ez valóban attól függ, hogy mit értesz “végtelen” alatt. Ha $\infty$ – ra gondolsz, akkor ez nem szám, hanem inkább annak a koncepciónak a rövidítése, hogy bizonyos mennyiség (általában természetes vagy valós szám) meghalad minden véges kötést. Mint ilyen, nem szorozhatja meg semmivel, főleg nem önmagával. Vannak azonban olyan aritmetikai rendszerek, amelyek elemei nagyobbak, mint a $1+1+\cdots +1$ forma bármely véges összege, ezért megérdemlik, hogy végtelen méretűek legyenek. Háromról mesélek neked (kissé leegyszerűsítve, de remélhetőleg nem közvetlenül helytelen).
az első a bíborosok. Azt jelzik, hogy mekkora valami (egy készlet). A véges bíboros csak egy természetes szám (ami azt jelenti, hogy “egy halmaz mérete ennyi elemmel”), de vannak ininite bíborosok is. A legkisebb végtelen bíboros $ \ aleph_0$, a natrual számok halmazának mérete.
a bíborosok összeadása úgy működik, ahogy elvárnánk a méretek összeadását, nevezetesen a két halmaz egymás mellé helyezését, és számolja meg, hogy hány elem van összesen. Pontosabban, ha két bíboros számod van $\kappa_1, \kappa_2$, amelyek mindegyike két $X_1, X_2$ halmaz méretét jelzi, akkor a $\kappa_1+\kappa_2$ bíboros a diszjunkt Unió kardinalitása $X_1\sqcup X_2$, vagy ekvivalensen a $(x_i, i)$ Párok halmaza, ahol $x_i \in X_i$ és $i \in \{1, 2\}$.
a bíborosok szorzása a következő módon működik: $ \ kappa_1 \ cdot \ kappa_2$ a $X_1\times x_2$, a $x_1, x_2$ $x_1\in x_1$ és $x_2\in X_2$Párok halmaza. Ha a $ \ kappa_1$ és $ \ kappa_2$ legnagyobb értéke végtelen, akkor $ \ kappa_1+ \ kappa_2 = \ kappa_1 \ cdot \ kappa_2 = \ max (\kappa_1, \ kappa_2)$. Ez azt jelenti, hogy ha $ \ kappa$ egy végtelen bíboros, akkor $ \ kappa^2 = \ kappa$, akkor $\sqrt\kappa = \kappa$ – t is kapunk.
(megadhat kitevőket is: $ \ kappa_1^{\kappa_2}$ az összes lehetséges függvény halmazának mérete $X_2$ – tól $X_1$ – ig. Például $2$ egy két elemből álló halmaz, tehát $\kappa^2$ a két elemből álló függvények halmaza $\kappa$. A két elemből álló halmaz függvénye megegyezik a rendezett párral, tehát ez valójában ugyanaz, mint a $\kappa\cdot \kappa$. Ügyes, mi?)
a második az ordinálisok. Tárgyak megrendelését jelzik. Azonban nem minden rendezés, hanem olyan rendezés, ahol bármely részhalmaznak van egy legkisebb eleme, az úgynevezett jól rendezés. Ismét egy véges sorszám csak egy természetes szám (ami azt jelenti, hogy “minden kisebb természetes szám rendje”), de ugyanúgy, mint legutóbb, végtelen sorszámok vannak, amelyek közül a legkisebbet $\omega_0$ – nak, vagy csak $\omega$ – nak hívják, és ez a természetes számok sorrendjét jelenti.
az ordinálok hozzáadása a következő módon történik: ha a $\gamma, \lambda$ ordinálok, akkor a $\gamma + \lambda$ az a sorrend, amelyet a $\gamma$ $elé helyezünk. Például $1 + \ omega$ ugyanaz, mint $ \ omega$, mert ha a természetes számokat vesszük, és mindegyik elé teszünk egy elemet, akkor van valami, ami a sorrendet illeti, pontosan ugyanúgy néz ki, mint maguk a természetes számok. A $ \ omega + 1$ azonban azt jelenti, hogy egyetlen elemet helyezünk el az összes természetes szám után, ami más sorrend.
a szorzás a következő módon működik: $ \ gamma \ cdot \ lambda$ az a sorszám, amelyet úgy kapunk, hogy a $\lambda$ – t vesszük fel, a megrendelés minden elemét helyettesítjük a $\gamma$ másolatával, majd hozzáadjuk őket ebben a sorrendben (azaz. tedd őket egymás után) (megadjuk, hogy a munka az utat balról jobbra). Így a $2 \ cdot \ omega$ azt jelenti, hogy a természetes számokat vesszük, az egyes számokat két számra cseréljük, majd ezeket a párokat egymás után helyezzük el. Ez ad nekünk $ \ omega$ vissza. A $ \ omega \ cdot 2$ azonban azt jelenti, hogy megrendelt párot veszünk, mindkét elemet kicseréljük a természetes számok másolatával, majd az egyik példányt egymás után helyezzük el. Ez ugyanaz, mint akkor kap kiszámításával $ \ omega + \ omega$.
ebben a keretben a végtelen sorszámok szorzása és összeadása nem olyan triviális, mint a bíborosoknál. Kapunk például $ \ omega \ cdot \ omega = \ omega + \ omega + \ omega + \ cdots $, amely a legkisebb végtelen tökéletes négyzet sorszám. Csakúgy, mint maguk a természetes számok esetében, vannak olyan ordinálok, amelyeknek négyzetgyöke van, mások pedig nem. Pontosabban, $ \ omega$ nincs négyzetgyök.
(megadhat kitevőket a sorszámokhoz is: Ebben az esetben a $\gamma^\lambda$ az a sorszám, amelyet akkor kapunk, ha vesszük a $\lambda$ – t, minden elemet kicserélünk a $\gamma$ másolataira, és összeszorozzuk őket, ahogy a szorzást ismételt összeadásként definiáltuk. Ez teszi $\omega^2 = \omega\cdot \omega$. Ügyes, mi? Megjegyezzük, hogy míg a sorszám és a kardinális összeadás és szorzás némileg hasonló, a hatványozás fogalma nagyon eltérő.)
végül elmondom neked a szürreális számokat. Míg az ordinálisokat és a bíborosokat erősen használják a halmazelméletben, a szürreális számok inkább kíváncsiság. Ők is egy kicsit nehezebb, hogy lezárja a fejét. Nagyon szeretem őket, ezért itt van egy rövid összefoglaló.
a $x$ szürreális szám egy rendezett halmazpárból áll, amely $\langle L_x\mid R_x\rangle$, ahol $L_x$ a $X$ bal halmazát, $R_x$ pedig a jobb halmazt nevezi. Ezek a készletek más szürreális számokból állnak, azzal a feltétellel, hogy ha $x_l \l_x$ – ban és $x_r\r_x$ – ban, akkor $x_l < x_r$. $x$ ekkor egy szürreális számot jelent $L_x$ és $R_x$ között (az első ilyen szám a generációjának megfelelően, lásd alább). A sorrendet a következő módon definiáljuk: két szürreális számot adva $x = \ langle L_x \ mid R_x \ rangle, y = \ langle L_y \ mid r_y \ rangle$ azt mondjuk, hogy $x \ leq y$ iff mind a következők igazak:
- nincs $x_l\in L_x$ olyan, hogy $y \ leq x_l$
- nincs $y_r\in R_y$ olyan, hogy $y_r \ leq x$
(ne feledje, hogy a $y \leq x_l$ és a $y_r\leq x$ kiértékeléséhez ugyanazt a definíciót kell újra alkalmazni. Ez a gyakorlatban nagyon unalmas lesz a legegyszerűbb számok kivételével. Ez a rekurzív fogalom az összeadás és a szorzás meghatározásakor jön vissza.)
valójában korábban nem voltam teljesen őszinte. A szürreális szám az ilyen párok ekvivalencia osztálya(ez az, ami sokáig tartott, hogy igazán értékeljem). Magát a párot szürreális számformának nevezik. Két forma $x, y$ ugyanahhoz az ekvivalencia osztályhoz tartozik iff $x \ leq y$ és $y \ leq x$.
minden szürreális számnak van egy úgynevezett “generációja”. Az első szürreális szám (generation $0$) $0 = \langle {}\mid{} \rangle$, ahol a bal és a jobb halmaz üres. A következő két szürreális szám (generáció $1$) $1 = \langle0\mid{}\rangle$ és $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. A $ 2 $ generáció a következőkből áll: $-2 = \langle {}\mid -1\rangle$, $- \frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1 \rangle$ és $2 = \langle 1\mid {} \ rangle$.
itt láthatjuk az ekvivalencia osztályokat a munkában, mert van $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, és van például $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, mert bár a $-1$, $\frac12$ és $-\frac12$ szintén $-2$ és $1$ között vannak, a $0$ egy korábbi generációhoz tartozik. Ellenőrizheti, hogy valóban van-e $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$ és ugyanakkor $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, míg ugyanez nem igaz, ha a $\langle {}\mid{}\rangle$ – t $\langle 0\mid 1\rangle$ – ra cseréljük.
folytatjuk a finomabb és finomabb osztások készítését az összes véges generációban, minden szám, amely $\frac a{2^b}$ formájú szám, diadikus frakció, amíg el nem érjük az első végtelen generációt, $\omega$ (igen, a generációk rendesek), ahol az összes valós szám hirtelen felbukkan (például $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \FRAC{3}{2}, 2\Rangle$). Megkapjuk az első végtelen sorszámot is, $\omega$ magát, mint $ \ langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, és a kölcsönös $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
eddig nem beszéltem az aritmetikáról. Enélkül nincs ok arra, hogy $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ – t hívjunk, és semmi mást. Adott $x = \ langle L_x \ mid r_x \ rangle$ és $y = \ langle L_y \ mid r_y \ rangle$, az összeadást rekurzívan definiálja$$x + y = \ langle \ {x + y_l: y_l \in L_y\} \cup \ {x_l + y:x_l\in L_x\} \ mid \ {x + y_r: y_r \ in R_y\} \ cup \ {x_r + y:x_r\in R_x\}\rangle$$szorzás egy kicsit rendetlenebb, ezért használok néhány gyorsírást:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$ahol kivonás úgy definiáljuk, mint amire számítani lehet, a megfelelő szám tagadásával és hozzáadásával. A tagadás úgy történik, hogy a jobb és a bal halmazok minden elemét tagadják,és kicserélik a kettőt.
csakúgy, mint az ordináloknál, a $\omega^2 = \omega\cdot \omega$ tökéletes négyzet. Itt jön azonban a szórakoztató rész: minden pozitív szürreális szám négyzetgyökű. Ahhoz, hogy a négyzetgyök $\omega$, szükségünk van, így néhány további meghatározások (elméletileg lehet, és kell, igazolja minden egy ilyen nevek végrehajtásával összeadás és szorzás látni, hogy kapsz, amit kell, de ez egy csomó munka):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\omega – 2 \Rangle\\\vdots$$, majd kapunk $\FRAC\omega2 = \ langle 1, 2, 3, \ ldots \ mid \ ldots, \ omega – 3, \ omega-2, \ omega-1 \ rangle$. Ehhez hasonlóan definiálhatjuk a $\frac\omega2-1, \frac\omega2-2$ és így tovább, és megkapjuk a $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2 – 3,\frac\omega2-2,\frac\omega2 – 1\rangle$értéket. Akkor definiálhatjuk $ \ frac \ omega8, \ frac \ omega{16}$ és így tovább. Végül kapunk $ \ sqrt \ omega = \ langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Most a $\omega^2 $ generációban vagyunk.
