a következő Joseph Mazur új könyve, mi szerencse van köze hozzá?:
…van egy hitelesen igazolt történet, hogy valamikor az 1950-es években Monte Carlóban egy kerék akár huszonnyolc alkalommal is felbukkant egymás után. Ennek az esélye közel 268 435 456 az 1-hez. A Monte Carlo-i napi puccsok száma alapján egy ilyen esemény valószínűleg csak ötszáz év alatt történik meg.
Mazur használja ezt a történetet, hogy hát egy érv, amely szerint, legalábbis egészen a közelmúltig, sok rulett kerék egyáltalán nem volt tisztességes.
feltételezve, hogy a matematika helyes (később ellenőrizzük), megtalálja a hibát az érvelésében? A következő példa segít.
a dobás valószínűsége megduplázódik
Képzeld el, hogy átadsz egy pár kockát valakinek, aki még soha életében nem dobott kockát. Ő gurítja őket, és kap dupla ötös az első tekercs. Valaki azt mondja: “Hé, kezdők szerencséje! Mi az esélye ennek az első dobásra?”
nos, mik ezek?
két válasz van itt, az egyik sokkal jobb, mint a másik.
az első így megy. Az ötös dobásának esélye egy kockával 1 A 6-ban; a kocka független, így a másik öt dobásának esélye 1 A 6-ban; ezért a dupla ötös gördülésének esélye
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 a 36-ban.
ezzel a logikával az új játékosunk valami nagyon valószínűtlen dolgot tett az első dobásakor.
de várj egy percet. Nem lenne bármelyik páros ugyanolyan “lenyűgöző” az első tekercsen? Amit igazán ki kellene számolnunk, az a Duplázás esélye, nem feltétlenül ötös. Mi ennek a valószínűsége?
mivel hat lehetséges páros van, nem csak egy, csak hatszor szorozhatjuk meg, hogy 1/6-ot kapjunk. Egy másik egyszerű módja annak kiszámítására: Az első halál bármi lehet. Mi a valószínűsége, hogy a második kocka megegyezik vele? Egyszerű: 1 A 6-ban. (Az a tény, hogy a kocka hengerelt egyszerre nincs következménye a számítás.)
nem annyira figyelemre méltó, ugye?
valamilyen oknál fogva sok embernek nehézségei vannak ennek a koncepciónak a megértésével. Annak az esélye, gördülő páros egyetlen dobás egy pár kocka 1 A 6. Az emberek azt akarják hinni, hogy ez 1 a 36-ban, de ez csak akkor van, ha megadja, hogy melyik páros párot kell dobni.
most nézzük újra a rulett “anomália”
ugyanez a hiba az, ami miatt Joseph Mazur tévesen következtetni, hogy mivel a rulett kerék jött még 28 egyenes alkalommal 1950-ben, ez nagyon valószínű, tisztességtelen kerék. Lássuk, hol rontotta el.
vannak 37 rések Egy európai rulett kerék. 18 páros, 18 páratlan, és az egyik a 0, ami feltételezem, hogy itt nem számít sem páros, sem páratlan.
tehát egy tisztességes kerékkel a páros szám esélyei 18/37. Ha a pörgetések függetlenek, akkor megsokszorozhatjuk az egyes pörgetések valószínűségét, hogy közös valószínűségeket kapjunk, tehát két egyenes páros valószínűsége ekkor (18/37)*(18/37). Ilyen módon folytatva, kiszámoljuk a megszerzés esélyét 28 egymást követő páros számok lenni $$(18/37)^{28}$$.
kiderült, hogy ez egy olyan számot ad nekünk, amely nagyjából kétszer akkora (vagyis egy esemény kétszer olyan ritka), mint Mazur számítása. Miért a különbség?
itt van, ahol Mazur van ez jobb: Elismeri, hogy egy 28 egymást követő páratlan szám futtatása ugyanolyan érdekes (és ugyanolyan valószínű), mint egy páros futás. Ha 28 esély jött volna fel, az is bekerült volna a könyvébe, mert ugyanolyan rendkívüli lenne az olvasó számára.
így megduplázza a kiszámított valószínűséget, és beszámol arról, hogy 28 páros egymás után vagy 28 esély egymás után csak 500 évente egyszer történhet meg. Rendben.
de mi a helyzet 28 piros egy sorban? Vagy 28 fekete?
itt van a probléma: nem számol be több olyan eseményről, amelyek ugyanolyan érdekesek lennének. Két nyilvánvaló dolog jut eszembe: 28 vörös egymás után és 28 fekete egymás után.
18 fekete és 18 Vörös van a keréken (a 0 zöld). Tehát a valószínűségek megegyeznek a fentiekkel, és most van még két olyan eseményünk, amelyek elég figyelemre méltóak lettek volna ahhoz, hogy elgondolkodjunk azon, hogy a kerék elfogult-e.
tehát most két esemény (28 esély vagy 28 páros) helyett négy ilyen eseményünk van. Tehát majdnem kétszer olyan valószínű, hogy előfordul. Ezért ezeknek az eseményeknek körülbelül 250 évente kell megtörténniük, nem pedig 500-ban. Kicsit kevésbé figyelemre méltó.
mi a helyzet más valószínűtlen eseményekkel?
mi a helyzet a 28 szám futtatásával, amelyek pontosan váltakoztak az egész idő alatt, mint a Páros-Páratlan-Páros-Páratlan vagy a piros-fekete-piros-fekete? Azt hiszem, ha ezek közül egy történt volna, Mazur ugyanolyan izgatott lett volna, hogy belefoglalja a könyvébe.
ezek az események ugyanolyan valószínűtlenek, mint a többiek. Most már majdnem megdupláztuk azon figyelemre méltó események számát, amelyek arra késztetnek minket, hogy egy törött kerékre mutassunk a tettesként. Csak most, olyan sokan vannak, azt várnánk, hogy 125 évente megtörténjen egy.
végül vegyük figyelembe, hogy Mazur hosszú évekre tekint vissza, amikor rámutat erre a látszólag rendkívüli eseményre. Ha ez bármikor megtörtént volna az 1900 és a jelen között, azt hiszem, Mazur úgy gondolta volna, hogy a közelmúltban elég ahhoz, hogy bizonyítékként szerepeljen abban, hogy a rulett kerekek nem túl régen elfogultak voltak.
ez egy 110 éves ablak. Annyira meglepő tehát, hogy valami, aminek 125 évente egyszer meg kell történnie, abban a nagy ablakban történt? Nem igazán.
kissé valószínűtlen talán, de semmi, ami meggyőzni senkit, hogy a kerék igazságtalan volt.
