Sommation d’Einstein

La sommation d’Einstein est une convention de notation pour simplifier les expressions, y compris les sommations de vecteurs, de matrices et de tenseurs généraux. Il existe essentiellement trois règles de notation de sommation d’Einstein, à savoir:

1. Les indices répétés sont implicitement additionnés.

2. Chaque indice peut apparaître au plus deux fois dans n’importe quel terme.

3. Chaque terme doit contenir des indices identiques non répétés.

Le premier élément de la liste ci-dessus peut être utilisé pour simplifier et raccourcir considérablement les équations impliquant des tenseurs. Par exemple, en utilisant la sommation d’Einstein,

(1)

et

(2)

Les deuxième et troisième éléments de la liste indiquent que l’expression

(3)

est valide, alors que les expressions

(4)

et

(5)

sont invalides car l’index apparaît trois temps dans le premier terme de (), tandis que l’indice non répété dans le premier terme de () ne correspond pas au non répété du deuxième terme.

La convention a été introduite par Einstein (1916, sec. 5), qui a plaisanté plus tard à un ami: « J’ai fait une grande découverte en mathématiques; j’ai supprimé le signe de sommation à chaque fois que la sommation doit être faite sur un indice qui se produit deux fois… » (Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

En pratique, la convention a tendance à se produire à côté du delta de Kronecker et du symbole de permutation. De plus, la convention de sommation d’Einstein accepte facilement à la fois les exposants et les indices pour les tenseurs contravariants et covariants, respectivement.