Le PFR stationnaire est régi par des équations différentielles ordinaires, dont la solution peut être calculée à condition de connaître les conditions aux limites appropriées.
Le modèle PFR fonctionne bien pour de nombreux fluides : liquides, gaz et boues. Bien que l’écoulement turbulent et la diffusion axiale provoquent un certain degré de mélange dans la direction axiale dans les réacteurs réels, le modèle PFR est approprié lorsque ces effets sont suffisamment faibles pour qu’ils puissent être ignorés.
Dans le cas le plus simple d’un modèle PFR, plusieurs hypothèses clés doivent être formulées afin de simplifier le problème, dont certaines sont décrites ci-dessous. Notez que toutes ces hypothèses ne sont pas nécessaires, mais la suppression de ces hypothèses augmente la complexité du problème. Le modèle PFR peut être utilisé pour modéliser de multiples réactions ainsi que des réactions impliquant des changements de températures, de pressions et de densités de l’écoulement. Bien que ces complications soient ignorées dans ce qui suit, elles sont souvent pertinentes pour les processus industriels.
Hypothèses:
- Débit du bouchon
- Régime stationnaire
- Densité constante (raisonnable pour certains liquides mais erreur de 20% pour les polymérisations; valable pour les gaz uniquement s’il n’y a pas de chute de pression, pas de changement net du nombre de moles, ni de changement important de température)
- Réaction unique se produisant dans la majeure partie du fluide (de manière homogène).
Un bilan matière sur le volume différentiel d’un élément fluide, ou bouchon, sur les espèces i de longueur axiale dx comprise entre x et x +dx donne:
= – + –
L’accumulation est de 0 à l’état d’équilibre; par conséquent, le bilan massique ci-dessus peut être réécrit comme suit:
1. On ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on ne peut pas dire que l’on n’est pas capable de le faire.
où:
- x est la position axiale du tube du réacteur, m
- dx l’épaisseur différentielle du bouchon de fluide
- l’indice i se réfère à l’espèce i
- Fi(x) est le débit molaire de l’espèce i à la position x, mol/s
- D est le diamètre du tube, m
- At est la section transversale du tube, m2
- ν est le coefficient stoechiométrique, sans dimension
- r est le terme source / puits volumétrique (la vitesse de réaction), mol / m3s.
La vitesse linéaire d’écoulement, u (m/s) et la concentration des espèces i, Ci (mol/m3) peuvent être introduites comme suit:
u = v A t = 4 v π D 2 {\displaystyle u = {\frac {\dot{v}} {A_{t}}}= {\frac {4 {\dot{v}}} {\pi D ^{2}}}} et F i = A t u C i {\displaystyle F_{i} = A_{t}uC_{i}\,}
En appliquant ce qui précède à l’équation 1, le bilan massique sur i devient :
2. A t u + A t d x ν i r = 0 {\displaystyle A_ {t} u + A_ {t} dx \nu _ {i} r = 0\,}.
Lorsque des termes similaires sont annulés et que la limite dx → 0 est appliquée à l’équation 2, le bilan massique sur l’espèce i devient
3. u d c i d x = ν i r {\displaystyle u {\frac{dC_{i}}{dx}} =\nu_{i}r},
La dépendance en température de la vitesse de réaction, r, peut être estimée à l’aide de l’équation d’Arrhenius. Généralement, à mesure que la température augmente, la vitesse à laquelle la réaction se produit augmente également. Le temps de séjour, τ{\displaystyle\tau}, est le temps moyen qu’une quantité discrète de réactif passe à l’intérieur du réservoir.
Supposons:
Après intégration de l’équation 3 en utilisant les hypothèses ci-dessus, en résolvant pour CA(x), nous obtenons une équation explicite pour la concentration de l’espèce A en fonction de la position:
4. C A(x) = C A 0 e−k τ {\displaystyle C_ {A}(x) = C_ {A0} e ^ {-k\tau }\,} ,
où CA0 est la concentration de l’espèce A à l’entrée du réacteur, apparaissant à partir de la condition aux limites d’intégration.
