az alkalmazások számos funkciója egyszerű funkciókból épül fel azáltal, hogy állandókat rögzít különböző helyeken. Fontos megérteniaz ilyen állandók hatása a grafikon megjelenésére.
vízszintes eltolódások. Ha a $x$-T $x-C$ – ra cseréljük mindenhol, akkor a $f(x)$ képletében fordul elő, akkor a grafikon a $C$ felett jobbra tolódik. (Ha $C$ negatív, akkor ez azt jelenti, hogy a grafikon balra mozog$|C|$ felett.) Például a $y=(x-2)^2$ grafikonja a$x^2$-parabola eltolódott, hogy csúcsa a$x$-tengely 2.pontján legyen. A $y=(x+1)^2$ grafikonja ugyanaz a parabola, amely balra tolódott, hogy csúcsa $-1$ legyen a $x$tengelyen. Megjegyzés: amikor a $x$-t $x-C$ – ra cseréljük, figyelmet kell fordítanunk a jelentésre, nem pedig a megjelenésre. Kezdve $y = x^2$ – val, és szó szerint helyettesítve $x$ – t $x-2$-val, $y=x-2^2$ – t ad. Ez $y=x-4$, egy 1-es lejtésű vonal, nem ashifted parabola.
függőleges eltolódások. Ha a $y$-T $y-D$ – RA cseréljük, akkor a grafikon $D$ egységeket emel. (Ha $d$ negatív, akkor ez azt jelenti, hogy a grafikonlejjebb mozog $|D|$ egységek.) Ha a képletet$y=f(x)$ formában írjuk, és ha $y$ helyébe $y-D$ lép, hogy $y-D=f(x)$ – t kapjunk, akkor egyenértékűen áthelyezhetjük $D$ – t az egyenlet másik oldalára, és$y=f(x)+D$ – t írhatunk. Így ez az elv kijelenthető: a $y=f(x)+d$ grafikonja, vegye fel a $y=f(x)$ grafikonját, és mozgassa $D$ egységekkel felfelé.Például a $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ függvény A$y=(x-2)^2$ – ból (lásd az utolsó bekezdést) szerezhető be a grafikon 4 egység lefelé mozgatásával.Az eredmény a $x^2$ – parabola eltolt 2 egységet jobbra és 4 egységet lefelé úgy,hogy a csúcsa a $(2, -4)$ponton legyen.
figyelmeztetés. Ne tévesszük össze a $f(x)+D$ – t és a $f (x+D)$ – t. Például, ha $f(x)$ a $x^2$ függvény, akkor $f(x)+2$ A $x^2+2$függvény,míg $f(x+2)$ A $(x+2)^2=x^2+4x+4$függvény.
példa 1.4.1 (körök) a fenti két elv fontos példájakezdődik a kör $x^2+y^2=r^2$. Ez a sugár$r$ középpontja az Origónál. (Mint láttuk, ez nem Egyetlen függvény$y=f(x)$, hanem két függvény $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ összerakva;mindenesetre a két váltási elv az ilyen egyenletekre vonatkozik, amelyek nem $y=f(x)$formában vannak.) Ha a $x$-T $X-C$—ra cseréljük, és a $y$-t $y-D$—RA cseréljük-megkapjuk a$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$egyenletet-a körre gyakorolt hatás az,hogy $C$ – t jobbra és $D$ – t felfelé mozgatjuk, ezáltal megkapjuk a $r$sugarú kört, amely a $(C, D)$pontra összpontosul. Ez azt mondja nekünk, hogyan kell írnibármely kör egyenlege, nem feltétlenül az eredet középpontjában.
később további két alapelvet szeretnénk használni aállandókegy függvény grafikonjának megjelenésére.
vízszintes tágulás. Ha a$ x$ – t egy képletben$ x/a $ váltja fel, és $a>1$, akkor a grafikon hatása az, hogy $a$ tényezővel bővítse ki a $x $ irányban (távol a$y$tengelytől). Ha $a$ 0 és 1 között van, akkor a grafikonra gyakorolt hatás $1/a$tényezővel(a $y$tengely felé) csökken. A “tágulás” szót használjuk kibővítésre vagy szerződésre.
például, ha $x$-t$x/0.5=x/(1/2)=2x$ – ra cserélünk, akkor a $y$ – tengely felé egy 2-es tényezővel összehúzódik. Ha $a$ negatív, akkor $|a|$ tényezővel tágulunk, majd a $y$tengely körül. Így a $x$ helyettesítése $ – x$ hatással vana grafikon tükörképének felvétele a $y$tengelyhez képest. Például a $y=\sqrt{-x}$ függvényt, amelynek $\{x\in\R\mid x\le 0\}$ tartománya van, úgy kapjuk meg, hogy a $\sqrt{x}$ grafikonját a $y$-tengely körül a második kvadránsba forgatjuk.
függőleges tágulás. Ha a$ y $helyébe$ y/B $ lép egy képletben és$B>0$, akkor a grafikonra gyakorolt hatás az, hogy a függőleges irányban $B$ tényezővel tágítja. Mint korábban, ez egy bővítés vagyösszekötés attól függően, hogy a $B$ nagyobb vagy kisebb, mint egy.Ne feledje,hogy ha van egy függvényünk $y=f(x)$, a $y$ helyettesítése $y/B$ – val egyenértékű a függvény szorzásával jobbra $B$ – val: $y=Bf(x)$. A grafikonra gyakorolt hatás az, hogy a képet kibővíti a $x$tengelytől $B$ tényezővel, ha $B>1$, hogy a $x$tengelyhez kösse $1/B$ tényezővel, ha $0
példa 1.4.2 (ellipszisek) a két expanziós elv alapvető példáját a $A$ és a $B$félmajor tengely ellipszise adja. Ilyen ellipszist kapunk az egységkörrel kezdve—az 1. sugár körének középpontja az eredet, amelynek egyenlete $x^2 + y^2=1$—, és egy tényezővel tágul $a$ vízszintesen és egy tényezővel $b$ függőlegesen. A $x$-tengelyt $\pm a$-nál és a $y$ – axisat $\pm b$ – t keresztező $x$ – t a $x/A$ – val, a $y$ – t pedig $y/b$ – val helyettesítjük az egységkörben. Ez ad $$\left ({x \ over a} \ right)^2+\left({y\over b}\right)^2=1\qquad\hbox{vagy}\qquad {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1.$$
végül, ha olyan funkciót akarunk elemezni, amely magában foglalja mind a váltásokat, mind a tágulásokat, akkor általában a legegyszerűbb először a hígításokkal, majd a váltásokkal dolgozni. Például, ha azt akarjuk, hogy egy függvényt $a$ tényezővel töröljünk a $x$irányba, majd a $C$ – t jobbra toljuk, akkor ezt úgy tesszük, hogy a $x$-t először $x/a$ – ra, majd $(x-C)$ – ra cseréljük a képletben. Tegyük fel például, hogy miután kitágítottuk az egységkörünket $a$-Val $x$ – irányban és $b$-Val $y$ – irányban, hogy megkapjuk az ellipszist az utolsó bekezdésben, akkor azt $h$ – tól jobbra, $k$ – tól felfelé akartuk eltolni,hogy a $(h, k)$pont középpontja legyen. Az új ellipszisnek$$\left({x-h\over a}\right)^2+\left({y-k\over b}\right)^2=1 egyenlete lenne.$$Jól jegyezd meg, hogy ez más, mint először a $h$ és $k$ eltolódásokat, majd a $A$ és $b$kitágulásokat:$$\left({x\over a}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.$$Lásd az 1.4.1. ábrát.
1.4.1. ábra. Ellipszisek: $ \ left({x-1 \ over 2} \ right)^2+\left({y-1\over 3}\right)^2=1$ a bal oldalon, $\left({x\over 2}-1\right)^2+\left({y\over 3}-1\right)^2=1$ A jobb oldalon.
gyakorlatok 1.4
kezdve a $\ds y=\sqrt{x}$ grafikonjával, a $\ds y=\sqrt{1/x$ grafikonjával és a $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ grafikonjával (a felső egység félkör), vázolja fel a következő függvények grafikonját:
Ex 1.4.1$\ds f(x)= \ sqrt {x-2}$
Ex 1.4.2$ \ ds f (x)=-1-1/ (x+2)$
Ex 1.4.3$ \ ds f (x)=4 + \ sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x / (1-x)$
Ex 1.4.5$ \ ds y=f (x) = -\sqrt{-x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+ \ sqrt{1-(x-1)^2}$
Ex 1.4.7$ \ ds f (x)=-4+ \ sqrt {- (x-2)}$
Ex 1.4.8$ \ ds f (x)=2 \ sqrt{1 – (x/3)^2}$
Ex 1.4.9$ \ ds f (x)=1 / (x+1)$
Ex 1.4.10$ \ ds f (x)=4+2 \ sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$ \ ds f (x)=1 + 1 / (x-1)$
Ex 1.4.12$ \ ds f (x)= \ sqrt{100-25 (x-1)^2}+2$
a $f(x)$ grafikonja az alábbiakban látható.Vázolja fel a következő függvények grafikonjait.
volt 1.4.13$ \ ds y=f (x-1)$
Ex 1.4.$14 \ ds y=1 + f (x+2)$
Ex 1.4.15$ \ ds y=1+2F (x)$
Ex 1.4.16$ \ ds y=2F (3x)$
Ex 1.4.17$ \ ds y=2F(3 (x-2))+1$
volt 1.4.18$ \ ds y=(1/2) f (3x-3)$
Ex 1.4.19$ \ ds y=f (1 + x / 3)+2$
