Húrok, állóhullámok és harmonikusok

Bevezetés: rezgések, húrok, csövek, ütőhangszerek….

Hogyan készítsünk zenei hangokat? Ahhoz, hogy hangot adjunk, szükségünk van valamire, ami rezeg. Ha hangjegyeket akarunk készíteni, akkor általában a rezgésnek szinte állandó frekvenciára van szüksége: ez stabil hangmagasságot jelent. Olyan frekvenciát is szeretnénk, amelyet a lejátszó könnyen vezérelhet. Az elektronikus műszerekben ez elektromos áramkörökkel vagy órákkal és memóriákkal történik. A nem elektronikus műszerekben a stabil, szabályozott rezgést álló hullám hozza létre. Itt megvitatjuk a húrok működését. Ez hasznos bevezetés a fúvós hangszerek tanulmányozásához is, mivel a rezgő húrok könnyebben vizualizálhatók, mint a fúvós hangszerek levegőjének rezgése. Mindkettő kevésbé bonyolult, mint az ütős család rúdjainak és bőrének rezgései. Az állóhullámok fizikájához van egy multimédiás bemutató.

utazó hullámok húrokban

a hegedű, a zongora és így tovább húrjai szorosan feszülnek és olyan gyorsan rezegnek, hogy lehetetlen látni, mi történik. Ha talál egy hosszú rugót (a ‘slinky’ néven ismert játék jól működik) vagy több méter rugalmas gumitömlőt, kipróbálhat néhány szórakoztató kísérletet, amelyek megkönnyítik a húrok működésének megértését. (A puha gumi erre jó, a kerti tömlők nem igazán elég rugalmasak.) Először tartsa vagy rögzítse az egyik végét, majd a másik végét még mindig az egyik kezében tartva nyújtsa ki kissé (nem túl sokat, egy kis megereszkedés nem fog fájni). Most húzza félre a másik kezével, hogy megtörjön, majd engedje el. (Ez, lassítva, mi történik, ha kitép egy húr.) Valószínűleg látni fogja, hogy a törés lefelé halad a “húron”, majd visszatér hozzád. Hirtelen oldalra rántja a kezét, de ha szilárdan tartja, akkor ismét visszatükröződik.

először észreveszi, hogy a hullám sebessége a húrban növekszik, ha szorosabban nyújtja. Ez hasznos a hangszerek hangolásához – de egyre előrébb járunk. Ez a húr “súlyától” is függ – lassabban halad egy vastag, nehéz húrban, mint egy azonos hosszúságú könnyű húrban, azonos feszültség alatt. (Szigorúan a feszültség és a hosszegységenkénti tömeg aránya határozza meg a sebességet, amint azt alább látni fogjuk.)

következő nézzük meg közelebbről a rögzített végén lévő visszaverődést. Észre fogja venni, hogy ha kezdetben balra húzza a húrot, akkor a tőled távolodó törés balra van, de jobbra törésként tér vissza – a visszaverődés megfordul. Ez a hatás nemcsak a vonós hangszereknél fontos, hanem a szél-és ütőhangszereknél is. Amikor egy hullám olyan határral találkozik, amely nem mozog vagy változik (vagy amely nem változik könnyen), a visszaverődés megfordul. (Az a tény, hogy fordított, nulla elmozdulást eredményez a végén. Azonban a reflexió bármilyen fázisváltozással állandó hullámot ad.)

Pengetős húrok

ha az egyik húrot gitáron vagy basszuson pengeti, akkor valami hasonlót csinál, bár itt a húr mindkét végén rögzítve van. Húzza ki a húrot egy ponton, majd engedje el az ábra szerint. A következő mozgás érdekes, de bonyolult. A kezdeti mozgás az alábbiakban látható. A mozgás nagyfrekvenciás összetevői (a húr éles kanyarulatai) azonban gyorsan eltűnnek – ezért a gitárhang hangja egy másodperccel vagy annál lágyabbá válik, miután összeszedte.


a húr pengetése által okozott utazási törések tükröződésének vázlata. Az (e) és az (m) által képviselt pillanatokban a húr egyenes, így elvesztette az oldalra húzással járó potenciális energiát, de maximális kinetikus energiával rendelkezik. Vegye figyelembe, hogy a reflexióknál a törés fázisa 180-mal változik 6db: felfelé vagy lefelé, vagy fordítva. Figyeljük meg azt is, hogy a kinks ‘áthaladnak’ egymást, amikor találkoznak a közepén.

miért fordított a reflexió? Nos, ha feltételezzük, hogy rögzített tárgyhoz van rögzítve vagy kötve, akkor a visszaverődés pontja valójában nem mozdult. De nézd meg a húr mozgását a bal oldali vázlatokban ábrázolt különböző idők összehasonlításával. Vegye figyelembe, hogy a törés mögötti húr a zavartalan helyzet felé mozog (lefelé a vázlatban). Ahogy a törés a végéhez közeledik, kisebb lesz, és amikor eléri a mozdíthatatlan végét, egyáltalán nincs törés – a húr egy pillanatra egyenes. De a húrnak még mindig megvan a lefelé irányuló lendülete, amely a nyugalmi helyzeten túlra viszi, és a másik oldalon egy törést hoz létre, amely aztán visszafordul a másik irányba. (A hullámok vonósokban való mozgását részletesebben a traveling Waves írja le, amely filmklipeket és animációkat tartalmaz. Ezen az oldalon azonban a zenei vonatkozásokra koncentrálunk. )

mint fentebb említettük, ez a mozgás csak közvetlenül a pengetés után figyelhető meg. Ahogy a magas frekvenciájú komponensek energiát veszítenek, az éles törések eltűnnek, és az alak fokozatosan megközelíti a vibraiton alapvető módját, amelyet alább tárgyalunk.

a meghajolt húr meglehetősen másképp viselkedik

először is, folyamatos energiaforrással rendelkezik, így ugyanazt a mozgást a végtelenségig képes fenntartani (vagy legalábbis addig, amíg el nem fogy az íj. Másodszor, az egyenletesen mozgó íjhoz való illesztéshez szükséges húr alakja eltérő.

vázlat a húrok meghajlásából eredő utazó törések tükröződéséről. Lásd az animációt és az íj-húr interakció magyarázatát íjakban és húrokban

utazó hullámok és állóhullámok

érdekes hatás akkor jelentkezik, ha megpróbálunk egy egyszerű hullámot küldeni a húr mentén úgy, hogy az egyik végét többször fel-le integetjük. Ha talált megfelelő rugót vagy gumitömlőt, próbálja ki. Ellenkező esetben nézze meg ezeket a diagramokat.


az animáció azt mutatja, a kölcsönhatás a két hullám, azonos frekvenciájú és nagyságú, utazó ellentétes irányban: jobbra kék, balra Zöld. A piros vonal az összegük: a vörös hullám az, ami akkor történik, amikor a két utazó hullám összeadódik (superpose a szakkifejezés). Az animáció leállításával ellenőrizheti, hogy a vörös hullám valóban a két kölcsönhatásban lévő utazó hullám összege.

a jobb oldali ábra ugyanaz a diagram, mint egy idősor-az idő fentről lefelé növekszik. Úgy gondolhat rá,hogy a hullámok fényképeinek sorozatát képviseli, nagyon gyorsan. A vörös hullám az, amit valójában látnánk egy ilyen fényképen.

tegyük fel, hogy a jobb oldali határ egy mozdulatlan fal. Amint azt fentebb tárgyaltuk, a hullám visszaverődik, így minden “fényképen” a kék plusz zöld nullát ad a jobb kéz határán. A visszavert (zöld) hullámnak ugyanaz a frekvenciája és amplitúdója, de ellentétes irányban halad.

a rögzített végén hozzáteszik, hogy nincs mozgás – nulla elmozdulás: végül is ez a mozdulatlanság állapota okozza a fordított visszaverődést. De ha megnézzük a piros vonal az animáció vagy a diagram (az összeg a két hullám) látni fogja, hogy vannak más pontok, ahol a húr soha nem mozog! Fél hullámhosszon fordulnak elő egymástól. Ezeket a mozdulatlan pontokat a rezgés csomópontjainak nevezzük, és fontos szerepet játszanak szinte az összes hangszercsaládban. A csomópontok között félúton vannak antinódák: a maximális mozgás pontjai. De vegye figyelembe, hogy ezek a csúcsok nem haladnak a húr mentén: két ellentétes irányban haladó hullám kombinációja állóhullámot eredményez.

ezt mutatja az animáció és az ábra. Vegye figyelembe azokat a pozíciókat (csomópontokat), ahol a két utazó hullám mindig kiolt, a többieket (antinódákat), ahol hozzáadnak, hogy maximális amplitúdójú oszcillációt kapjanak.

ezt a diagramot úgy gondolhatja, mint az ötödik harmonikus ábrázolását (nem méretarányosan) egy húron, amelynek hossza a diagram szélessége. Ez elvezet minket a következő témához.

harmonikusok és módok

a hangszer húrja (majdnem) mindkét végén rögzítve van, így a húr minden rezgésének mindkét végén csomópontoknak kell lennie. Ez korlátozza a lehetséges rezgéseket. Például az L hosszúságú karakterláncnak lehet egy állóhulláma, amelynek hullámhossza kétszer olyan hosszú, mint a karakterlánc (hullámhossz = 2L), amint azt a következő sorozat első vázlata mutatja. Ez mindkét végén csomópontot, középen pedig antinódot ad.

ez a húr rezgésének egyik módja (a” rezgés módja ” csak a rezgés stílusát vagy módját jelenti). Milyen más módok engedélyezettek a mindkét végén rögzített karakterláncon? A következő vázlatban több állóhullám látható.



egy idealizált* feszített húr első négy rezgési módjának vázlata rögzített hosszúsággal. A függőleges tengely eltúlzott.

dolgozzuk ki ezeknek a módoknak a frekvenciái közötti kapcsolatokat. Egy hullám esetében a frekvencia a hullám sebességének a hullám hosszához viszonyított aránya: f = v/^. A húr hosszához képest L, láthatja, hogy ezeknek a hullámoknak a hossza 2L, L, 2L/3, L/2. Ezt 2L/n-ként írhatjuk, ahol n a harmonikus száma.

az alapvető vagy az első mód F1 = v/61 = v/2L frekvenciával rendelkezik,
a második harmonikus F2 = v/2V/2L = 2F1 frekvenciával rendelkezik
a harmadik harmonikus F3 = v/33 = 3V/2L = 3F1 frekvenciával rendelkezik,
a negyedik harmonikus F4 = v/44 = 4V/2L = 4F1 frekvenciával rendelkezik, és általánosítani,

az n-edik harmonikus frekvenciája van FN = v/xhamn = NV/2L = NF1.

a húrok összes hulláma azonos sebességgel halad, tehát ezeknek a különböző hullámhosszú hullámoknak eltérő frekvenciájuk van, amint az látható. A legalacsonyabb frekvenciájú (f1) módot alapvetőnek nevezzük. Vegye figyelembe, hogy az n-edik mód frekvenciája van n szorozva az alapvető értékével. Az összes módot (és az általuk előállított hangokat) a húr harmonikusainak nevezzük. Az F, 2F, 3F, 4F stb frekvenciákat harmonikus sorozatnak nevezzük. Ez a sorozat a legtöbb zenész számára ismerős lesz, különösen a buglerek és a természetes szarvú játékosok számára. Ha például az alapvető a C3 vagy a viola C megjegyzés (névleges frekvencia 131 Hz: lásd ezt a linket egy táblázathoz), akkor a harmonikusoknak a következő ábrán látható hangmagasságai lennének. Ezeket a hangmagasságokat a legközelebbi negyedhanghoz közelítettük. Az Oktávok pontosan Oktávok, de az összes többi intervallum kissé eltér az egyenlő edzett skála intervallumaitól.

az ábra az első tizenkét harmonikus zenei jelölését mutatja egy C húron. A hangfájl lejátszásakor figyelmesen hallgassa meg a hangmagasságot. A hetedik és a tizenegyedik harmonika körülbelül félúton esik az egyenlő temperált skála hangjai között, ezért félig éles hangokkal jegyezték fel őket.

ezeket a hangmagasságokat feszített húron állíthatja elő: a legegyszerűbb a gitár, a cselló vagy a basszus alacsony húrjain*. Finoman érintse meg a húrt a hosszának 1/n pontján a végétől (ahol n 1, 2, 3 stb.), majd hajtsa le a húrot a végéhez közel. Alternatív megoldásként érintse meg a húrot nagyon könnyedén a hosszának 1/n pontján a végétől, húzza meg a húrot a végéhez közel, majd engedje el az első ujját, amint pengette. A karakterlánc megérintése egy csomópontot hoz létre, ahol megérinti, így gerjeszti (főleg) azt a módot, amelynek ott van csomópontja. Meg fogja találni, hogy játszhat kürt dallamok segítségével harmonikusok két-hat húr.

(*ha éppen elvégezte ezt a kísérletet, akkor észrevett néhány sajátosságot. A tizenkettedik fret, amelyet az oktáv előállítására használnak, kevesebb, mint félúton van a húr hosszában, ezért az a helyzet, ahol megérinti a húrot a 2.harmonikus előállításához – a húr felénél–, nem közvetlenül az oktáv fret felett van. A fenti “idealizált” karakterláncot mondtam, ami egy olyan karakterláncot jelent, amely teljesen rugalmas, így mindkét végén könnyen hajlítható. A gyakorlatban a húrok hajlítási merevsége véges, ezért tényleges hosszuk (az “L”, amelyet a fenti képletekben kell használni) valamivel kisebb, mint fizikai hosszuk. Ez az egyik oka annak, hogy a nagyobb húrok általában tekercselnek egy vékony mag felett, miért van a híd általában olyan szögben, amely hosszabb hosszúságot ad a kövérebb húroknak, és miért van a klasszikus gitár (szilárd) g húrja gyenge hangolással a magasabb freteken. Van egy hatás is, amely a húr extra nyújtásának köszönhető, amikor azt a fogólapra nyomják, ami jelentős hatással van az acél húrokra.)

gyakorlat gitárosok számára. A szokásos módon hangolt gitáron a B húr és a magas E húr megközelítőleg az alacsony E húr 3.és 4. harmonikájára van hangolva. Ha az alacsony E húrt az út egyharmadán kívül bárhová kitépi, akkor a B húrnak rezegni kell, amelyet a híd rezgései vezérelnek az első húr harmonikájából. Ha az alacsony e karakterláncot az út egynegyedén kívül bárhol kitépi, akkor a felső E karakterláncot hasonlóan kell vezetni.

harmonikus hangolás a gitárokon

a gitárosok gyakran a következő módon kezdik a hangolást: először az alacsony E húr 4., az a húr 3. és a felső E harmonikáját hangolják ugyanarra a hangra. A jobb oldali ábra a két legalacsonyabb húr harmonikus sorozatát mutatja. ezután a B karakterláncot (B3) az első (E2) 3.harmonikájára hangolják; majd hangolja az A karakterlánc 4. harmonikáját a D karakterlánc 3. helyére. Ezt a módszert nem lehet sikeresen kiterjeszteni a G húrra, mert általában túl vastag és merev, ezért jobban hangolható oktávokkal, a fretek használatával. Több okból (lásd a jegyzeteket az oldal végén) ez a hangolási módszer csak hozzávetőleges, és utána újra kell hangolni az oktávokat. A legjobb hangolás általában egy kompromisszum, amelyet meg kell tenni, miután megvizsgálta, hogy milyen akkordokat fog játszani, és hol játszik a fogólapon.

gitárhangolás harmonikusok által. (Ezek valódi helyek: a gitárzene általában egy oktávba kerül.)

harmonikusok a zenében

a zeneszerzők gyakran hívnak ilyen harmonikusokat vonós hangszereken: a leggyakoribb az “érintés negyedik”. Az egyik ujjával a játékos megállítja a húrot, hogy előállítsa az adott hanghoz szükséges hosszúságot, majd egy másik ujjával nagyon könnyedén megérinti a húrot abban a helyzetben, amely a skálán négy magasabb hanghoz szükséges (innen a név). Ez a helyzet a húr mentén az út egynegyede, tehát a leállított hang negyedik harmonikáját hozza létre. A negyedik harmonikus négyszerese az alapfrekvenciának, így két oktávval magasabb. A vonós játékosok számára a harmonikusokat “természetesnek” nevezik; amikor nyitott húrokon játsszák őket, és “mesterségesnek”; ha a játékosnak le kell állítania a húrot. Az ábra azt mutatja, hogy hogyan játsszák a természetes érintést, a hegedűn pedig a negyedik érintést. A diagram függőleges tengelyét az egyértelműség érdekében eltúlozták.


nyisson meg egy normálisan lejátszott karakterláncot, majd az érintés negyedik ezen a karakterláncon (4. harmonikus)

a hangmagasságot az határozza meg, hogy a húr milyen gyorsan rezeg. Ez négy dologtól függ:

• a vastagabb, masszívabb húrok lassabban rezegnek. Hegedűkön, gitárokon stb. a húr nyitott hossza nem változik, és általában a feszültség sem változik sokat (mindegyik ugyanolyan nehéz lenyomni). Tehát az alacsony hangú húrok vastagabbak.
• a frekvencia növekszik a húr feszültségével. Így hangolja be a hangszert gépfejekkel vagy hangoló csapokkal: a szorosabb magasabb hangmagasságot ad.
• a szabadon rezgő húr hossza szintén fontos. Ha például megállít egy húrot egy cselló fogólapján, lerövidíti a tényleges hosszúságot, így megemeli a hangmagasságot.
• a hangmagasságot a rezgés módjának megváltoztatásával is megváltoztathatja. Amikor harmonikusokat játszik, arra készteti a húrot, hogy olyan hullámokat hozzon létre, amelyek töredéke annak a hossznak, amelyet általában egy ilyen hosszúságú húr állít elő.

  mindezt egy egyszerű kifejezésbe foglalhatjuk. Ha a húr rezgő része l hosszúságú és m tömegű, ha a húr feszültsége F, és ha az n-edik harmonikát játssza, akkor a kapott frekvencia

  fn = (n/2L)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  az olyan hangszerekben, mint a hegedű és a gitár, a nyitott hossz és a feszültség meglehetősen hasonló minden húrhoz. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy egy húr oktávval alacsonyabb legyen, miközben megtartja az azonos hosszúságot, meg kell négyszereznie az M/L arányt. A zsírhúrok azonban általában összetettek: egy vékony mag tekercsekkel csomagolva, hogy masszívabbá tegyék őket anélkül, hogy nehezebbé tennék őket.

  lássuk, honnan származik ez a kifejezés. A hullám a rezgés t periódusában egy távolságot tesz meg, tehát v = ++ / T. a frekvencia f = 1 / T = v/^. Tehát f = v/++. Azt is láttuk, hogy az f1 alapfrekvencia esetében a húr hossza 6 / 2, tehát f1 = v / 2L. a hullámsebességet az F húr feszültsége, valamint az egységnyi hosszra vagy lineáris sűrűségre jutó tömeg határozza meg. Tehát f1 = (f/LM)1/2. Mindkét oldal N-vel való szorzása megadja a fent idézett harmonikusok frekvenciáit.

  ezt átrendezhetjük úgy, hogy a húr feszességét kapjuk: F = 4f12lm.

komplikációk a harmonikus hangolással

számos probléma van a gitárhangolással, beleértve a fent javasolt harmonikusok használatát is.

a legnyilvánvalóbb közelítés a temperamentumhoz kapcsolódik: ha a gitárhúrok ideálisak lennének, és a fretek ideális távolságra lennének az egyenlő temperamentumhoz, akkor a harmonikus negyedek hangolása az E-A és A-D párokhoz, plusz két egyenlő edzett félhang a D húron, a legalacsonyabb E és a 2.fret közötti intervallum a D húron körülbelül 4 cent lapos ((4/3)222/12=1,996). Ez interferencia ütemekhez vezetne, néhány másodpercenként egy rendszámmal.

a harmonikus hangolás másik nyilvánvaló bonyodalma, hogy a húrok nem hajlanak meg teljesen könnyedén az anyán és a hídon (amint azt fentebb tárgyaltuk). Lásd még, hogy a harmonikus harmonikus.) Ennek eredményeként a húr 1.felhangja kissé élesebb, mint egy oktáv, a következő még élesebb, mint egy tizenkettedik stb. Tehát ha az E húr 4. ‘harmonikusát’ az A húr 3. részére hangoljuk, akkor a nyitott intervallumuk több, mint egy harmonikus negyedik. Tehát ez kompenzálja a temperamentum problémáját.

egy további probléma a fret és a híd elhelyezésével kapcsolatos. Ha lenyomja a húrot a tizenkettedik fretnél, növeli annak hosszát. (Mielőtt megnyomná, a legrövidebb távolság az anya és a híd között. Utána hosszabb.) Meghosszabbítása érdekében megnövelte a feszültségét. Emiatt, valamint a húr végén lévő hajlító hatás miatt, ha a 12. fret félúton lenne az anya és a híd között, az intervallum nagyobb lenne, mint egy oktáv. (Ezt kísérletileg ellenőrizheti egy fretless eszközön.) Következésképpen a hídtól a 12.frettig terjedő távolság nagyobb, mint az anyától a 12. frettig terjedő távolság. A hatás különbözik a húrok között. Egyes elektromos gitároknál az egyes hídok helyzetének egyedi beállítása lehetséges. Más gitárokban a híd szögben van elhelyezve. A klasszikus gitár, az egyenes egyszerű híd igényel némi kompromisszumot tuning.

a fenti hatások nehezen mérhetők kísérletileg a szükséges pontossággal: a hatások csak néhány cent, ami nem sokkal nagyobb, mint a fülek vagy a hangolásmérők pontossága, ha egy Pengetős húrra alkalmazzák. Továbbá nehéz beállítani a gépfejeket, hogy pár centnél jobb pontosságot érjenek el. Másrészt, ha az összes hangjegyet pár centen belül hangolja be, akkor jobban teljesít, mint a legtöbb zenész, és nagyon jól fog hangzani!

további problémák merülnek fel, amikor a húrok elöregednek. Ahol a bal kezével ujjazza őket, felveszik a zsírt és masszívabbá válnak (bár az anyagot is elveszíthetik, ahol dörzsölik a frets-et). Azt is viselni, ahol felveszi őket. Ahogy a húrok inhomogénné válnak, a hangolás egymás után rosszabbodik. A mosás segíthet.

a legtöbb ilyen probléma megkerülésének módja az, ha fretless hangszereket játszik, de ez az akkordokat kényelmetlenebbé teszi.

a skála pozíciói csak intonációban vannak. A 2/9-es érintés biztonságosabb, mint az 1/9-es, de nem esik semmilyen skála jegyzetpozíció fölé: kissé meghaladja a kisebb harmadot. A Radulescu “gyakorló végtelenségét” (sic) gyakorló brácsásokat vagy gordonkákat felkérjük, hogy írjanak nekem további javaslatokat a magas harmonikusok technikáiról.

Lásd még: mennyire harmonikusak a harmonikusok?

hárfa akusztika

az egyetlen munka, amit hárfákon végeztünk, itt olvasható.

további információk

• a Physclips Állóhullámai és utazó hullámai filmklipeket és animációkat tartalmaznak.
• íjak és húrok (egyszerű bevezetés ehhez az interakcióhoz).
• hegedű tanulmányok (További információ a hegedűk tanulmányozásáról).
• Chladni minták (kísérleti eredmények, amelyek a hegedűlemezek rezgését mutatják).
• artikuláció és vibrato a hegedűn és azok fontosságát a hegedű hang(ok).
• hegedű akusztika: áttekintés (egyszerű bevezetés a hegedű akusztikájába).
• John McLennan, az UNSW zenei akusztika Doktoranduszának kutatási cikkei.
• bevezetés a fuvola akusztikájába (a harmonikusok megbeszélésével egy légoszlopban).