Cela dépend vraiment de ce que vous entendez par « infini ». Si vous voulez dire $\infty,, alors ce n’est pas un nombre, mais plutôt un raccourci pour le concept selon lequel une quantité (généralement un nombre naturel ou réel) dépasse toute limite finie. En tant que tel, vous ne pouvez pas le multiplier par quoi que ce soit, et surtout pas par lui-même. Il existe cependant plusieurs systèmes arithmétiques qui ont des éléments plus grands que toute somme finie de la forme $1 + 1 + \cdots + 11, et méritent donc d’être appelés de taille infinie. Je vais vous parler de trois d’entre eux (légèrement simplifiés, mais j’espère que ce n’est pas directement incorrect).
Le premier est les cardinaux. Ils signifient à quel point quelque chose (un ensemble) est grand. Un cardinal fini n’est qu’un nombre naturel (signifiant « la taille d’un ensemble avec autant d’éléments »), mais il y a aussi des cardinaux ininites. Le plus petit cardinal infini est\\aleph_0,, la taille de l’ensemble des nombres naturels.
L’ajout de cardinaux fonctionne de la manière dont vous vous attendez à ce que l’ajout de tailles fonctionne, à savoir mettre les deux ensembles l’un à côté de l’autre, et compter le nombre d’éléments au total. Plus spécifiquement, si vous avez deux nombres cardinaux $\kappa_1, \kappa_2$, chacune signifiant de la taille de deux ensembles de $X_1, X_2$, le cardinal $\kappa_1+\kappa_2$ est la cardinalité de l’union disjointe $X_1\sqcup X_2$, ou, de manière équivalente, l’ensemble des paires $(x_i, i)$ où $x_i \in X_i$ et $i \in \{1, 2\}$.
La multiplication des cardinaux fonctionne de la manière suivante: $\kappa_1\cdot\kappa_2$ est la taille de l’ensemble $X_1\times X_2$, l’ensemble des paires de $x_1, x_2$ avec $x_1\dans X_1$ et $x_2\dans X_2$. Si le plus grand de $\kappa_1$ et $\kappa_2$ est infini, alors $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)$. Cela signifie que si $\kappa$ est un cardinal infini, $\kappa^2 = \kappa$, de sorte que nous obtenons aussi $\sqrt\kappa = \kappa$.
(Vous pouvez également définir des exposants: $\kappa_1^{\kappa_2}$ est la taille de l’ensemble de toutes les fonctions de la forme $X_2$ à $X_1$. Par exemple, $2$ est un deux-élément de jeu, et donc $\kappa^2$ est l’ensemble des fonctions d’un ensemble d’éléments de $\kappa$. Une fonction d’un ensemble à deux éléments est la même qu’une paire ordonnée, donc c’est en fait la même chose que $\kappa\cdot\kappa$. Chouette, hein ?)
Le second est les ordinaux. Ils signifient des commandes d’objets. Cependant, pas tous les ordres, mais des ordres où tout sous-ensemble a un plus petit élément, ce qu’on appelle des ordres de puits. Encore une fois, un ordinal fini n’est qu’un nombre naturel (signifiant « l’ordre de tous les petits nombres naturels »), mais comme la dernière fois, il existe des ordinaux infinis, dont le plus petit est appelé $\omega_0$, ou simplement $\omega,, et cela signifie l’ordre des nombres naturels.
Plus d’ordinaux est effectué de la manière suivante: Si $\gamma, \lambda$ sont des ordinaux, alors $\gamma + \lambda$ est l’ordonnancement obtenu en mettant $\gamma$ devant $\lambda$. Par exemple,11 + \omega is est identique à $\omega,, car si vous prenez les nombres naturels et placez un élément devant tous, vous avez quelque chose qui, en ce qui concerne la commande, ressemble exactement aux nombres naturels eux-mêmes. Cependant,omega\omega + 1 means signifie mettre un seul élément après tous les nombres naturels, ce qui est un ordre différent.
Multiplication fonctionne de la façon suivante: $\gamma\cdot \lambda$ est l’ordinal nous obtenons par la prise de $\lambda$, en remplaçant chaque élément de la commande d’une copie de $\gamma$, puis ajoutez-les tous dans l’ordre (c’est à dire mettez-les l’un après l’autre) (nous spécifions que vous travaillez de gauche à droite). De cette façon,22\cdot\omega means signifie prendre les nombres naturels, échanger chacun des nombres contre deux nombres, puis mettre toutes ces paires les unes après les autres. Cela nous rendomega\omega back. Cependant,omega\omega\cdot 2 means signifie prendre une paire ordonnée, échanger chacun des deux éléments avec une copie des nombres naturels, puis mettre une copie après l’autre. C’est la même chose que vous obtiendriez en calculant $\omega + \omega$.
Dans ce cadre, la multiplication et l’addition d’ordinaux infinis ne sont pas aussi triviales que pour les cardinaux. Nous obtenons, par exemple, $\omega\cdot\omega = \omega +\omega + \omega + \cdots $, qui est le plus petit ordinal carré parfait infini. Comme pour les nombres naturels eux-mêmes, certains ordinaux ont une racine carrée et d’autres non. Plus précisément,omega\omega does n’a pas de racine carrée.
(Vous pouvez également définir des exposants pour les ordinaux: Dans ce cas, $\gamma^\lambda$ est l’ordinal nous obtenons si nous prenons $\lambda$, remplacer chaque élément par des copies de $\gamma$, et de multiplier tous ensemble, tout comme la multiplication a été défini comme une addition répétée. Cela fait $\omega^2 = \omega\cdot\omega$. Chouette, hein ? Notez que si l’addition et la multiplication ordinale et cardinale sont quelque peu similaires, leurs notions d’exponentiation sont très différentes.)
Enfin, je vais vous parler des chiffres surréalistes. Alors que les ordinaux et les cardinaux sont très utilisés en théorie des ensembles, les nombres surréalistes sont plus une curiosité. Ils sont également un peu plus difficiles à enrouler la tête. Cependant, je les aime vraiment, alors voici un bref résumé.
surréaliste nombre $x$ est constitué d’un ensemble ordonné paire d’ensembles écrit $\langle L_x\mi R_x\rangle$, où $L_x$ a appelé la gauche ensemble de $x$ et $R_x$ est appelé le bon ensemble. Ces ensembles, les deux sont composées d’autres surréaliste numéros, avec l’exigence que si $x_l \dans L_x$ et $x_r\dans R_x$, alors nous avons $x_l < x_r$. $x$, alors, signifie un surréaliste nombre entre $L_x$ et $R_x$ (le premier nombre en fonction de sa génération, voir ci-dessous). La commande est définie de la manière suivante: étant Donnés deux surréaliste nombres $x = \langle L_x\mi R_x\rangle, y = \langle L_y\mi R_y\rangle$ nous dire que $x \leq y$ iff à la fois les conditions suivantes sont remplies:
- Il n’y a pas de $x_l\dans L_x$ tel que $y \leq x_l$
- Il n’y a pas de $y_r\dans R_y$ tels que $y_r\leq x$
(Notez que dans le but d’évaluer $y \leq x_l$ et $y_r\leq x$, vous devez appliquer la même définition une fois de plus. Cela deviendra, en pratique, très fastidieux pour tous les nombres sauf les plus simples. Ce concept récursif revient lors de la définition de l’addition et de la multiplication.)
En fait, je n’étais pas tout à fait véridique plus tôt. Un nombre surréaliste est une classe d’équivalence de telles paires (c’est ce qui m’a pris beaucoup de temps à vraiment apprécier). Une paire elle-même est appelée une forme de nombre surréaliste. Deux formes $x, y$ appartiennent à la même classe d’équivalence iff $x\leq y$ et $y\leq x$.
Chaque nombre surréaliste a une soi-disant « génération ». Le premier nombre surréaliste (génération00$) est $0 = \langle{}\mid{}\rangle where où les ensembles gauche et droit sont vides. Les deux prochaines surréaliste numéros (génération 1 $de$) de $1 = \langle0\mi{}\rangle$ et $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. La génération de $2$ se compose de $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mi 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ et $2 = \langle 1\mi{}\rangle$.
Ici, nous pouvons voir les classes d’équivalence au travail, parce que nous avons aussi $2 = \langle -1, 0, 1\mi {}\rangle$, et nous avons, par exemple, de 0 $ = \langle -2\mid 1\rangle$, parce que même si $-1$, $\frac12$ et $-\frac12$ sont aussi entre $-2$ et $1$, $0$ appartient à une génération antérieure. Vous pouvez vérifier que nous avons en effet la $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$ et, dans le même temps, $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, alors que le même n’est pas vrai si on les échange de $\langle {}\mid{}\rangle$ pour $\langle 0\mid 1\rangle$.
Nous continuer à faire de plus en plus fine des divisions dans tous les finis générations, chaque nombre qui semble être un nombre de la forme $\frac a{2^b}$, une dyade fraction, jusqu’à ce que nous arrivons à la première infini génération, $\omega$ (oui, les générations sont des ordinaux), où tous les nombres réels soudainement (par exemple, $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Nous obtenons également le premier ordinal infini, $\omega$ lui-même, en tant que $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, et sa réciproque de $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
Jusqu’à présent, je n’ai pas parlé de l’arithmétique. Sans cela, il n’y a aucune raison d’appeler 0\langle 0\mid 1\rangle\\frac12 and et rien d’autre. Étant donné $x = \langle L_x\mid R_x\rangle and etyy = \langle L_y\mid R_y\rangle,, l’addition est définie récursivement parxx +y = \langle\{x + y_l: y_l\in L_y\}\cup\{x_l+ y:x_l\in L_x\}\mid\{ x+y_r: y_r\ dans R_y\}\cup\{x_r+y:x_r\in R_x\}\rangleMultiplicationLa multiplication est un peu plus désordonnée, donc j’utiliserai un raccourci:xxy = \langle\{x_ly + xy_l-x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r-x_ry_r\}\mid\{x_ly + xy_r-x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l-x_ry_l\}\ranglewhere où la soustraction est définie comme on pourrait s’y attendre, en niant le bon nombre et en ajoutant. La négation se fait en niant chaque élément des ensembles droit et gauche, et en échangeant les deux autour.
Tout comme pour les ordinaux, $\omega^2 = \omega\cdot\omega is est un carré parfait. Cependant, voici la partie amusante: Tout nombre surréaliste positif a une racine carrée. Pour obtenir la racine carrée de $\omega$, nous devons donc quelques définitions plus (théoriquement, on pourrait, et devrait, de justifier chacun de ces noms en effectuant l’addition et de la multiplication de voir que vous obtenez ce que vous devez, mais c’est beaucoup de travail):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mi \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mi \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mi \omega – 2\rangle\\\vdots$$et alors on obtient $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mi\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle$. De même, nous pouvons définir $\frac\omega2-1, \frac\omega2-2$, et ainsi de suite, et nous obtenons $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid\ldots, \frac\omega2-3, \frac\omega2-2, \frac\omega2-1\rangle$. Ensuite, nous pouvons définir $\frac\omega8, \frac\omega {16}{ et ainsi de suite. Enfin, nous obtenons $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4, \ldots\mid\ldots, \frac\omega8, \frac\omega4, \frac\omega2, \omega\rangle$. Nous sommes maintenant à la générationomega \omega^2$.
