比熱容量とDulong-Petitの法則

物質の熱容量（\(C\)）は、その物質の温度を1度ケルビン上昇させるために必要な熱の量の尺度です。 単純な分子ガスの場合、分子は個々の分子に関連する並進運動、振動運動、および回転運動において運動エネルギーを同時に貯蔵することができる。 この場合、物質の熱容量は、並進、振動、および回転の寄与に分解することができます;

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単原子結晶性固体は、はるかに単純なケースを表します。 アインシュタインは、原子が振動エネルギーのみを持つような物質のための簡単なモデルを提案した（各原子は、その格子位置の周りに三つの垂直方向に振動することができる）。 具体的には、”アインシュタイン固体モデル”は、原子が三次元調和振動子のように作用する（各垂直次元の各原子の振動運動は完全に独立している）と仮定している。 統計力学は、一次元調和振動子の定体積モル熱容量(\(C_{V,m}\))に対して比較的簡単な式を提供します

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ここで、\(R\)は普遍気体定数、\(T\)は絶対温度、\(Σ_V\)は発振器の「特性振動温度」と呼ばれ、振動周波数(\(σ\))に応じて依存します

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\(h\)はプランク定数を表し、\(k\)はボルツマン定数を表します。

各次元の振動は独立していると仮定されているので、”三次元”アインシュタイン固体の定体積モル熱容量の式は、単に式\ref{1}に三つを掛けることによっ;

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ほとんどの金属固体の熱容量の温度変化は、式\ref{3}によってよく記述されます。 さらに、振動周波数が大きく変化する金属の温度の関数としての式\ref{3}のプロットは、熱容量が高温で常に同じ漸近限界\(3R\)に近づくことを明らかにする。 別の言い方をすれば、高温では

\ = 1 \ラベル{4}\]

そして、式\ref{3}は

\=3R\ラベルに還元されます{5}\]

(あなたは以下の演習でこの結果を確認するように求められます）。 式\ref{5}によれば、金属固体のモル熱容量は24に近づくはずです。金属の同一性にかかわらず、高温で9J/(K mol)。

ほとんどの金属固体の振動周波数は、通常、\(Σ_V\)が室温(\(Σ_V\ll298\,K\))よりかなり下になるように十分に小さい。 これらの物質については、式\ref{4}と\ref{5}によって暗示される限界は室温でもよく近似され、室温でのほとんどの金属について\(C_{v,m}=24.9\,J/(K·mol)\)という結果にな

1800年代初頭、Pierre Louis DulongとAlexis Therese Petitという名前の2人のフランスの科学者が、同じ驚くべき結果を経験的に発見しました。 Dulong-Petitの法則は、通常、金属の比熱容量(\(C_S\))とモル質量(\(M\))で表されます

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ここで、\(C_S\)は、その物質の「1グラム」の温度を1度ケルビン上昇させるために必要な熱量を表します。 デュロンとプティは、当時の他の科学者と同様に、この有名な関係を、金属元素の原子量のより正確な値を確立する手段として使用した（代わりに、元素の比熱容量を測定し、デュロンとプティの関係を使用することによって、元素の等価重量を確立するために当時使用されていたより議論の余地のある重量測定法と比較して重量を確立する比較的簡単な方法である）。

以下の演習では、室温で単純な単原子固体として存在する多数の元素の比熱容量を調べ、Dulong-Petitの法則の精度を評価します。