それは本当にあなたが”無限”によって何を意味するかに依存します。 あなたがinfty\infty.を意味するならば、それは数ではなく、むしろある量（通常は自然数または実数）が有限の限界を超えて成長するという概念の省略形です。 このように、あなたはそれを何かで乗算することはできません、特にそれ自体ではありません。 しかし、form1+1+\cdots+1.の形式の有限和よりも大きい要素を持ついくつかの算術システムがあり、したがってサイズが無限と呼ばれるに値する。 私はそれらのうちの3つについて教えてあげましょう（少し単純化されていますが、うまくいけば直接間違っていません）。
最初のものは枢機卿です。 彼らは何か（セット）がどれくらい大きいかを意味します。 有限基数は単なる自然数（「その多くの要素を持つ集合の大きさ」を意味する）ですが、ininite基数もあります。 最小の無限基数は、出生数の集合のサイズであるal\aleph_0.です。
基数の追加は、サイズの追加が機能することを期待する方法、つまり2つのセットを互いに隣接させ、合計で要素がいくつあるかを数えます。 具体的には、いつ基本数$\kappa_1,\kappa_2$,各念したサイズのセット$X_1,X_2$,その後数の$\kappa_1+\kappa_2$はカーディナリティを越え組$X_1\sqcup X_2$,または同様の組$(x_i i)$が$x_i\in X_i$$i\in\{1,2\}$.
基数の乗算は次のように機能します: $\kappa_1\cdot\kappa_2$はサイズをセット$X_1\times X_2$,の組$x_1,x_2$と$x_1\in X_1$と$x_2\in X_2$. 場合最大級の$\kappa_1$と$\kappa_2$が無限大の$\kappa_1+\kappa_2=\kappa_1\cdot\kappa_2=\max(\kappa_1,\kappa_2)$. これは、$\っぱ$はprecipitousに,$\カッパ-^2=\っぱ$いも$\sqrt\kappa=\っぱ$.
(を定義することもでき指数:$\kappa_1^{\kappa_2}$のサイズの設定の全ての機能形態$X_2るときは、$$X_1$. 例えば、$2$は二つの要素をセットで$\kappa^2$のセットにな機能から二つの要素に設定さ$\っぱ$. 2要素集合からの関数は順序付けられたペアと同じなので、これは実際にはkappa kappa\cdot\kappa.と同じです。 ニートか?)
二つ目は序数です。 それらはオブジェクトの順序を意味します。 しかし、すべての順序付けではなく、任意の部分集合が最小の要素を持つ順序付け、いわゆるwell-orderings。 繰り返しになりますが、有限序数は単なる自然数（「すべての小さい自然数の順序」を意味する）ですが、前回と同じように、無限の序数があり、そのうちの最
加序数は以下のような場合は$\gamma,\lambda$が序数、$\gamma+\lambda$が、ご注文頂いているよう$\gamma$目の前の$\lambda$. たとえば、natural1+\omega.はnatural\omega.と同じですが、自然数を取り、すべての要素の前に1つの要素を置くと、順序付けに関する限り、自然数自体とまったく同じに見えます。 しかし、omega\omega+1.は、すべての自然数の後に1つの要素を置くことを意味しますが、これは異なる順序です。
増殖の作品は、以下について$\gamma\cdot\lambda$が、通常のお取り$\lambda$差し替えて、各要素を順序付けによるコピーの$\gamma$を追加してすべてを有することが可能にな お互いの後にそれらを置く）（私たちはあなたが左から右にあなたの方法を働くことを指定します）。 そうすれば、natural2\cdot\omega.は自然数を取って、そこにある各数を2つの数に交換し、これらのペアをすべて互いに並べ替えることを意味します。 これは私たちにback\omega backを返します。 しかし、omega\omega\cdot2.は、順序付けられたペアを取り、2つの要素のそれぞれを自然数のコピーと交換してから、1つのコピーを次々に置くことを意味します。 これは、omega\omega+\omega.を計算するのと同じです。
この枠組みでは、無限序数の乗算と加算は基数ほど簡単ではありません。 たとえば、最小の無限完全平方序数であるomega\omega\cdot\omega=\omega+\omega+\omega+\cdots.が得られます。 自然数そのものと同様に、平方根を持つ序数とそうでない序数があります。 具体的には、omega\omega.には平方根がありません。
(序数の指数も定義できます: この場合、$\gamma^\lambda$が、通常のまま$\lambda$わ要素でコピーの$\gamma$び掛けていて、増殖定義する繰り返します。 これはomega\omega^2=\omega\cdot\omega.になります。 ニートか? 序数と基数の加算と乗算は多少似ていますが、累乗の概念は非常に異なっていることに注意してください。)
最後に、超現実的な数字について教えてあげましょう。 序数と基数は集合論では頻繁に使用されていますが、超現実的な数は好奇心のより多くのものです。 彼らはまた、あなたの頭を包むのが少し難しいです。 しかし、私は本当にそれらが好きなので、ここに簡単な要約があります。
おしゃれ番号を$x$の順序付きペアのセットを書$\langle L_x\中R_x\rangle$が$L_x$と呼ばれる左の$x$，$R_x$と呼ばれる右セットです。 これらの設定の両方からのシュールな数字を条件に、その場合は$x_l\in L_x$と$x_r\in R_x$,し$x_l<x_r$. $x$を意味によって、非現実的な数字$L_x$と$R_x$(最初の数に応じて生成、下記を参照)。 順序を定義は、以下の方法で作られた二人数を$x=\langle L_x\中R_x\rangle,y=\langle L_y\中R_y\rangle$したと言えるでしょう$x\leq y$iffもの:
- あ$x_l\in L_x$な$y\leq x_l$
- あ$y_r\in R_y$な$y_r\leq x$
(るということに注意してくださを評価するために$y\leq x_l$と$y_r\leq x$,お申込みが必要となりま同じになります。 これは、実際には、最も単純な数字を除くすべてのもので非常に面倒になります。 この再帰的な概念は、加算と乗算を定義するときに戻ってきます。）
実は、私は以前はあまり真実ではありませんでした。 超現実的な数は、そのようなペアの等価クラスです（これは私に本当に感謝するのに長い時間がかかったものです）。 ペア自体は超現実数形式と呼ばれます。 二つの形態$x,y$ると同一等価クラスiff$x\leq y$$y\leq x$.
それぞれの超現実数は、いわゆる”世代”を持っています。 最初の超現実的な数（生成generation0generation）は、左と右のセットが空である$0=\langle{}\mid{}\rangle.です。 次の二人数（電$1$)が$1=\langle0\中{}\rangle$と$-1=\langle{}\中0\rangle$. 電$2$から$-2=\langle{}\中-1\rangle$,$-\frac12=\langle-1\中0\rangle$,$\frac12=\langle0\中1\rangle$と$2=\langle1\中{}\rangle$.
これは同授業でし$2=\langleは-1、0,1\中{}\rangle$して、例えば、$0=\langle-2\中1\rangle$でも$-1$,$\frac12$と$-\frac12$ているものと$-2$と$1$,$0$所属先します。 できることを確認しあってい$\langle-2\中1\rangle\leq\langle{}\中{}\rangle$ると同時に$\langle{}\中{}\rangle\leq\langle-2\中1\rangle$をとっては、同じではありませんしている場合はtrueスワップの$\langle{}\中{}\rangle$は$\langle0\中1\rangle$.
し続け微細化部門の全ての有限の世代が、この番号と表示されている多数の$\frac a{2^b}$a dyadic分までの無限の世代の$\omega$(有の世代の序数、実数の突然のポップアップ（例えば、$\sqrt2=\langle1,\frac{5}{4}, \frac{11}{8},\ldots{}\中{}\ldots,\frac{12}{8},\frac{3}{2},2\rangle$). まだついていの無限の序数，$\omega$自体としての$\langle1,2,3,\ldots{}\中{}\rangle$り、その逆数$\frac1\omega=\langle{}\中{}\ldots\frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
これまでのところ、私は算術について話していません。 それがなければ、call\langle0\mid1\rangle.\frac12.を呼び出す理由はなく、他には何もありません。 Addition x=\langle L_X\mid R_X\rangle andとy y=\langle L_Y\mid R_Y\rangle Givenを考えると、加算はrecur x+y=\langle\{x+y_l：y_l\in l_Y\}\cup\{x_l+y_l：y_l\in L_Y\}recurによって再帰的に定義されますy:x_l\in l_X\}\半ば\{X+y_r：r_Y\でy_r\}\カップ\{x_r+y\}\半ば\{x+y_r：y_r\}\カップ\{x_r+y\}\カップ\{:multiplication XY=\langle\{X_ry+XY_l-x_ry_l\}\cup\{X_ry+XY_r-x_ry_r\}\mid\{X_ry+XY_r-X_ry_r\}\cup\{X_ry+XY_l-x_ry_l\}\rangle subtractionここで、減算は期待されるように定義されています、右の数を否定し、追加することによって。 否定は、右と左のセットのすべての要素を否定し、2つを交換することによって行われます。序数と同じように、omega\omega^2=\omega\cdot\omega.は完全な正方形です。 しかし、ここで楽しい部分が来る：任意の正の超現実的な数は平方根を持っています。 の平方根の$\omega$しでも定義です(理論的には、あるべきだし、正当化のこれらの名前を行うことにより、乗算を見ることだけは、そのコミュニケーションも楽しみの作品）:$$\omega-1=\langle1,2,3,\ldots\中\omega\rangle\\\omega-2=\langle1,2,3,\ldots\中\omega-1\rangle\\\omega-3=\langle1,2,3,\ldots\中\omega-2\rangle\\\vdots$$しま$\frac\omega2=\langle1,2,3,\ldots\中\ldots,\omega-3,\omega-2,\omega-1\rangle$. 同様に、define\frac\omega2-1、\frac\omega2-2$などを定義すると、frac\frac\omega4=\langle1、2、3、\ldots\mid\ldots、\frac\omega2-3、\frac\omega2-2、\frac\omega2-1\rangle.となります。 次に、frac\frac\omega8、\frac\omega{16}.などを定義することができます。 最後に、sqrt\sqrt\omega=\langle1、2、3、4、\ldots\mid\ldots、\frac\omega8、\frac\omega4、\frac\omega2、\omega\rangle.が得られます。 私たちは今世代のomega\omega^2.にいます。
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