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Figure 1. Carte de visite vers 1866 d’Auguste De Morgan, signée « ADeMorgan » par lui. Photographie de Maull et Polyblank (voir Note). (De la collection du Dr Sid Kolpas)
Une brève biographie
Augustus De Morgan (1806-1871) était l’un des professeurs de mathématiques les plus influents et les plus réussis du 19ème siècle. À la fois selon les normes contemporaines et actuelles, il était un professeur extraordinaire. Selon Adrian Rice, dans l’article, « Qu’est-ce qui fait un Grand professeur de mathématiques? Le cas d’Augustus De Morgan, « il était un exemple d’un grand professeur de mathématiques, celui qui a inculqué un amour et un enthousiasme pour la matière à ses élèves, ayant ainsi un effet profond sur eux, même s’ils n’ont jamais poursuivi une carrière en mathématiques. La preuve de cette opinion provient des commentaires survivants des étudiants de De Morgan, et de certains mathématiciens de renom qui ont été influencés par son enseignement. Il possédait cette combinaison rare de perspicacité, d’humour et de créativité. Ses conférences étaient concises et lucides; contrairement à trop de ses pairs, il tenait à ce que ses élèves soient stimulés, défiés, inspirés et soigneusement instruits avec une planification et une pédagogie saines. Il détestait les concours et le manque de partage des connaissances qui en résultaient (un problème actuel dans nos écoles); il était en faveur de l’apprentissage coopératif. Les étudiants ont rapporté que ses conférences étaient riches en humour, applications à d’autres disciplines, références pour des études plus approfondies et amour de son sujet. Même les concepts les plus abstraits ont été mis en évidence grâce à son utilisation brillante de l’analogie, de la métaphore et de la similitude.
De Morgan est né à Madura, en Inde. Il a fait ses études dans des écoles privées jusqu’à son entrée au Trinity College de Cambridge, à l’âge de seize ans. C’était un excellent élève, proche du sommet de sa classe. Cependant, il a choisi de ne pas obtenir le diplôme de maîtrise ou de concourir pour une bourse universitaire en raison de son objection de conscience aux tests religieux exigés des candidats à Cambridge. En 1828, sur le mérite de ses résultats scolaires, il a reçu une nomination en tant que professeur de mathématiques à la nouvelle Université de Londres (qui est devenue University College London). Il y enseignera pendant plus de 30 ans, inspirant des générations d’étudiants. Les générations suivantes de ses élèves l’appelaient « Gussy » – la grande silhouette se dandinant à travers des lunettes à monture dorée qui leur enseignerait avec passion les mathématiques.
Sa réputation grandit en raison de son enseignement exceptionnel, encourageant et attentionné et de ses articles sur des sujets de pointe, des énigmes mathématiques, des jeux, des bizarreries et des paradoxes; De Morgan était le Martin Gardner du XIXe siècle. L’amour de De Morgan pour les énigmes et les histoires mathématiques a conduit, à titre posthume, à la publication de son Budget des paradoxes (1872); il est toujours imprimé. Tout en étant un homme de nature douce, il était aussi un homme de forte conviction. Il luttait contre les faux-semblants religieux et était un défenseur des droits des femmes en matière d’éducation, mais s’opposait au suffrage féminin. Il croyait également que les études mathématiques avancées étaient potentiellement dommageables pour la santé physique d’une femme, ce qui était une attitude omniprésente envers les femmes à l’époque. De plus en plus libéral à mesure qu’il grandissait, il donnait des conférences sur les mathématiques à des classes de femmes sans frais et encourageait les femmes, même compte tenu de leurs limitations mentales présumées, à poursuivre leurs études mathématiques.
Figure 2. Dessin d’un étudiant d’Augustus De Morgan menant une classe à l’University College de Londres. (Cette image de MS ADD 7 est utilisée ici avec l’aimable autorisation des Services de bibliothèque de l’UCL, Collections spéciales.)
Les textes de De Morgan étaient aussi remarquables que son enseignement. Plus de cent ans plus tard, ils constitueraient toujours d’excellents modèles de curriculum. Les sujets de ses textes comprenaient l’algèbre, la trigonométrie, le calcul différentiel et intégral, le calcul des variations, les probabilités et la logique symbolique. Tous les textes sont clairs, intéressants et remplis d’exemples merveilleux. Parmi ses meilleures publications figurent Un Essai Sur les Probabilités (1838), le Calcul (1842), la Logique formelle (1847) et la Double Algèbre (1849), qui préfigure l’algèbre abstraite. Quand il n’était pas au travail sur ses nombreux articles et livres — dont un sixième des articles de la célèbre Penny Cyclopaedia pour laquelle il a écrit un article qui définissait le processus d’induction mathématique – De Morgan a passé du temps sur ses deux grandes passions: jouer de la flûte et collectionner des livres de mathématiques rares. Ce dernier passe-temps l’a aidé à devenir l’expert de son époque en histoire des mathématiques.
En 1837, Augustus De Morgan épousa Sophia Elizabeth Frend. Leur maison, avec cinq enfants, est devenue le centre d’un grand cercle d’amis qui s’y sont réunis pour partager des intérêts intellectuels. L’un des amis d’Augustus était George Boole, qui, avec De Morgan, a été le pionnier du développement de la logique symbolique. La logique formelle de De Morgan (1847) est mise sous presse en même temps que les travaux de Boole sur l’algèbre de la logique. Les deux travaux traitaient du calcul propositionnel.
De Morgan est peut-être mieux connu pour « Les lois de De Morgan », deux théorèmes apparentés en logique symbolique et en théorie des ensembles, respectivement.
Logique symbolique : \
Théorie des ensembles: \
Augustus De Morgan doit être rappelé, comme tous les enseignants inspirants, pour la profonde influence qu’il a eue sur ses élèves, parmi lesquels Isaac Todhunter (1820-1884) et James Joseph Sylvester (1814-1897). Il a également tutoré Ada Lovelace (1815-1852) et l’a encouragée à développer ses talents mathématiques; il estimait qu’elle avait un talent mathématique supérieur à celui de la plupart des femmes. Il a été une force stimulante dans le développement des mathématiques et des enseignants de mathématiques, une force motrice dans le développement des fondements logiques des mathématiques et un partisan de la modernisation du calcul. Homme sans prétention, il évitait les diplômes honorifiques, l’adhésion à la Royal Society et les mesquineries politiques et religieuses. Sa vie était consacrée à sa famille, à ses amis et à ses étudiants.
Note : Maull & Le studio photographique londonien de Polyblank a été fondé en 1854. Le studio s’est spécialisé dans les portraits de personnalités célèbres. Leur travail le plus remarquable, des Portraits photographiques de célébrités vivantes, a été publié en plusieurs parties de 1856 à 1859. Il se composait de quarante portraits individuels avec des biographies, délivrés aux abonnés puis reliés en un seul volume par l’abonné après la livraison de toutes les parties; c’était une pratique populaire à l’époque. Les portraits ont également été publiés sous forme de gravures dans l’Illustrated London News. Retour à la brève biographie de De Morgan.
Figure 3. De Morgan Est Un Essai Sur Les Probabilités (1838). (De la collection du Dr. Sid Kolpas)
L’algorithme de De Morgan pour l’approximation des factorielles
Les factorielles de nombres entiers jouent un rôle important en théorie des probabilités, en particulier dans les permutations et les combinaisons. Au cours du 19ème siècle, sans dispositifs de calcul, ces factorielles étaient difficiles à calculer pour de grands nombres entiers. Dans son Essai sur les probabilités, De Morgan a présenté l’algorithme décrit dans la figure 4, ci-dessous, pour approximer \(n!, \) où \(n\) est un nombre entier. Notez que \(\) est la notation de De Morgan pour « \(n\) factorielle » ou \(n!.\) Ainsi, dans le premier paragraphe de la figure 4, lorsque De Morgan a écrit « , » il signifiait la factorielle d’un entier positif donné.
Figure 4. Instructions de De Morgan pour approximer \(n!\) des pages 15-16 de son Essai Sur les probabilités (Google Books)
Approximation de Stirling de \(n!, \) où \(n\) est un nombre entier, a été découvert par le mathématicien écossais James Stirling (1692-1770). Stirling a publié son travail le plus important, Methodus Differentialis, en 1730. Ce livre traite des séries infinies, de la sommation, de l’interpolation et de la quadrature. La formule suivante pour \(n!, \) pour lequel Stirling est devenu connu, apparaît comme Exemple 2 de la Proposition 28 du Methodus Differentialis. L’approximation de Stirling indique que l’algorithme de \
De Morgan a fourni des instructions étape par étape pour calculer l’approximation de \(n!\) donnée par la formule de Stirling.
Figure 5. Page de titre du Methodus Differentialis de Stirling (Google Books)
Se référant à l’algorithme de De Morgan pour approximer \(n!\) et notant que \(0.4342945\) est une approximation de \(\log_{10} e, \) et \(0.7981799\) est une approximation de \(\log_{10}(2\pi), \) nous avons:
- Prenez le logarithme de base 10 du nombre \(n\) et soustrayez-en \(0,4342945\): \(\log n-\log e = \log\left(\frac{n}{e}\right).\)
- Multipliez le résultat par \(n\): \(n\log\left(\frac{n}{e} \right) = \log \ left(\frac{n}{e} \right) ^n. \)
- Pour \(\log n\) ajoutez \(0.7981799 \): \(\log n + \log 2\pi = \log 2n\pi.\)
- Prenez la moitié de cette somme: \({\frac{1}{2}} \log 2n\pi = \log\sqrt{2n\pi}.\)
- Ajoutez les résultats des 2ème et 4ème étapes: \
- Depuis \(\log n!\sim\log \sqrt {2n\pi}\ gauche (\frac {n} {e} \ droite) ^n, \) puis \(n!\sim\sqrt {2n\pi}\left(\frac{n}{e} \right) ^n, \) qui est la formule de Stirling.
- Cette approximation de \(n!\) est un peu trop petit; pour l’améliorer, ajoutez-en \({\frac{1}{12n}}\) à lui-même: \
Une lettre de De Morgan Concernant l’histoire des mathématiques
Comme indiqué ci-dessus, Augustus De Morgan était un contributeur fréquent à la Penny Cyclopaedia, contribuant plus de 700 articles aux 27 volumes de la Cyclopaedia, publiés de 1828 à 1843.
Figure 6. La Cyclopédie Penny, Volume 26, contient un article de De Morgan sur le texte mathématique indien Viga Ganita. (Google Books)
L’une des dernières entrées de De Morgan dans la Penny Cyclopaedia était un article intitulé « VIGA GANITA » paru aux pages 318-326 du volume 26, publié en 1843 (facilement accessible via Google Books). De Morgan a admis au début de cet article qu’il discuterait de bien plus que de la Viga Ganita (maintenant plus souvent translittérée par Bījagaṇita ou Bīja-gaṇita), un travail sur l’algèbre du mathématicien et astronome indien du 12ème siècle Bhascara (maintenant généralement connu sous le nom de Bhāskara II), qui aurait longtemps vécu et travaillé dans un célèbre observatoire astronomique à Ujjain. En effet, De Morgan a écrit que son plan était de profiter de la place de la lettre « V » près de la fin de l’alphabet pour rapporter la toute dernière étude sur la « science astronomique et arithmétique des Hindous » (p. 318). L’attente n’en valait peut–être pas la peine, car ce que De Morgan devait écrire était « un compte rendu des extrêmes les plus singuliers de l’opinion » (p. 318) – un récit de nombreux désaccords entre les érudits, du moins certains qu’il considérait comme assez partiaux.
Dans cet article, De Morgan a donné trois possibilités pour l’identité et le siècle de l’astronome et mathématicien indien Varāhamihira, qui l’intéressait car (p. 320):
Les écrivains les plus cités par les astronomes hindous portent les noms de Varaha-mihira et Brahmegupta.
On pense maintenant que Varāhamihira a vécu au vie siècle et Brahmagupta au VIIe siècle. On a longtemps pensé que les deux avaient vécu et travaillé à Ujjain dans un célèbre observatoire astronomique, tout comme Bhaskara II des siècles plus tard. Cependant, comme l’a rapporté l’historienne de l’astronomie et des mathématiques indiennes Kim Plofker dans son livre de 2009, Mathematics in India, il n’y a aucune preuve qu’aucun des trois astronomes ait vécu à Ujjain ou qu’il y ait même un observatoire astronomique (pp. 318-319, 326).
Cependant, ce que De Morgan savait en 1843, c’est que le très réputé indologue Henry Thomas Colebrooke et les « astronomes d’Ujein » se sont mis d’accord sur les dates de Varāhamihira (et de Brahmagupta), mais que d’autres ont placé Varāhamihira des siècles plus tôt ou plus tard (« VIGA GANITA », p. 320).:
D’après ses données astronomiques, Colebrooke en déduit que Varaha-mihira a écrit à la fin du Ve siècle, ce qui est également la date qui lui a été attribuée par les astronomes d’Ujein. Var Il y a un autre Varaha-mihira, que les mêmes astronomes placent en l’an 200. Mais la tradition populaire place Varaha-mihira à l’époque de Vicramadytia (av. 56), et nomme, comme on le remarquera ci-après, plusieurs de ses contemporains.
Colebrooke est décédé en 1837. Son protégé Horace Hayman Wilson était devenu le premier professeur Boden de sanskrit à l’Université d’Oxford en 1832; cependant, comme le montre la figure 7 ci-dessous, Wilson avait écrit en 1835 que Varāhamihira vivait au premier siècle avant notre ère!
Figure 7. Tiré d’un Manuel d’Histoire et de chronologie Universelles, à l’usage des écoles (1835), par H. H. Wilson, page 25, paragraphe 43. Ici, Wilson a placé Varāhamihira à 56 avant notre ère ou un peu plus tard. « Ougein » de Wilson est devenu « Ujein » dans l’article de De Morgan et est maintenant connu sous le nom d’Ujjain. (Google Books)
Dans la lettre suivante de De Morgan à Wilson, De Morgan a tenté de confirmer les croyances de Wilson sur l’identité et le siècle de Varāhamihira, probablement pour son article de Penny Cyclopaedia avant sa publication.
Figure 8. Lettre d’Augustus De Morgan à H. H. Wilson. Notez que la signature de De Morgan à la fin de la lettre est identique à celle de la carte de visite de la figure 1. (De la collection du Dr. Sid Kolpas)
Transcription de la Lettre de De Morgan
Monsieur
Avec de nombreuses excuses pour vous avoir troublé, totalement inconnu de vous que je suis, je me permets de vous poser une question sur votre manuel d’histoire, ouvrage que j’ai souvent consulté pour les dates orientales, et que j’ai, en raison de la commodité de ces mêmes dates, recommandé comme utile à l’étudiant en histoire mathématique dans le tract qui l’accompagne dont je vous supplie acceptation.
Page 25 43. Considérez-vous Varaha-Mihira comme l’écrivain astronomique de ce nom, ou celui de ce nom, dont l’âge est discuté par Colebrooke, et que Bentley et un écrivain français cité par Delambre auront (contre l’avis de Colebrook, si je comprends bien) comme l’auteur de la Surya Siddhanta: ou pensez-vous qu’il y a une bonne probabilité qu’il soit le même.
Je reste Monsieur
Votre fidèle Serviteur
ADeMorgan
69 Gower Street
5 avril 1843
Nous ne savons pas si De Morgan a reçu une réponse de Wilson ou, si oui, ce que c’était. La référence de De Morgan à la « tradition populaire » dans son article de la Penny Cyclopaedia plutôt qu’à Wilson par son nom peut indiquer que Wilson a reculé de son affirmation selon laquelle Varāhamihira vivait vers 56 avant notre ère.
Notes sur la Lettre de De Morgan et sa transcription
Note 1. Un Manuel d’Histoire et de Chronologie Universelles, à l’usage des écoles. H. H. Wilson, M.A., Professeur Boden de sanscrit, Oxford. Londres : Whittaker, 1835. Wilson était un protégé de Colebrooke (voir Note 4 ci-dessous) et devint le premier professeur Boden de sanskrit à l’Université d’Oxford en 1832.
Note 2. Le passage d’Un Manuel d’Histoire et de Chronologie Universelles, à l’usage des écoles, par H. H. Wilson, à la page 25, paragraphe 43, est illustré à la figure 7 ci-dessus.
Note 3. Varāhamihira (505-587) était un astronome, mathématicien et astrologue indien.
Note 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) était un indologue anglais particulièrement intéressé par la religion, la linguistique et l’astronomie. De Morgan a écrit dans son article sur la cyclopédie, « Mr. Colebrooke était l’un des plus éminents spécialistes du sanscrit, un antiquaire indien infatigable, et plus que bien informé en mathématiques et en astronomie » (p. 319). Après avoir passé plus de 30 ans (1783-1814) en Inde, Colebrooke est retourné en Angleterre où il a publié l’Algèbre, avec Arithmétique et Mensuration, à partir du Sanscrit de Brahmegupta et Bhascara (Londres, 1817) et a cofondé la Royal Astronomical Society en 1820 et la Royal Asiatic Society en 1823.
Note 5. John Bentley était un indologue anglais dont De Morgan a écrit de manière désobligeante dans son article « VIGA GANITA ». Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) était un célèbre astronome français, auteur de livres sur l’histoire de l’astronomie de l’Antiquité au XVIIIe siècle.
Note 6. Le Sūrya-Siddhānta, un manuel d’astronomie qui traite de ce que nous appelons sinus, cosinus et tangente, a été supposé par certains être l’une des œuvres les moins connues de Varāhamihira. Plofker (2009) a placé le Sūrya-Siddhānta ou « Traité du Soleil » vers l’an 800 de notre ère, « composé ou révisé à partir d’une œuvre antérieure du même nom . Ce Sūrya-Siddhānta antérieur a été en partie conservé » dans un ouvrage de Varāhamihira du vie siècle (p. 71).
Retour à la transcription de la lettre de De Morgan
Augustus De Morgan. Un Budget de Paradoxes. Londres : Longmans, Green and Company, 1872.
Auguste De Morgan. Un Essai Sur Les Probabilités. Londres : Longman, Orme, Brown, Green et Longmans, et John Taylor, 1838.
, « Viga Ganita », Penny Cyclopaedia de la Société pour la Diffusion des Connaissances utiles, vol. 26 (1843), p. 318 à 326.
Sophie De Morgan. Mémoire d’Auguste De Morgan. Londres : Longmans, Green and Company, 1882.
James Essinger. Algorithme d’Ada: Comment Ada Lovelace, la fille de Lord Byron, A lancé l’ère numérique. Londres : Gibson Square Ltd., 2014.
Le musée J. Paul Getty. » Maull et Polyblank. »
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. Une Histoire des mathématiques: Une introduction (3e éd.). Il s’agit de la première édition de la série.
Contributeurs de l’Encyclopédie du Nouveau Monde, « Henry Thomas Colebrooke », Nouvelle Encyclopédie du Monde, dernière mise à jour le 24 février 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O’Connor et E. F. Robertson. » Augustus De Morgan « , Archives d’histoire des mathématiques de MacTutor, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Mathématiques en Inde. Il s’agit de la première édition de Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. « Qu’est-Ce qui fait un Grand Professeur de Mathématiques? Le cas d’Augustus De Morgan. »The American Mathematical Monthly. Vol. 106, No 6 (juin. – Jul., 1999), p. 534 à 552.
Horace Hayman Wilson. Un Manuel d’Histoire et de Chronologie Universelles, à l’usage des écoles. Londres: Whittaker et Cie., 1835.
