弦、定在波と高調波

はじめに：振動、弦、パイプ、パーカッション。…

どのように音楽の音を作るのですか？ 音を出すには、振動するものが必要です。 私たちは音符を作りたい場合は、通常、ほぼ一定の周波数を持っている振動が必要です：それは安定したピッチを意味します。 また、プレイヤーが簡単に制御できる周波数も必要です。 電子機器では、これは電気回路または時計や記憶で行われます。 非電子機器では、安定した制御された振動は定在波によって生成されます。 ここでは、文字列の仕組みについて説明します。 振動する弦は管楽器の空気の振動よりも視覚化が容易であるため、これは管楽器を研究するための有用な紹介でもあります。 どちらも、パーカッションファミリーのバーやスキンの振動よりも複雑ではありません。 定在波の物理学のために、マルチメディアチュートリアルがあります。

弦の進行波

バイオリンやピアノなどの弦はしっかりと伸びており、何が起こっているのか見ることができないほど速く振動しています。 長いばね（’slinky’として知られているおもちゃがよく働く）または適用範囲が広いゴム製ホースの数メートルを見つけることができればひもがいかに働くか （柔らかいゴムはこれのためによいです、庭のホースは実際に十分に適用範囲が広いではないです。）最初に1つの端を握るか、または締め金で止め、次に片手のもう一方の端をまだ握って、それを少し伸ばして下さい（あまり、少し弛みは傷つきません）。 今度はもう一方の手でそれを脇に引っ張ってキンクを作り、それを放してください。 （これは、スローモーションでは、あなたが文字列を摘み取るときに何が起こるかです。）あなたはおそらく、キンクが”文字列”の下を移動し、それがあなたに戻ってくることがわかります。 それは突然あなたの手を横に引っ張りますが、しっかりと握っていると再び反映されます。

まず、弦をよりきつく伸ばすと、弦の波の速度が速くなることに気づくでしょう。 これは、楽器をチューニングするために便利です-しかし、我々は先に自分自身の取得しています。 それはまた、文字列の”重さ”に依存します-それは同じ張力の下で同じ長さの軽い文字列よりも厚くて重い文字列でよりゆっくりと移動します。 （厳密には、以下に示すように、速度を決定するのは、単位長さあたりの質量に対する張力の比です。)

次は固定端の反射をよく見てみましょう。 最初に文字列を左に引っ張ると、あなたから離れて移動するキンクは左にありますが、それは右にキンクとして戻ってくることに気付くでしょう。 この効果は、弦楽器だけでなく、風やパーカッションでも重要です。 波が移動したり変化したりしない（または簡単に変化しない）ものとの境界に遭遇すると、反射は反転されます。 （それが反転されているという事実は、最後にゼロ変位を与える。 しかし、任意の相変化を伴う反射は定在波を与える。)

摘み取った弦

ギターやベースの弦のいずれかを摘み取った場合、ここでは弦が両端に固定されていますが、同様のことをしています。 あなたは一点で文字列を引き出し、次に示すようにそれを解放します。 次の動きは面白いですが、複雑です。 最初の動きを以下に示します。 しかし、動きの高周波成分（弦の鋭い曲がり）はすぐに消えます。

文字列を摘み取ることによって引き起こされる移動ねじれの反射のスケッチ。 (E)と(m)で表される瞬間では、弦はまっすぐであるため、横に引っ張ることに関連するポテンシャルエネルギーを失っていますが、最大の運動エネルギーを持 反射では、キンクの位相は180°変化することに注意してください：上から下へ、またはその逆。 彼らは途中で会うときにねじれがお互いを通過する方法にも注意してください。

なぜ反射が反転しているのですか？ まあ、それが固定されたオブジェクトにクランプされているか、固定されていると仮定すると、反射のポイントは実際には移動しませんでした。 しかし、左手のスケッチで表される異なる時間を比較することによって、文字列の動きを見てください。 キンクの後ろの文字列は、邪魔されていない位置（スケッチ内では下）に向かって戻っていることに注意してください。 キンクが端に近づくにつれて、それは小さくなり、不動の端に達すると、キンクはまったくありません-文字列は一瞬まっすぐです。 しかし、文字列はまだ下向きの勢いを持っており、それは残りの位置を過ぎてそれを運び、反対側にキンクを生成し、反対方向に戻ります。 （文字列内の波の動きは、フィルムクリップやアニメーションを持つ進行波でより詳細に説明されています。 このページでは、しかし、我々は音楽の意味に集中します。 )

上記のように、この動きは摘み取った直後にのみ観察されます。 高周波成分がエネルギーを失うと，鋭いキンクは消失し，形状は振動の基本モードのそれに徐々に近づく。

弓状の弦の動作はかなり異なっています

第一に、それは連続的なエネルギー源を持っているので、無期限に（または少なくとも弓がなくなるまで）同じ動きを維持することができます。 第二に、均一に動く弓に一致するために必要な弦の形状が異なる。


弦をお辞儀することによって引き起こされる移動するねじれの反射のスケッチ。 アニメーションと弓と弦の弓と弦の相互作用の説明を参照してください

進行波と定在波

一方の端を上下に繰り返し振って弦に沿って単純な波を送ろうとすると、興味深い効果が発生します。 適切なスプリングやゴムホースを見つけた場合は、試してみてください。 それ以外の場合は、これらの図を見てください。


アニメーションは、周波数と大きさが等しい二つの波の相互作用を示し、反対方向に移動します: 右に青、左に緑。 赤い線はそれらの合計です：赤い波は、2つの進行波が一緒に追加されたときに起こるものです（superposeは専門用語です）。 アニメーションを停止することで、赤い波が実際に相互作用する2つの進行波の合計であることを確認できます。

右の図は時系列として表されるのと同じ図であり、時間は上から下に増加する。 あなたは非常に迅速に撮影された波の一連の写真を表すものと考えることができます。 赤い波は、私たちが実際にそのような写真で見るものです。

右手の限界が不動の壁であると仮定する。 上で説明したように、波は反射で反転されるので、各「写真」では、青と緑は右側の境界でゼロに加算されます。 反射された（緑色の）波は同じ周波数と振幅を持っていますが、反対方向に移動しています。

固定された端では、彼らは動きを与えないように追加します-ゼロ変位：結局のところ、反転反射を引き起こすのはこの不動の状態です。 しかし、アニメーションや図の赤い線（2つの波の合計）を見ると、文字列が決して動かない他の点があることがわかります！ それらは波長の半分離れて発生します。 これらの動かない点は振動のノードと呼ばれ、ほぼすべての機器ファミリで重要な役割を果たします。 ノードの中間にはantinodesがあります：最大運動のポイント。 しかし、これらのピークは弦に沿って移動していないことに注意してください：反対方向に移動する2つの波の組み合わせは定在波を生成します。

これはアニメーションと図に示されています。 2つの進行波が常に相殺される位置（ノード）と、それらが最大振幅の振動を与えるために追加される他の位置（反ノード）に注意してください。

この図は、長さが図の幅である文字列上の第五高調波の表現（スケールではない）と考えることができます。 これは次のトピックに私達を連れて来る。

高調波とモード

楽器の弦は両端に（ほぼ）固定されているので、弦の振動は両端にノードを持たなければなりません。 今では可能な振動を制限します。 例えば、長さLの文字列は、次のシリーズの最初のスケッチに示すように、文字列（波長λ=2L）の2倍の波長を持つ定在波を持つことができます。 これは、どちらかの端にノードを与え、中央にantinodeを与えます。

これは弦の振動のモードの一つです（”振動のモード”は単に振動のスタイルまたは方法を意味します）。 両端に固定された文字列には、他にどのようなモードが許可されていますか？ 次のスケッチでは、いくつかの定在波が示されています。



固定長の理想化された*伸ばされたひもの振動の最初の四つのモードのスケッチ。 縦軸は誇張されています。

これらのモードの周波数間の関係を考えてみましょう。 波の場合、周波数は波の速度と波の長さの比です：f=v/π。 文字列の長さLと比較すると、これらの波の長さは2L、L、2L/3、L/2であることがわかります。 これを2L/nと書くことができます。nは高調波の数です。

基本モードまたは第一モードの周波数f1=v/λ1=v/2L,
第二高調波の周波数f2=v/λ2=2v/2L=2f1
第三高調波の周波数f3=v/λ3=3v/2L=3f1,
第四高調波の周波数f4=v/λ4=4v/2L=4f1であり、一般化するために、

N番目の高調波の周波数はfn=v/λ n=nv/2l=NF1です。

弦の中のすべての波は同じ速度で移動するので、波長の異なるこれらの波は示されているように異なる周波数を持っています。 周波数が最も低いモード（f1）は基本波と呼ばれます。 N番目のモードは基本波のn倍の周波数を持つことに注意してください。 すべてのモード（およびそれらが生成する音）は、文字列の高調波と呼ばれます。 周波数f、2f、3f、4fなどは高調波系列と呼ばれます。 このシリーズは、ほとんどのミュージシャン、特に自然の角のbuglersや選手によく知られています。 たとえば、基本音がノートC3またはビオラC（公称周波数131Hz：表についてはこのリンクを参照）の場合、高調波は次の図に示すピッチを持ちます。 これらのピッチは、最も近いクォータートーンに近似されています。 オクターブは正確にオクターブですが、他のすべての間隔は、等しいテンパースケールの間隔とはわずかに異なります。

この図は、C弦の最初の12倍音の楽譜を示しています。 サウンドファイルを再生するときは、ピッチに注意深く耳を傾けます。 第七高調波と第十一高調波は、等しい焼戻しスケール上のノートの間の約半分に落ちるので、ハーフシャープで表記されています。

あなたは伸ばした文字列にこれらのピッチを生成することができます：それはギター、チェロやベース*の低い文字列に最も簡単です。 端から長さの1/nの点（nは1、2、3など）で弦に軽く触れ、弦を端に近づけて弓を下ろします。 また、端からの長さのポイント1/nで非常に軽くひもに触れ、端の近くのひもを摘み取り、そして摘み取ったとすぐ最初の指を放して下さい。 文字列に触れると、あなたが触れるノードが生成されるので、そこにノードを持つモードを（主に）興奮させます。 あなたは、文字列の二から六高調波を使用してビューグルの曲を再生することができますことがわかります。

(*この実験を行ったばかりの場合は、いくつかの特殊性に気づいている可能性があります。 オクターブを生成するために使用される第十二フレットは、文字列の長さに沿って半分の方法未満であるため、あなたが第二高調波を生成するために文字列に触れた位置–文字列に沿って途中で–直接オクターブフレットの上にありません。 私は上記の”理想化された”文字列と言った、完全に柔軟であり、どちらの端でも簡単に曲げることができる文字列を意味します。 実際には、弦は有限の曲げ剛性を有するので、それらの有効長（上記の式で使用されるべき”L”）はそれらの物理的長さよりも少し小さい。 これは、大きな文字列は、通常、薄いコアの上に巻線を持っている理由の一つであり、ブリッジは太い文字列より長い長さを与える角度で通常であり、 また、指板に押し下げたときの弦の余分な伸びによる効果もあり、鋼の弦にはかなりの効果があります。）

ギタリストのための練習。 通常の方法でチューニングされたギターでは、B弦と高いE弦は、およそ低いE弦の3番目と4番目の高調波にチューニングされています。 あなたはどこに沿って道の三分の一を除いて、低E文字列を摘み取る場合は、B文字列は、最初の文字列の高調波からブリッジ内の振動によって駆動され、振動を開始する必要があります。 あなたが一緒に道の四分の一を除いてどこでも低いE文字列を摘み取る場合は、トップE文字列は、同様に駆動する必要があります。

ギターのハーモニックチューニング

ギタリストは、多くの場合、次の方法でチューンアップを開始します：最初の低E弦の4番目の高調波、a弦の3番目とトップEをすべて同じノートにチューンアップします。 右の図は、2つの最も低い弦の高調波系列を示しています。 次に、B弦(B3)を最初の弦(E2)の3次高調波にチューニングし、次にA弦の4次高調波をD弦の3次高調波にチューニングします。 それは通常、厚すぎると硬いので、このメソッドは、G文字列に正常に拡張することはできませんので、フレットを使用して、より良いオクターブで調整さ いくつかの理由から（このページの最後にあるノートを参照）、このチューニング方法はおおよそのものであり、後でオクターブを再調整する必要があります。 最高のチューニングは、通常、あなたが演奏される和音とあなたが指板で演奏している場所を考慮した後に行われなければならない妥協点です。

ハーモニクスによるギターチューニング。 （これらは本当のピッチです: ギターの音楽は通常オクターブ上に転置されます。)

音楽の高調波

作曲家はしばしば弦楽器にそのような高調波を求めます。 一本の指で、プレイヤーは、特定のノートに必要な長さを生成するために文字列を停止し、その後、別の指を使用して、スケールの高いノート四つのノートに必要な位置に非常に軽く文字列に触れます（したがって、名前）。 この位置は、文字列に沿って道の四分の一であるので、停止したノートの第四高調波を生成します。 第四高調波は基本周波数の四倍であり、二オクターブ高い。 彼らは開いている文字列と”人工”で再生されている場合、プレイヤーは文字列を停止する必要がある場合。 この図は、自然なタッチの第四の演奏方法を示し、バイオリンのタッチの第四の表記は弦を示しています。 図の縦軸は明確にするために誇張されています。


正常に演奏された文字列を開き、この文字列（4番目の高調波）にタッチします)

音符のピッチは、弦がどのくらい速く振動するかによって決まります。 これは四つのことに依存します:

• より厚く、より巨大な弦はよりゆっくりと振動します。 バイオリン、ギターなどでは、弦の開いた長さは変化せず、通常は張力もあまり変化しません（それらはすべて同じように押し下げるのが難しいです）。 だから低ピッチの弦は厚いです。
• 弦の張力に伴って周波数が増加します。 これは、マシンヘッドやチューニングペグを使用して、楽器を調整する方法です：タイトなより高いピッチを与えます。
• 自由に振動する弦の長さも重要です。 たとえば、チェロの指板に対して弦を止めるときは、有効長を短くしてピッチを上げることができます。
• 振動モードを変更することでピッチを変更することもできます。 高調波を再生するときは、通常、その長さの文字列によって生成されたものの長さの割合である波を生成するために文字列を誘導します。

  このすべてを簡単な式に入れることができます。 弦の振動部分の長さがLで質量がMの場合、弦の張力がFでn次高調波を演奏すると、結果の周波数は

  fn=(n/2L)(FL/M)1/2=(n/2)(F/LM)1/2になります。

  バイオリンやギターなどの楽器では、開いた長さと張力はすべての弦でかなり似ています。 これは、同じ長さを維持しながら、文字列をオクターブ低くするためには、M/Lの比率を四倍にする必要があることを意味します。 しかし、脂肪の文字列は、通常、複合されています: それらを曲げることが困難にすることなく、それらをより大規模にするために巻線で包まれた薄いコア。

  この表現がどこから来たのか見てみましょう。 波は振動の1周期Tで距離πを移動するので、v=π/Tです。 したがって、f=v/π。 波の速度は、弦の張力Fと単位長さあたりの質量または線形密度ρ=M/L、v=(F/ρ)1/2=(FL/M)1/2によって決定されます。 したがって、f1=θ（F/LM）1/2です。 両側にnを掛けると、上で引用した高調波の周波数が得られます。

  弦の張力を与えるためにこれを並べ替えることができます：F=4f12lm。

ハーモニックチューニングとの合併症

上記の高調波を使用することを含む、任意のギターのチューニングにはいくつかの問題があります。

最も明白な近似は気質に関連しています: ギターの弦が理想的であり、フレットが理想的には等しい気質のために間隔をあけられている場合、e-AとA-Dのペアに高調波の四分の一をチューニングし、D弦の二つの等しい焼戻し半音を加えて、D弦の最低Eと2番目のフレットの間の間隔は約4セントフラット（（4/3）222/12=1.996）になる。 これにより、数秒ごとに1オーダーの速度で干渉ビートが発生します。

ハーモニックチューニングのもう一つの明白な複雑さは、弦がナットとブリッジの上で完全に容易に曲がらないことです（上記のように）。 高調波が高調波である方法も参照してください。）その結果、文字列の1番目の倍音はオクターブよりもわずかにシャープで、次の倍音は十二倍よりもシャープであり、というように。 したがって、E文字列の4番目の”高調波”をa文字列の3番目にチューニングすると、開いている間隔が高調波の4番目よりも長くなります。 だから、これは気質の問題を補う傾向があります。

さらなる問題はフレットとブリッジの配置に関係しています。 あなたは十二フレットで文字列を下に押すと、その長さを増加させます。 （それを押す前に、ナットと橋間の最短距離。 その後、それは長いです。）それを長くするために、あなたはその緊張を高めています。 このため、また、弦の終わりの曲げ効果のために、12番目のフレットがナットとブリッジの中間にあった場合、間隔はオクターブよりも大きくなります。 （あなたはフレットレス楽器で実験的にこれを確認することができます。）その結果、ブリッジから12フレットまでの距離は、ナットから12フレットまでの距離よりも大きくなります。 効果は文字列によって異なります。 一部のエレキギターでは、各ブリッジの位置を個別に調整することが可能です。 他のギターでは、橋は斜めに配置されています。 クラシックギターでは、ストレートシンプルなブリッジは、チューニングにいくつかの妥協を必要とします。

上記の効果は、必要な精度で実験的に測定することは困難です。 さらに、数セントよりも優れた精度を達成するために機械ヘッドを調整することは困難である。 あなたはセントのカップル内の曲ですべてのノートを取得した場合、その一方で、あなたはほとんどのミュージシャンよりも良いやっている、それはかな

文字列が古くなるとさらに問題があります。 あなたは左手でそれらを指どこで、彼らはグリースを拾うと（彼らはまた、彼らはフレットにこする材料を失う可能性がありますが）、より大規模になりま 彼らはまた、あなたがそれらを選ぶ場所を着用することができます。 弦が不均一になると、チューニングは連続的に悪化します。 それらを洗うことは助けることができます。

これらの問題のほとんどを回避する方法は、フレットレス楽器を演奏することですが、これは和音をより厄介にします。

スケールの位置はちょうどイントネーションにあります。 2/9のタッチは1/9のそれよりも安全ですが、それは任意のスケールノートの位置の上に落ちることはありません：それは少しマイナー第三の上にあります。 ラデュレスクの”無限の練習”（sic）のリハーサルヴィオリストやヴィオロンチェリストは、高調波のための技術についてのさらなる提案のために私に書くために招待されています。

高調波はどのように高調波であるかも参照してください。

ハープ音響

私たちがハープでやった唯一の仕事はここで説明されています。

詳細情報

• Physclipsからの定在波と進行波には、フィルムクリップとアニメーションがあります。
• 弓と弦（その相互作用への簡単な紹介）。
• ヴァイオリンの研究（ヴァイオリンの研究についての詳細）。
• クラドニパターン（バイオリンのプレートの振動を示す実験結果）。
• バイオリンのアーティキュレーションとビブラートとバイオリンの音に対する重要性。
• バイオリン音響：概要（バイオリン音響への簡単な紹介）。
• UNSWの音楽音響学の博士課程の学生であるJohn McLennanの研究論文。
• フルート音響入門（空気柱の高調波の議論付き）。