Ce qui suit est tiré du nouveau livre de Joseph Mazur, Qu’est-Ce que la chance A à Voir avec Ça?:
… il existe une histoire authentiquement vérifiée selon laquelle, dans les années 1950, une roue de Monte-Carlo est montée vingt-huit fois de suite. Les chances que cela se produise sont proches de 268 435 456 contre 1. Sur la base du nombre de coups d’État par jour à Monte-Carlo, un tel événement ne se produira probablement qu’une fois tous les cinq cents ans.
Mazur utilise cette histoire pour sauvegarder un argument qui soutient que, au moins jusqu’à très récemment, de nombreuses roues de roulette n’étaient pas du tout justes.
En supposant que le calcul est correct (nous le vérifierons plus tard), pouvez-vous trouver la faille dans son argument? L’exemple suivant vous aidera.
La probabilité de lancer des doubles
Imaginez que vous remettiez une paire de dés à quelqu’un qui n’a jamais lancé de dés de sa vie. Elle les roule, et obtient double cinq dans son premier rouleau. Quelqu’un dit: « Hé, la chance du débutant! Quelles sont les chances de cela sur son premier rouleau? »
Eh bien, que sont-ils?
Il y a deux réponses que je prendrais ici, l’une bien meilleure que l’autre.
Le premier va comme ça. Les chances de lancer un cinq avec un dé sont de 1 sur 6; les dés sont indépendants, donc les chances de lancer cinq autres sont de 1 sur 6; par conséquent, les chances de rouler deux fois cinq sont les suivantes
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 sur 36.
Par cette logique, notre nouvelle joueuse vient de faire quelque chose d’assez improbable sur son premier lancer.
Mais attendez une minute. N’importe QUELLE paire de doubles n’aurait-elle pas été aussi « impressionnante » au premier tour? Ce que nous devrions vraiment calculer, ce sont les chances de rouler en double, pas nécessairement en cinq. Quelle est la probabilité de cela?
Puisqu’il y a six paires de doubles possibles, pas une seule, nous pouvons simplement multiplier par six pour obtenir 1/6. Un autre moyen facile de le calculer: Le premier dé peut être n’importe quoi du tout. Quelle est la probabilité que le deuxième dé lui corresponde ? Simple: 1 sur 6. (Le fait que les dés soient lancés simultanément n’a aucune conséquence pour le calcul.)
Pas tout à fait si remarquable, n’est-ce pas?
Pour une raison quelconque, beaucoup de gens ont du mal à saisir ce concept. Les chances de lancer des doubles avec un seul lancer d’une paire de dés sont de 1 sur 6. Les gens veulent croire que c’est 1 sur 36, mais c’est seulement si vous spécifiez quelle paire de doubles doit être lancée.
Réexaminons maintenant l ‘ »anomalie » de la roulette
Cette même erreur est ce qui amène Joseph Mazur à conclure à tort que, parce qu’une roue de roulette est apparue même 28 fois de suite en 1950, c’était très probablement une roue injuste. Voyons où il a mal tourné.
Il y a 37 emplacements sur une roue de roulette européenne. 18 sont pairs, 18 sont impairs, et l’un est le 0, qui, je suppose, ne compte ni comme pair ni comme impair ici.
Ainsi, avec une roue juste, les chances qu’un nombre pair apparaisse sont de 18/37. Si les spins sont indépendants, nous pouvons multiplier les probabilités de spins simples pour obtenir des probabilités conjointes, donc la probabilité de deux paires droites est alors (18/37) * (18/37). En continuant de cette manière, nous calculons les chances d’obtenir 28 nombres pairs consécutifs pour être $$(18/37)^{28}$$.
S’avère, cela nous donne un nombre qui est à peu près deux fois plus grand (ce qui signifie un événement deux fois plus rare) que le calcul de Mazur l’indiquerait. Pourquoi cette différence?
Voici où Mazur a eu raison: Il concède qu’une série de 28 nombres impairs consécutifs serait tout aussi intéressante (et tout aussi probable) qu’une série d’égalités. Si 28 cotes étaient apparues, cela aurait également fait partie de son livre, car ce serait tout aussi extraordinaire pour le lecteur.
Ainsi, il double la probabilité que nous avons calculée et rapporte que 28 égalités d’affilée ou 28 cotes d’affilée ne devraient se produire qu’une fois tous les 500 ans. Fin.
Mais qu’en est-il de 28 rouges d’affilée ? Ou 28 noirs ?
Voici le problème: il ne tient pas compte de plusieurs autres événements qui seraient tout aussi intéressants. Deux évidentes qui me viennent à l’esprit sont 28 rouges d’affilée et 28 noirs d’affilée.
Il y a 18 noirs et 18 rouges sur la roue (0 est vert). Les probabilités sont donc identiques à celles ci-dessus, et nous avons maintenant deux autres événements qui auraient été suffisamment remarquables pour nous faire nous demander si la roue était biaisée.
Donc maintenant, au lieu de deux événements (28 cotes ou 28 égalités), nous avons maintenant quatre de ces événements. Il est donc presque deux fois plus probable que cela se produise. Par conséquent, l’un de ces événements devrait se produire environ tous les 250 ans, pas 500. Un peu moins remarquable.
Qu’en est-il des autres événements improbables?
Qu’en est-il d’une série de 28 numéros qui ont exactement alterné tout le temps, comme pair-impair-pair-impair, ou rouge-noir-rouge-noir? Je pense que si l’un d’entre eux avait eu lieu, Mazur aurait été tout aussi excité de l’inclure dans son livre.
Ces événements sont tout aussi improbables que les autres. Nous avons maintenant presque doublé notre nombre d’événements remarquables qui nous feraient pointer une roue cassée comme le coupable. Seulement maintenant, il y en a tellement, on s’attendrait à ce qu’il y en ait un tous les 125 ans.
Enfin, considérez que Mazur regarde en arrière depuis de nombreuses années lorsqu’il souligne cet événement apparemment extraordinaire qui s’est produit. Si cela s’était produit entre 1900 et aujourd’hui, je suppose que Mazur aurait considéré cela assez récent pour inclure comme preuve de son point que les roues de roulette étaient biaisées il n’y a pas si longtemps.
C’est une fenêtre de 110 ans. Est-il donc si surprenant que quelque chose qui devrait se produire une fois tous les 125 ans se soit produit pendant cette grande fenêtre? Pas vraiment.
Un peu peu probable peut-être, mais rien qui convaincrait quiconque qu’une roue était injuste.
