ? Pour faire un son, nous avons besoin de quelque chose qui vibre. Si nous voulons faire des notes de musique, vous avez généralement besoin que la vibration ait une fréquence presque constante: cela signifie une hauteur stable. Nous voulons également une fréquence qui peut être facilement contrôlée par le joueur. Dans les instruments électroniques, cela se fait avec des circuits électriques ou avec des horloges et des mémoires. Dans les instruments non électroniques, la vibration stable et contrôlée est produite par une onde stationnaire. Ici, nous discutons de la façon dont les cordes fonctionnent. C’est également une introduction utile pour l’étude des instruments à vent, car les cordes vibrantes sont plus faciles à visualiser que la vibration de l’air dans les instruments à vent. Les deux sont moins compliqués que les vibrations des barres et des peaux de la famille des percussions. Pour la physique des ondes stationnaires, il existe un tutoriel multimédia.

Ondes mobiles en cordes

Les cordes du violon, du piano, etc. sont tendues et vibrent si vite qu’il est impossible de voir ce qui se passe. Si vous trouvez un long ressort (un jouet connu sous le nom de « slinky » fonctionne bien) ou plusieurs mètres de tuyau flexible en caoutchouc, vous pouvez essayer quelques expériences amusantes qui vous permettront de comprendre facilement le fonctionnement des cordes. (Le caoutchouc souple est bon pour cela, les tuyaux d’arrosage ne sont pas vraiment assez flexibles.) Tenez ou serrez d’abord une extrémité, puis, en tenant toujours l’autre extrémité dans une main, étirez-la un peu (pas trop, un petit affaissement ne fera pas mal). Maintenant, tirez-le de côté avec l’autre main pour faire un pli, puis laissez-le partir. (Ceci, au ralenti, est ce qui se passe lorsque vous arrachez une ficelle.) Vous verrez probablement que le pli se déplace le long de la « chaîne », puis il vous revient. Il tirera soudainement votre main sur le côté mais, si vous le tenez fermement, il se reflétera à nouveau.

Vous remarquerez d’abord que la vitesse de la vague dans la corde augmente si vous l’étirez plus étroitement. C’est utile pour accorder des instruments – mais nous prenons de l’avance sur nous-mêmes. Cela dépend également du « poids » de la corde – elle se déplace plus lentement dans une corde épaisse et lourde que dans une corde légère de même longueur sous la même tension. (Strictement, c’est le rapport tension / masse par unité de longueur qui détermine la vitesse, comme nous le verrons ci-dessous.)

Examinons ensuite de près le reflet à l’extrémité fixe. Vous remarquerez que si vous tirez initialement la ficelle vers la gauche, le pli qui s’éloigne de vous est vers la gauche, mais qu’il revient comme un pli vers la droite – la réflexion est inversée. Cet effet est important non seulement dans les instruments à cordes, mais aussi dans les vents et les percussions. Lorsqu’une vague rencontre une limite avec quelque chose qui ne bouge pas ou ne change pas (ou qui ne change pas facilement), la réflexion est inversée. (Le fait qu’il soit inversé donne un déplacement nul à la fin. Cependant, la réflexion avec tout changement de phase donnera une onde stationnaire.)

Cordes pincées

Si vous arrachez l’une des cordes d’une guitare ou d’une basse, vous faites quelque chose de similaire, bien qu’ici la corde soit fixée aux deux extrémités. Vous retirez la chaîne à un moment donné, puis relâchez-la comme indiqué. La motion qui suit est intéressante, mais compliquée. Le mouvement initial est illustré ci-dessous. Cependant, les composantes haute fréquence du mouvement (les virages serrés de la corde) disparaissent rapidement – c’est pourquoi le son d’une note de guitare devient plus moelleux une seconde ou plus après l’avoir pincée.

Une esquisse du reflet des plis de déplacement causés par l’arrachage d’une corde. Aux instants représentés par (e) et (m), la corde est droite, elle a donc perdu l’énergie potentielle associée à la traction latérale, mais elle a une énergie cinétique maximale. Notez qu’au niveau des réflexions, la phase du pli est modifiée de 180° : de haut en bas ou inversement. Remarquez également comment les plis se « traversent » lorsqu’ils se rencontrent au milieu.

Pourquoi la réflexion est-elle inversée? Eh bien, si nous supposons qu’il est serré ou attaché à un objet fixe, le point de réflexion n’a pas réellement bougé. Mais regardez le mouvement de la corde en comparant les différents temps représentés dans les croquis de gauche. Notez que la chaîne derrière le pli recule vers la position non perturbée (vers le bas dans l’esquisse). À mesure que le pli approche de la fin, il devient plus petit et, lorsqu’il atteint l’extrémité immobile, il n’y a pas de pli du tout – la ficelle est droite pendant un instant. Mais la corde a toujours son élan vers le bas, et cela la porte au-delà de la position de repos, et produit un pli de l’autre côté, qui recule ensuite dans l’autre sens. (Le mouvement des vagues dans les cordes est décrit plus en détail dans Travelling Waves, qui contient des extraits de films et des animations. Sur cette page, cependant, nous nous concentrerons sur les implications musicales. )

Comme mentionné ci-dessus, ce mouvement n’est observé qu’immédiatement après l’arrachage. Au fur et à mesure que les composants à haute fréquence perdent de l’énergie, les plis aigus disparaissent et la forme se rapproche progressivement de celle du mode fondamental du vibraiton, dont nous discutons ci-dessous.

Une corde à archet se comporte assez différemment

Premièrement, elle a une source d’énergie continue et peut donc maintenir le même mouvement indéfiniment (ou au moins jusqu’à ce qu’on soit à court d’archet. Deuxièmement, la forme de la corde requise pour correspondre à l’arc en mouvement uniforme est différente.

Une esquisse de la réflexion des plis de déplacement causés par l’archet d’une corde. Voir l’animation et une explication de l’interaction arc-corde dans les arcs et les cordes

Ondes progressives et ondes stationnaires

Un effet intéressant se produit si vous essayez d’envoyer une vague simple le long de la chaîne en agitant à plusieurs reprises une extrémité de haut en bas. Si vous avez trouvé un tuyau à ressort ou en caoutchouc approprié, essayez-le. Sinon, regardez ces diagrammes.


L’animation montre l’interaction de deux ondes, de fréquence et de magnitude égales, se déplaçant dans des directions opposées: bleu à droite, vert à gauche. La ligne rouge est leur somme : l’onde rouge est ce qui se passe lorsque les deux ondes mobiles s’additionnent (superposer est le terme technique). En arrêtant l’animation, vous pouvez vérifier que l’onde rouge est vraiment la somme des deux ondes en interaction.

La figure de droite est le même diagramme représenté par une séquence temporelle – le temps augmente de haut en bas. On pourrait le considérer comme représentant une série de photographies des vagues, prises très rapidement. La vague rouge est ce que nous verrions réellement dans de telles photographies.

Supposons que la limite de droite soit un mur immobile. Comme discuté ci-dessus, l’onde est inversée par réflexion, de sorte que, dans chaque « photographie », le bleu plus le vert s’additionne à zéro sur la limite droite. L’onde réfléchie (verte) a la même fréquence et la même amplitude mais se déplace dans la direction opposée.

À l’extrémité fixe, ils s’ajoutent pour ne donner aucun mouvement – déplacement nul: après tout, c’est cette condition d’immobilité qui provoque la réflexion inversée. Mais si vous regardez la ligne rouge dans l’animation ou le diagramme (la somme des deux vagues), vous verrez qu’il y a d’autres points où la chaîne ne bouge jamais! Ils se produisent à une demi-longueur d’onde. Ces points immobiles sont appelés nœuds de la vibration, et ils jouent un rôle important dans presque toutes les familles d’instruments. À mi-chemin entre les nœuds se trouvent des antinodes: points de mouvement maximal. Mais notez que ces pics ne se déplacent pas le long de la chaîne: la combinaison de deux vagues se déplaçant dans des directions opposées produit une onde stationnaire.

Ceci est illustré dans l’animation et la figure. Notez les positions (nœuds) où les deux ondes mobiles s’annulent toujours, et les autres (antinodes) où elles s’ajoutent pour donner une oscillation avec une amplitude maximale.

Vous pouvez considérer ce diagramme comme une représentation (et non à l’échelle) de la cinquième harmonique sur une chaîne dont la longueur est la largeur du diagramme. Cela nous amène au sujet suivant.

Harmoniques et modes

La corde d’un instrument de musique est (presque) fixée aux deux extrémités, de sorte que toute vibration de la corde doit avoir des nœuds à chaque extrémité. Maintenant, cela limite les vibrations possibles. Par exemple, la chaîne de longueur L pourrait avoir une onde stationnaire de longueur d’onde deux fois plus longue que la chaîne (longueur d’onde λ = 2L) comme indiqué dans la première esquisse de la série suivante. Cela donne un nœud à chaque extrémité et un antinode au milieu.

C’est l’un des modes de vibration de la corde (« mode de vibration » signifie simplement style ou manière de vibrer). Quels autres modes sont autorisés sur une chaîne fixée aux deux extrémités? Plusieurs ondes stationnaires sont représentées dans l’esquisse suivante.



Une esquisse des quatre premiers modes de vibration d’une corde étirée idéalisée* de longueur fixe. L’axe vertical a été exagéré.

Établissons les relations entre les fréquences de ces modes. Pour une onde, la fréquence est le rapport de la vitesse de l’onde à la longueur de l’onde : f = v/λ. Par rapport à la longueur de chaîne L, vous pouvez voir que ces ondes ont des longueurs 2L, L, 2L / 3, L / 2. Nous pourrions écrire ceci comme 2L/n, où n est le nombre de l’harmonique.

Le mode fondamental ou premier mode a la fréquence f1 = v/λ1 = v/2L,
La deuxième harmonique a la fréquence f2 = v/λ2 =2v/2L =2f1
La troisième harmonique a la fréquence f3 = v/λ3=3v/2L=3f1,
La quatrième harmonique a la fréquence f4 = v/λ4=4v/2L=4f1, et, pour généraliser ,

La nième harmonique a une fréquence fn = v/λn = nv/2L = nf1.

Toutes les ondes d’une chaîne voyagent avec la même vitesse, de sorte que ces ondes de longueurs d’onde différentes ont des fréquences différentes comme indiqué. Le mode avec la fréquence la plus basse (f1) est appelé fondamental. Notez que le nième mode a une fréquence n fois celle de la fondamentale. Tous les modes (et les sons qu’ils produisent) sont appelés les harmoniques de la corde. Les fréquences f, 2f, 3f, 4f, etc. sont appelées séries harmoniques. Cette série sera familière à la plupart des musiciens, en particulier aux clairons et aux joueurs de cors naturels. Si par exemple la fondamentale est la note C3 ou alto C (une fréquence nominale de 131 Hz: voir ce lien pour un tableau), alors les harmoniques auraient les hauteurs indiquées dans la figure suivante. Ces hauteurs ont été approximées au quart de ton le plus proche. Les octaves sont exactement des octaves, mais tous les autres intervalles sont légèrement différents des intervalles de l’échelle tempérée égale.

La figure montre la notation musicale des douze premières harmoniques sur une corde de do. Lorsque vous jouez le fichier son, écoutez attentivement la hauteur. Les septième et onzième harmoniques se situent à mi-chemin entre les notes de la gamme tempérée égale, et ont donc été notées avec des demi-dièses.

Vous pouvez produire ces hauteurs sur une corde tendue : c’est plus facile sur les cordes graves d’une guitare, d’un violoncelle ou d’une basse*. Touchez légèrement la corde en un point 1 / n de sa longueur à partir de l’extrémité (où n est 1, 2, 3, etc.), puis inclinez la corde près de l’extrémité. Alternativement, touchez la corde très légèrement en un point 1 / n de sa longueur à partir de l’extrémité, arrachez la corde près de l’extrémité et relâchez le premier doigt dès que vous l’avez pincée. Toucher la chaîne produit un nœud où vous touchez, et vous excitez donc (principalement) le mode qui a un nœud là-bas. Vous constaterez que vous pouvez jouer des airs de clairon en utilisant des harmoniques de deux à six cordes.

(* Si vous venez de faire cette expérience, vous avez peut-être remarqué certaines particularités. La douzième frette, qui est utilisée pour produire l’octave, est à moins de la moitié de la longueur de la corde, et donc la position où vous touchez la corde pour produire la 2e harmonique – à mi–chemin de la corde – n’est pas directement au-dessus de la frette d’octave. J’ai dit chaîne « idéalisée » ci-dessus, ce qui signifie une chaîne complètement flexible et qui peut donc se plier facilement à chaque extrémité. En pratique, les cordes ont une rigidité en flexion finie et leur longueur effective (le « L » à utiliser dans les formules ci-dessus) est donc un peu inférieure à leur longueur physique. C’est l’une des raisons pour lesquelles les cordes plus grandes ont généralement un enroulement sur un noyau mince, pourquoi le chevalet est généralement à un angle qui donne aux cordes les plus grosses des longueurs plus longues et pourquoi la corde de sol (solide) d’une guitare classique a un mauvais accord sur les frettes les plus hautes. Il y a aussi un effet dû à l’étirement supplémentaire d’une corde lorsqu’elle est poussée jusqu’à la touche, un effet considérable sur les cordes en acier.)

Un exercice pour guitaristes. Sur une guitare accordée de la manière habituelle, la corde de Si et la corde de mi aigu sont approximativement accordées aux 3e et 4e harmoniques de la corde de mi grave. Si vous arrachez la corde de mi grave n’importe où sauf un tiers du chemin, la corde de si devrait commencer à vibrer, entraînée par les vibrations dans le pont de l’harmonique de la première corde. Si vous arrachez la corde de mi bas n’importe où sauf un quart du chemin, la corde de Mi supérieure doit être conduite de la même manière.

Accord harmonique sur les guitares

Les guitaristes commencent souvent à accorder de la manière suivante: accordez d’abord la 4e harmonique de la corde de mi grave, la 3e de la corde de la et le Mi supérieur sur la même note. La figure de droite montre la série harmonique sur les deux cordes les plus basses. Ensuite, ils accordent la corde de Si (B3) à la 3e harmonique de la première (E2); puis accordent la 4e harmonique de la corde de La à la 3e de la corde de Ré. Cette méthode ne peut pas être étendue avec succès à la corde de sol car elle est généralement trop épaisse et rigide, elle est donc mieux accordée par octaves, en utilisant les frettes. Pour plusieurs raisons (voir les notes à la fin de cette page), cette méthode d’accord n’est qu’approximative, et il faut ensuite réajuster les octaves. Le meilleur accord est généralement un compromis qui doit être fait après avoir considéré quels accords vous jouerez et où vous jouez sur la touche.

Accord de guitare par harmoniques. (Ce sont de vrais emplacements: la musique de guitare est généralement transposée jusqu’à une octave.)

Harmoniques en musique

Les compositeurs font souvent appel à de telles harmoniques sur des instruments à cordes: la plus courante est la « quatrième tactile ». Avec un doigt, le joueur arrête la corde pour produire la longueur requise pour une note particulière, puis, à l’aide d’un autre doigt, touche la corde très légèrement à la position requise pour la note quatre notes plus haut dans la gamme (d’où le nom). Cette position est au quart du chemin le long de la corde, elle produit donc le quatrième harmonique de la note arrêtée. La quatrième harmonique a quatre fois la fréquence fondamentale, et est donc deux octaves plus élevée. Pour les joueurs de cordes, les harmoniques sont dites « naturelles »; lorsqu’elles sont jouées sur des cordes ouvertes et « artificielles »; si le joueur doit arrêter la corde. Le diagramme montre la façon dont une quatrième touche naturelle est jouée, et la notation de la quatrième touche sur le violon Une corde. L’axe vertical du diagramme a été exagéré pour plus de clarté.


Ouvrir une corde jouée normalement, puis la touche quatrième sur cette corde (4ème harmonique)

La hauteur d’une note est déterminée par la vitesse à laquelle la corde vibre. Cela dépend de quatre choses:

• Des cordes plus épaisses et plus massives vibrent plus lentement. Sur les violons, les guitares, etc., la longueur ouverte de la corde ne change pas, et généralement la tension ne change pas beaucoup non plus (ils sont tous à peu près tout aussi difficiles à enfoncer). Les cordes graves sont donc plus épaisses.
• La fréquence augmente avec la tension dans la corde. C’est ainsi que vous accordez l’instrument, à l’aide de têtes de machine ou de chevilles d’accord: plus serré donne une hauteur plus élevée.
• La longueur de la corde libre de vibrer est également importante. Lorsque vous arrêtez une corde contre la touche d’un violoncelle, par exemple, vous raccourcissez la longueur effective et augmentez ainsi la hauteur.
• Vous pouvez également modifier la hauteur en changeant le mode de vibration. Lorsque vous jouez des harmoniques, vous induisez la corde à produire des ondes qui sont une fraction de la longueur de celles normalement produites par une corde de cette longueur.

  Nous pouvons mettre tout cela dans une expression simple. Si la partie vibrante de la corde a une longueur L et une masse M, si la tension dans la corde est F et si vous jouez le nième harmonique, alors la fréquence résultante est

  fn = (n / 2L) (FL / M) 1/2 = (n / 2) (F / LM) 1/2.

  Dans des instruments tels que le violon et la guitare, la longueur ouverte et la tension sont assez similaires pour toutes les cordes. Cela signifie que, pour abaisser une corde d’une octave, tout en conservant la même longueur, vous devez quadrupler le rapport M / L. Si les cordes sont faites du même matériau, cela signifie doubler le diamètre. Cependant, les chaînes de graisse sont généralement composites: un noyau fin enveloppé d’enroulements pour les rendre plus massifs sans les rendre plus difficiles à plier.

  Voyons d’où vient cette expression. L’onde parcourt une distance λ dans une période T de la vibration, donc v = λ/T. La fréquence f = 1/T = v/λ. Donc f = v/λ. Nous avons également vu que, pour la fréquence fondamentale f1, la longueur de corde est λ/2, donc f1 = v/2L. La vitesse d’onde est déterminée par la tension de corde F et la masse par unité de longueur ou densité linéaire μ = M/L, v =(F/μ) 1/2 = (FL/M) 1/2. Donc f1 = ½ (F/LM) 1/2. La multiplication des deux côtés par n donne les fréquences des harmoniques citées ci-dessus.

  Nous pouvons réorganiser cela pour donner la tension de la corde: F = 4f12LM.

Complications avec l’accord harmonique

Il y a plusieurs problèmes avec tout accord de guitare, y compris celui utilisant les harmoniques suggéré ci-dessus.

L’approximation la plus évidente est liée au tempérament: si les cordes de guitare étaient idéales et les frettes idéalement espacées pour un tempérament égal, accorder des quartes harmoniques aux paires Mi-La et A-Ré, plus deux demi-tons tempérés égaux sur la corde de Ré, rendrait l’intervalle entre le mi le plus bas et la 2e frette sur la corde de Ré à environ 4 cents plats ((4/3) 222/12 = 1,996). Cela conduirait à des battements d’interférence à des rythmes d’ordre un toutes les plusieurs secondes.

Une autre complication évidente de l’accord harmonique est que les cordes ne se plient pas facilement sur l’écrou et le chevalet (comme discuté ci-dessus). Voir aussi Comment les harmoniques sont des harmoniques.) En conséquence, la 1ère harmonique d’une corde est légèrement plus nette qu’une octave, la suivante encore plus nette qu’une douzième, et ainsi de suite. Ainsi, l’accord de la 4e harmonique de la corde de Mi sur la 3e de la corde de La fait de leur intervalle ouvert plus qu’une quarte harmonique. Cela a donc tendance à compenser le problème de tempérament.

Un autre problème concerne le placement des frettes et des ponts. Lorsque vous appuyez sur une corde à la douzième frette, vous augmentez sa longueur. (Avant d’appuyer dessus, la distance la plus courte entre l’écrou et le pont. Après, c’est plus long.) Pour l’allonger, vous avez augmenté sa tension. Pour cette raison, et aussi à cause de l’effet de flexion à la fin de la corde, si la 12ème frette était à mi-chemin entre l’écrou et le chevalet, l’intervalle serait supérieur à une octave. (Vous pouvez vérifier cela expérimentalement sur un instrument sans frette.) Par conséquent, la distance du pont à la 12ème frette est supérieure à celle de l’écrou à la 12ème frette. L’effet diffère d’une chaîne à l’autre. Sur certaines guitares électriques, un réglage individuel de la position de chaque chevalet est possible. Dans d’autres guitares, le chevalet est placé en biais. Dans une guitare classique, le pont simple et droit nécessite un compromis dans l’accordage.

Les effets ci-dessus sont difficiles à mesurer expérimentalement avec la précision requise: les effets ne sont que de quelques centimes, ce qui n’est pas beaucoup plus grand que la précision des oreilles ou des compteurs d’accord lorsqu’ils sont appliqués à une corde de pincement. De plus, il est difficile d’ajuster les têtes de machine pour obtenir une précision supérieure à quelques centimes. D’un autre côté, si vous obtenez toutes les notes en accord dans quelques centimes, vous faites mieux que la plupart des musiciens et cela sonnera plutôt bien!

Il y a d’autres problèmes lorsque les chaînes vieillissent. Lorsque vous les doigtez avec la main gauche, ils ramassent de la graisse et deviennent plus massifs (bien qu’ils puissent également perdre de la matière là où ils frottent sur les frettes). Ils peuvent également porter là où vous les choisissez. À mesure que les cordes deviennent inhomogènes, l’accord s’aggrave successivement. Les laver peut aider.

La façon de contourner la plupart de ces problèmes est de jouer des instruments sans frettes, mais cela rend les accords plus gênants.

Les positions d’échelle sont en juste intonation. Le toucher à 2/9 est plus sûr que celui à 1/9, mais il ne dépasse aucune position de note d’échelle: il est un peu au-dessus de la tierce mineure. Les altistes ou violoncellistes qui répètent « Pratiquer l’infini » (sic) de Radulescu sont invités à m’écrire pour d’autres suggestions sur les techniques pour les harmoniques aiguës.

Voir aussi À quel point les harmoniques sont-elles harmoniques ?

Acoustique de la harpe

Le seul travail que nous avons fait sur les harpes est décrit ici.

Plus d’informations

• Les ondes stationnaires et les ondes mobiles des Physclips ont des extraits de films et des animations.
• Archets et cordes (une simple introduction à cette interaction).
• Études de violon (plus d’informations sur nos études sur les violons).
• Motifs de Chladni (résultats expérimentaux montrant la vibration des plaques de violons).
• Articulation et vibrato au violon et leur importance pour le(s) son(s) du violon.
• Acoustique du violon: un aperçu (une simple introduction à l’acoustique du violon).
• Les articles de recherche de John McLennan, doctorant en acoustique musicale à l’UNSW.
• Une introduction à l’acoustique de la flûte (avec une discussion sur les harmoniques dans une colonne d’air).