Trajectoire hyperbolique

Comme une orbite elliptique, une trajectoire hyperbolique pour un système donné peut être définie (en ignorant l’orientation) par son demi-grand axe et l’excentricité. Cependant, avec une orbite hyperbolique, d’autres paramètres peuvent être plus utiles pour comprendre le mouvement d’un corps. Le tableau suivant répertorie les principaux paramètres décrivant le trajet d’un corps suivant une trajectoire hyperbolique autour d’un autre sous des hypothèses standard et la formule les reliant.

Équations de trajectoire hyperbolique

Élément	Symbole	Formule	utilisant v ∞ {\displaystyle v_{\infty}} (ou un {\displaystyle a} ), et b {\displaystyle b}
Paramètre gravitationnel standard	μ{\displaystyle\mu \,}	v 2(2/r−1/a) {\displaystyle {\frac{v^{2}} {(2/r-1/a)}}}	d v ∞ 2 lit ⁡ θ ∞ {\displaystyle bv_{\infty}^{2} \lit\thêta _ {\infty }}
Excentricité (>1)	e {\displaystyle e}	r r p-1 {\displaystyle{\frac{\ell} {r_{p}}}-1}	1 + b 2/ a 2 {\displaystyle{\sqrt{1+b^{2}/a^{2}}}}
Demi-grand axe (<0)	a {\displaystyle a\,\!}	1 / ( 2 / r-v 2/μ) {\displaystyle 1/(2/ r-v ^ {2}/\mu )}	− μ/v ∞ 2 {\displaystyle-\mu/v_ {\infty }^{2}}
Vitesse excessive hyperbolique	v ∞ {\displaystyle v_{\infty}}	− μ/a {\displaystyle{\sqrt{-\mu/a}}}
( Externe) Angle entre asymptotes	2 θ ∞ {\displaystyle 2\thêta_ {\infty }}	2 cos-1 ⁡(-1/e) {\displaystyle 2\cos^{-1}(-1/e)}	π +2 tan-1 ⁡(b/a) {\displaystyle\pi +2\tan^{-1}(b/a)}
Angle entre les asymptotes et l’axe conjugué du chemin hyperbolique d’approche	2 ν {\displaystyle 2\nu}	2 θ ∞-π {\displaystyle 2\thêta_{\infty}-\pi}	2 sin-1 ⁡(1(1 + r p ∗ v ∞ 2/μ)) {\displaystyle 2\sin ^{-1} {\bigg(}{\frac{1}{(1+r_{p}*v_{\infty}^{2}/\mu) } } {\bigg )}}
Paramètre d’impact (axe semi-mineur)	b {\displaystyle b}	− a e 2 – 1 {\displaystyle-a {\sqrt{e^{2}-1}}}
Rectum semi-latus	{ {\displaystyle\ell}	et (e 2 − 1) {\displaystyle a(e^{2}-1)}	− b 2/ a = h 2/ μ {\displaystyle-b^{2} / a = h^{2}/\mu}
Distance de périapsie	r p {\displaystyle r_{p}}	et (1−e) {\displaystyle a(1-e)}	a 2 +b 2 +a {\displaystyle {\sqrt{a^{2} +b^{2}}} +a}
Énergie orbitale spécifique	ε{\displaystyle\varepsilon}	− μ/2 a {\displaystyle-\mu/2a}	v ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_ {\infty }^{2}/2}
Moment angulaire spécifique	h {\displaystyle h}	μ ℓ {\displaystyle{\sqrt{\mu\ell }}}	b v ∞ {\displaystyle bv_ {\infty }}

Demi-grand axe, énergie et excès de vitesse hyperbolique

Le demi-grand axe (a{\displaystyle a\,\!}

) n’est pas immédiatement visible avec une trajectoire hyperbolique mais peut être construite car c’est la distance entre la périapsie et le point où les deux asymptotes se croisent. Habituellement, par convention, il est négatif, de garder diverses équations cohérentes avec des orbites elliptiques.

Le demi-grand axe est directement lié à l’énergie orbitale spécifique ( {{\displaystyle\epsilon \,}

) ou énergie caractéristique C 3 {\displaystyle C_{3}}

de l’orbite, et à la vitesse à laquelle le corps atteint lorsque la distance tend vers l’infini, l’excès de vitesse hyperbolique (v ∞{\displaystyle v_{\infty}\,\!}

). v ∞ 2 = 2 ϵ = C 3 = −μ/a {\displaystyle v_{\infty}^{2} = 2\epsilon=C_{3}=-\mu/a}

ou a =−μ/v ∞ 2 {\displaystyle a=- {\mu/{v_ {\infty }^{2}}}}

où : μ = G m {\displaystyle\mu= Gm\, \!}

est le paramètre gravitationnel standard et C 3 {\displaystyle C_{3}}

est l’énergie caractéristique, couramment utilisée dans la planification des missions interplanétaires

Notez que l’énergie totale est positive dans le cas d’une trajectoire hyperbolique (alors qu’elle est négative pour une orbite elliptique).

Excentricité et angle entre l’approche et le Départmodifier

Avec une trajectoire hyperbolique, l’excentricité orbitale (e {\displaystyle e\,}

) est supérieur à 1. L’excentricité est directement liée à l’angle entre les asymptotes. Avec une excentricité légèrement supérieure à 1, l’hyperbole est en forme de « v » pointu. À e = 2 {\displaystyle e = {\sqrt {2}}}

les asymptotes sont à angle droit. Avec e >2 {\displaystyle e>2}

les asymptotes sont distantes de plus de 120° et la distance de périapsie est supérieure au demi-grand axe. À mesure que l’excentricité augmente, le mouvement se rapproche d’une ligne droite.

L’angle entre la direction de la périapsie et une asymptote du corps central est la véritable anomalie car la distance tend vers l’infini (θ ∞{\displaystyle\thêta_{\infty }\,}

), donc 2 θ ∞ {\displaystyle 2\thêta _ {\infty }\,}

est l’angle externe entre les directions d’approche et de départ (entre les asymptotes). Alors θ ∞ = cos-1 ⁡(-1/e) {\displaystyle\thêta {_{\infty}} = \cos^{-1}(-1/e)\,}

ou e = – 1/cos θ θ ∞ {\displaystyle e = -1/\cos\thêta {_{\infty }}\,}

Paramètre d’impact et distance de l’approche la plus proche Modifier

Trajectoires hyperboliques suivies par des objets s’approchant de l’objet central (petit point) avec la même vitesse excessive hyperbolique (et le demi-grand axe (= 1)) et à partir de celle-ci direction mais avec des paramètres d’impact et des excentricités différents. La ligne jaune passe en effet autour du point central, s’en approchant de près.

Le paramètre d’impact est la distance à laquelle un corps, s’il continuait sur une trajectoire non perturbée, manquerait le corps central à son approche la plus proche. Lorsque les corps subissent des forces gravitationnelles et suivent des trajectoires hyperboliques, il est égal au demi-axe mineur de l’hyperbole.

Dans la situation d’un vaisseau spatial ou d’une comète s’approchant d’une planète, le paramètre d’impact et la vitesse excessive seront connus avec précision. Si le corps central est connu, la trajectoire peut maintenant être trouvée, y compris la proximité du corps qui s’approche à la périapsie. Si cela est inférieur au rayon de la planète, un impact doit être attendu. La distance d’approche la plus proche, ou distance de périapsie, est donnée par:

r p = -a(e-1) = μ/v ∞ 2(1+(b v ∞ 2/μ) 2 – 1) {\displaystyle r_{p} = -a(e-1) = \mu/v {_{\infty}}^{2} ({\sqrt{1+(bv{_{\infty}}^{2}/ \mu )^{2}}}-1)}

Donc, si une comète s’approche de la Terre (rayon effectif ~ 6400 km) avec une vitesse de 12.5 km / s (la vitesse d’approche minimale approximative d’un corps venant du Système Solaire externe) est pour éviter une collision avec la Terre, le paramètre d’impact devra être d’au moins 8600 km, soit 34% de plus que le rayon de la Terre. Un corps s’approchant de Jupiter (rayon 70000 km) du Système solaire externe avec une vitesse de 5,5 km / h, aura besoin que le paramètre d’impact soit d’au moins 770 000 km ou 11 fois le rayon de Jupiter pour éviter la collision.

Si la masse du corps central n’est pas connue, son paramètre gravitationnel standard, et donc sa masse, peut être déterminé par la déviation du corps plus petit avec le paramètre d’impact et la vitesse d’approche. Parce que généralement toutes ces variables peuvent être déterminées avec précision, un survol d’un engin spatial fournira une bonne estimation de la masse d’un corps.

μ = b v ∞ 2 tan δ δ/2 {\displaystyle\mu= bv_{\infty}^{2}\tan\delta /2}

où δ= 2 θ ∞−π {\displaystyle\delta= 2\thêta_{\infty}-\pi}

est l’angle que le corps le plus petit est dévié d’une ligne droite dans son cours.