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図1. アウグストゥス-ド-モルガンの1866年頃の訪問カード（carte de visite）は、彼によって”ADeMorgan”と署名された。 MaullとPolyblankによる写真（注を参照）。 （博士シドKolpasのコレクションから）
簡単な伝記
オーガスタス*ド*モルガン（1806-1871）は、19世紀の数学の最も影響力と成功した教師の一人でした。 現代的で現在の基準の両方によって、彼は特別な教授でした。 Adrian Riceによると、この記事では、「偉大な数学の先生は何ですか？ オーガスタス-ド-モルガンの場合は、”彼は偉大な数学の教師の例だった、彼の学生の主題のための愛と熱意を植え付けた人、このように彼らは数学のキャリ その意見の証拠は、ド-モルガンの学生の、そして彼の教えの影響を受けたいくつかの有名な数学者の生き残ったコメントから来ています。 彼は洞察力、ユーモアおよび創造性のそのまれな組合せを所有していた。 彼の講義は簡潔で明快でした; 彼の仲間のすべてのあまりにも多くとは異なり、彼は彼の学生が刺激され、挑戦され、触発され、慎重に健全な計画と教育学で指示されるべきであるこ 彼は競争力のある試験とそれらに起因する知識の共有の欠如（私たちの学校では現在の問題）を嫌っていました。 学生は、彼の講義はユーモア、他の分野への応用、さらなる研究のための参照、そして彼の主題の愛に富んでいたと報告しました。 概念のも、最も抽象的な類推、比喩、および直喩の彼の華麗な使用によって明らかにされました。
デ-モルガンはインドのマドゥラで生まれた。 16歳の時にケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに入学するまで私立学校で教育を受けた。 彼はクラスのトップに近い優秀な学生でした。 しかし、彼はM.A.の学位を取得しないことを選んだ、または理由ケンブリッジで候補者に必要とされた宗教的なテストへの彼の良心的な異議の大学の交わりのために競争する。 1828年、彼の学業成績のメリットに、彼は新しく形成されたロンドン大学（ユニバーシティ-カレッジ-ロンドンになった）で数学の教授としての任命を受けた。 彼は30年以上にわたってそこで教え、世代の学生を鼓舞しました。 彼の学生の後の世代は”Gussy”として彼を参照してください–情熱的に彼らに数学を教えるだろう金縁の眼鏡を通してピアリング背の高いスタウトwaddling図。
彼の評判は、彼の優れた、励まし、思いやりのある教育と最先端のトピック、数学的なパズル、ゲーム、奇妙なこと、パラドックスに関する彼の記事のために成長しました。 数学的なパズルや物語のド-モルガンの愛は、彼のパラドックスの予算（1872年）の出版に、死後、つながった;それはまだ印刷されています。 彼は穏やかな性質の人でしたが、彼はまた強い信念の人でした。 彼は宗教的な偽善と戦い、女性の教育権の擁護者であったが、女性参政権に反対した。 彼はまた、高度な数学的研究は、当時の女性に対する普及した態度であった女性の身体的健康に潜在的に損傷していると信じていました。 ますますリベラルな彼が年を取ったとして、彼は数学の授業に女性の無償で講義し、彼らの数学的研究を継続するには、彼らの推定精神的な制限を与
図2. ユニバーシティ-カレッジ-ロンドンでクラスをリードするオーガスタス-デ-モーガンの学生の図面。 （MS ADD7のこの画像は、UCLライブラリサービス、特別なコレクションの種類の許可によってここで使用されています。)
ド-モルガンのテキストは彼の教えと同じくらい優れていました。 百年以上後、彼らはまだ優れたカリキュラムモデルになります。 彼のテキストのトピックは、代数、三角法、微分積分学、変動の微積分、確率、および記号論理学が含まれていました。 テキストのすべては、明確な興味深い、と素晴らしい例で満たされています。 彼の最高の出版物の中には、確率（1838）、微積分（1842）、形式論理（1847）、二重代数（1849）に関するエッセイがあり、抽象代数を予示していました。 彼は彼の多くの記事や本の仕事でハードではなかったとき—彼は数学的帰納法のプロセスを定義した記事を書いた有名なペニー Cyclopaediaの記事の六分の一を含む-ドモルガンは彼の二つの偉大な情熱に時間を費やした：フルートを演奏し、珍しい数学の本を収集する。 後者の趣味は、彼が数学の歴史に関する彼の時代の専門家になるのを助けました。
1837年、オーガスタス-ド-モルガンはソフィア-エリザベス-フレンドと結婚した。 5人の子供を持つ彼らの家は、知的な興味を共有するためにそこに会った友人の大きなサークルの中心となりました。 アウグストゥスの友人の一人はジョージ・ブールであり、彼はド・モルガンとともに象徴論理の発展を開拓した。 ド-モルガンの形式論理（1847年）は、論理の代数に関するブールの仕事と同時にプレスに行きました。 両方の作品は命題計算を扱った。
ド-モルガンはおそらく、記号論理学と集合論における二つの関連する定理である”ド-モルガンの法則”のために最もよく記憶されている。
記号論理学:\
集合論: \
オーガスタス-ド-モルガンは、すべての感動的な教師のように、彼が彼の学生に与えた深い影響のために覚えておく必要があります。 彼はまた、Ada Lovelace(1815-1852)を指導し、彼女の数学的才能を開発するために彼女を奨励した;彼は彼女がほとんどの女性に比べて優れた数学的才能を持っていたと感じた。 彼は数学と数学教師の発展に刺激的な力、数学の論理的基礎の発展の原動力、および微積分の近代化の支持者であった。 気取らない男、彼は名誉学位、王立協会のメンバーシップ、および政治的、宗教的なささいなことを避けました。 彼の人生は彼の家族、彼の友人、そして彼の学生に捧げられました。
注:Maull&Polyblankのロンドンの写真スタジオは1854年に設立されました。 スタジオは有名な個人の肖像画に特化していました。 彼らの最も注目すべき作品、生きている有名人の写真の肖像画は、1856年から1859年までの部分で出版されました。 これは、加入者に発行され、すべての部品が配信された後、加入者によって単一のボリュームにバインドされた伝記と四十の個々の肖像画で構成されてい 肖像画はまた、イラストレイテッドロンドンのニュースに彫刻として出版されました。 De Morganの簡単な伝記に戻ります。
図3. ド-モルガンの確率に関するエッセイ（1838年）。 （博士のコレクションから。 Sid Kolpas)
de Morgan’S Algorithm For Approximating Factorials
整数のFactorialsは、確率論、特に順列と組み合わせにおいて重要な役割を果たします。 19世紀の間、デバイスを計算することなく、これらの階乗は大きな整数に対して計算することが困難でした。 確率に関する彼のエッセイの中で、De Morganは、\(n!,\)ここで、\(n\)は整数です。 \(\)は、”\(n\)階乗”または\(n!.\)したがって、図4の最初の段落で、De Morganが”、”と書いたとき、彼は与えられた正の整数の階乗を意味していました。
図4. ド-モルガンの近似のための指示\(n!確率に関する彼のエッセイのpp.15-16から(Googleブックス)
スターリングの近似\(n!ここで、\(n\)は整数であり、スコットランドの数学者James Stirling(1692-1770)によって発見された。 スターリングは1730年に最も重要な著作”Methodus Differentialis”を出版した。 この本では、無限級数、総和、内挿、および直交について説明します。 次の式\(n!,\)は、スターリングが知られるようになったもので、Methodの命題28の例として現れる。 スターリングの近似では、\
De Morganのアルゴリズムは、\(n!\)はスターリングの公式によって与えられる。
図5. スターリングの方法微分(Google Books)
のタイトルページは、De Morganの近似アルゴリズムを参照しています\(n!\)と\(0.\(0.7981799\)は\(\log_{10}(2\pi),\)の近似値です。:
- 数\(n\)の底10の対数をとり、それから\(0.4342945\)を減算します。\(\log n-\log e=\log\left(\frac{n}{e}\right)。これは、result\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{n}{e}=\frac{2747>この合計の半分を取る：log（{\frac{1}{2}}\log2n\pi=\log\sqrt{2n\pi}）log2n\pi}は、次のように定義されています。\)
- 2番目と4番目のステップの結果を追加します。\(\log n!sim frac{n}{e}=\frac{1}{e}eとなるようにlog e^{\frac{1}{e}}=\frac{1}{e}!を計算します。Stir frac{n}{e}=\frac{1}{2n}\sqrt{2n\pi}\sim\sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)n n,\)これはスターリングの式です。
- この近似は\(n!それを改善するには、それ自体に\({\frac{1}{12n}}\)を追加します: \
A Letter of De Morgan Converning History of Mathematics
上記のように、オーガスタス・ド・モーガンは、1828年から1843年まで出版された27巻のCyclopaediaに700以上の記事を寄稿したPenny Cyclopaediaに頻繁に寄稿していた。
図6. ペニー Cyclopaedia、ボリューム26は、インドの数学的なテキストViga GanitaについてのDe Morganの記事が含まれています。 (Google Books)
Penny CyclopaediaでのDe Morganの最後のエントリの1つは、1843年に出版された第26巻の318-326ページに掲載された”VIGA GANITA”と題された記事でした（google Books経由で簡単にアクセスできます）。 デ・モルガンはこの記事の冒頭で、12世紀のインドの数学者で天文学者のバスカラ（現在は一般的にバスカラ2世として知られている）が長年ウジャインの有名な天文台に住んで働いていたと考えられていた代数学の研究であるヴィガ・ガニータ（現在はBījagañitaまたはBīja-gañitaと表記されることが多い）よりもはるかに多くのことを議論することを認めた。 実際、De Morganは、彼の計画は、アルファベットの終わり近くの文字”V”の場所を利用して、”ヒンズー教徒の天文学的および算術的科学”（p.318）に関する最新の奨学金を報告することであったと書いている。 なぜなら、デ-モーガンが書かなければならなかったのは”最も特異な極端な意見の記述”（p.318）であり、少なくとも彼がかなり偏っていると考えていた学者の間で多くの意見の不一致の物語であったからである。
この記事では、De Morganはインドの天文学者で数学者Varāhamihiraのアイデンティティと世紀について三つの可能性を与えました。. 320):
ヒンドゥー教の天文学者によって最も引用されている作家は、Varaha-mihiraとBrahmeguptaの名前を持っています。
現在、ヴァラーハミヒラは六世紀に、ブラーマグプタは七世紀に住んでいたと考えられている。 どちらも長い間、バスカラII世紀後にあったように、有名な天文台でUjjainに住んでいて働いていたと考えられていました。 しかし、インドの天文学と数学の歴史家キム・プロフカーが2009年の著書『インドの数学』で報告したように、3人の天文学者のうちのどれもがウジャインに住んでいたという証拠はなく、そこに天文台があったという証拠はない（pp.318-319,326）。
しかし、De Morganが1843年に知っていたことは、高く評価されているインド学者Henry Thomas Colebrookeと”Ujeinの天文学者”はVarāhamihiraの（そしてBrahmaguptaの）日付に同意したが、他の人はvarāhamihiraを何世紀も前か後に置いた（”VIGA GANITA,”p.320）:
彼の天文データから、ColebrookeはVaraha-mihiraが5世紀末に書いたと推測しています。 …同じ天文学者が西暦200年に置く別のVaraha-mihiraがあります。 しかし、人気のある伝統は、Vicramadytia（B.C.56）の時代にVaraha-mihiraを置き、今後気づいたように、彼の同時代のいくつかの名前を挙げています。
コールブルックは1837年に死去した。 彼の弟子ホレス-ヘイマン-ウィルソンは、1832年にオックスフォード大学でサンスクリット語の最初のボーデン教授となっていた; しかし、下の図7に示すように、ウィルソンは1835年にVarāhamihiraがBCEの最初の世紀に住んでいたことを書いていました！
図7. H.H.ウィルソンによる普遍的な歴史と年表のマニュアル、学校の使用のための（1835年）、25ページ、段落43から。 ここで、ウィルソンはVarāhamihiraを紀元前56年または少し後に置いた。 ウィルソンの”Ougein”はDe Morganの記事では”Ujein”となり、現在はUjjainとして知られています。 (Google Books)
デ・モーガンからウィルソンへの次の手紙の中で、デ・モーガンは、おそらく出版前の彼のPenny Cyclopaediaの記事のために、Varāhamihiraの身元と世紀についてのWilsonの信念を確認しようとしました。
図8. オーガスタス-ド-モルガンからH-H-ウィルソンへの手紙。 手紙の最後にあるDe Morganの署名は、図1の訪問カードの署名と同じであることに注意してください。 （博士のコレクションから。 シド-コルパス）
ド-モルガンの手紙の転写
卿
あなたを悩ませて多くの謝罪で、私はあなたに完全に知られていない、私はあなたに歴史のマニュアル、私はしばしば東洋の日付のために相談してきた仕事、そして私が持っている、それらの同じ日付の利便性のために、私はあなたの受け入れを請う道に数学史の学生に有用なものとして推奨される作品について質問する自由を取ります。
25ページ43. あなたはVaraha-Mihiraをその名前の天文学的な作家、またはその年齢がColebrookeによって議論され、BentleyとDelambreによって引用されたフランスの作家が（Colebrookの意見に反して、私が集
私は卿
あなたの忠実なしもべ
アデモルガン
69ガワーストリート
April5,1843
デ-モーガンがウィルソンから答えを受け取ったのか、もしそうなら、それが何であったのか デ-モルガンが”ペニーサイクロペディア”の記事でウィルソンに名前ではなく”人気のある伝統”を言及したことは、ウィルソンがバラハミヒラが紀元前56年頃に住んでいたという彼の主張から離れていたことを示している可能性がある。
ド-モルガンの手紙とその転写に関する注記
注1。 学校の使用のための普遍的な歴史と年表のマニュアル。 H.H.Wilson,M.A.,Boden Professor of Sanscrit,Oxford. ロンドン：ウィテカー、1835年。 ウィルソンはコールブルックの弟子であり（下の注4を参照）、1832年にオックスフォード大学のサンスクリット語の最初のボーデン教授となった。
注2。 H.h.Wilsonによる”Universal History and Chronology”のマニュアルの25ページの43段落からの一節は、上記の図7に示されています。
注3。 ヴァラーハミヒラ（Varāhamihira、505年-587年）は、インドの天文学者、数学者、占星術師である。
注4。 ヘンリー・トーマス・コールブルック（Henry Thomas Colebrooke、1765年-1837年）は、イギリスのインド学者で、特に宗教、言語学、天文学に興味を持っていた。 De Morganは彼のCyclopaediaの記事で、”氏を書いた。 コールブルックは、サンスクリット語の学者の中で最も著名なの一人であり、indefatigableインドの古代、そして数学と天文学でよく知らさよりも”（p.319）。 インドで30年以上（1783年-1814年）を過ごした後、コールブルックはイギリスに戻り、サンスクリット語のBrahmeguptaとBhascara（ロンドン、1817年）から代数学、算術とMensurationを出版し、1820年に王立天文学会と1823年に王立アジア学会の両方を共同設立した。
注5。 ジョン-ベントレー（John Bentley）は、イギリスのインド学者であり、デ-モーガンは彼の”VIGA GANITA”の記事で軽蔑的に書いていた。 ジャン-バティスト-ジョゼフ-ドランブル（Jean Baptiste Joseph Delambre、1749年-1822年）は、フランスの著名な天文学者であり、古代から18世紀までの天文学の歴史に関する著書も著した。
注6。 私たちが正弦、余弦、正接と呼ぶものを議論する天文学のマニュアルであるSīrya-Siddhāntaは、Varāhamihiraのあまり知られていない作品の一つであると仮定されました。 Plofker(2009)は、SĪRYA-Siddhāntaまたは”Sun-treatise”を約800CEに配置し、”同じ名前の以前の作品から構成または改訂されました。…. この初期のSīrya-Siddhāntaは部分的に保存されていました”Varāhamihiraの六世紀の作品で(p. 71).
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オーガスタス-ド-モルガン。 パラドックスの予算。 ロンドン：ロングマンズ、グリーンと会社、1872。
オーガスタス-ド-モルガン 確率に関するエッセイ。 ロンドン：ロングマン、オーム、ブラウン、グリーンとロングマンズ、ジョン*テイラー、1838。
,”Viga Ganita,”Penny Cyclopaedia Of The Society for The Diffusion of Useful Knowledge,vol. 26(1843),pp.318-326.
アウグストゥス-ド-モルガンの回顧録。 ロンドン:Longmans、緑および会社、1882年。
ジェームズ-エッシンジャー エイダのアルゴリズム: バイロン卿の娘エイダ-ラヴェレスがデジタル時代をどのように立ち上げたか。 ロンドン：ギブソン-スクエア-リミテッド（Gibson Square Ltd., 2014.
J.ポール-ゲッティ美術館。 “モウルとポリブランク。”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
ビクター-カッツ 数学の歴史：はじめに（第3版。). ボストン：アディソン-ウェスリー、2009年。
新世界百科事典の貢献者、”Henry Thomas Colebrooke”新世界百科事典、最終更新24February2009。
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J-J-オコナーとE-F-ロバートソン。 “アウグストゥス-ド-モルガン”マクトゥータ数学アーカイブの歴史、1996。
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
キム-プロフカー インドの数学。 プリンストン大学出版局、2009年。
エイドリアン-ライス “何が偉大な数学の先生になりますか？ オーガスタス-ド-モルガンの事件だ”アメリカの数学の毎月。 Vol. 106,No.6(Jun. -ジュル,1999),pp.534-552.
ホレス-ヘイマン-ウィルソン 学校の使用のための普遍的な歴史と年表のマニュアル。 ロンドン:Whittaker and Co., 1835.
