Théorie des nœuds

Théorie des nœuds, en mathématiques, l’étude des courbes fermées en trois dimensions, et de leurs déformations possibles sans qu’une partie en coupe une autre. Les nœuds peuvent être considérés comme formés en entrelaçant et en bouclant un morceau de ficelle de quelque manière que ce soit, puis en joignant les extrémités. La première question qui se pose est de savoir si une telle courbe est vraiment nouée ou peut simplement être démêlée; c’est-à-dire si l’on peut ou non la déformer dans l’espace en une courbe inconnue standard comme un cercle. La deuxième question est de savoir si, plus généralement, deux courbes données quelconques représentent des nœuds différents ou sont vraiment le même nœud dans le sens où l’une peut être déformée continuellement dans l’autre.

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L’outil de base pour classer les nœuds consiste à projeter chaque nœud sur un plan — imaginez l’ombre du nœud sous une lumière — et à compter le nombre de fois où la projection se croise elle-même, en notant à chaque croisement quelle direction va « au-dessus » et laquelle va « en dessous. »Une mesure de la complexité du nœud est le moins grand nombre de croisements qui se produisent lorsque le nœud est déplacé de toutes les manières possibles. Le nœud vrai le plus simple possible est le nœud trèfle, ou nœud à revers, qui comporte trois de ces croisements; l’ordre de ce nœud est donc noté trois. Même ce nœud simple a deux configurations qui ne peuvent pas être déformées l’une dans l’autre, bien qu’il s’agisse d’images miroir. Il n’y a pas de nœuds avec moins de croisements, et tous les autres en ont au moins quatre.

Le nombre de nœuds distinguables augmente rapidement à mesure que l’ordre augmente. Par exemple, il y a près de 10 000 nœuds distincts avec 13 traversées, et plus d’un million avec 16 traversées — le plus haut connu à la fin du 20e siècle. Certains nœuds d’ordre supérieur peuvent être résolus en combinaisons, appelées produits, de nœuds d’ordre inférieur; par exemple, le nœud carré et le nœud de grand-mère (nœuds du sixième ordre) sont des produits de deux tréfils de même chiralité ou de chiralité opposée. Les nœuds qui ne peuvent pas être ainsi résolus sont appelés premiers.

Les premiers pas vers une théorie mathématique des nœuds ont été faits vers 1800 par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. Les origines de la théorie moderne des nœuds, cependant, découlent d’une suggestion du mathématicien-physicien écossais William Thomson (Lord Kelvin) en 1869 selon laquelle les atomes pourraient être constitués de tubes vortex noués de l’éther, avec différents éléments correspondant à différents nœuds. En réponse, un contemporain, le mathématicien et physicien écossais Peter Guthrie Tait, a fait la première tentative systématique de classer les nœuds. Bien que la théorie de Kelvin ait finalement été rejetée avec l’éther, la théorie des nœuds a continué à se développer en tant que théorie purement mathématique pendant environ 100 ans. Puis une percée majeure du mathématicien néo-zélandais Vaughan Jones en 1984, avec l’introduction des polynômes de Jones en tant que nouveaux invariants de nœuds, a conduit le physicien mathématique américain Edward Witten à découvrir un lien entre la théorie des nœuds et la théorie quantique des champs. (Les deux hommes ont reçu des médailles Fields en 1990 pour leur travail.) Dans une autre direction, le mathématicien américain (et médaillé Fields) William Thurston a établi un lien important entre la théorie des nœuds et la géométrie hyperbolique, avec des ramifications possibles en cosmologie. D’autres applications de la théorie des nœuds ont été faites en biologie, en chimie et en physique mathématique.