結び目理論

結び目理論、数学では、三次元の閉曲線の研究、および別の部分を切断することなく、それらの可能な変形。 結び目は、任意の方法で文字列の部分をインターレースし、ループし、端を結合することによって形成されたとみなすことができます。 最初に発生する問題は、そのような曲線が本当に結ばれているのか、単に絡み合うことができるのか、つまり、それを空間で円のような標準的な未知数曲線に変形させることができるのかどうかということです。 第二の問題は、より一般的には、与えられた2つの曲線が異なる結び目を表すのか、または一方が他方に連続的に変形できるという意味で実際には同

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結び目を分類するための基本的なツールは、各結び目を平面に投影することで構成されています—光の下で結び目の影を描きます—そして、投影がそれ自身を交差させる回数を数え、各交差でどの方向が”上”に行き、どの方向が”下”に行くかに注意します。”結び目の複雑さの尺度は、結び目がすべての可能な方法で移動するときに発生する交差の最小数です。 可能な限り最も単純な真の結び目は、三つ葉の結び目、またはオーバーハンド結び目であり、このような交差が三つあり、この結び目の順序は三つと表される。 この単純な結び目でさえ、それらは鏡像であるが、互いに変形することができない二つの構成を有する。 交差の少ない結び目はなく、他のすべての結び目は少なくとも四つを持っています。

順序が増えるにつれて識別可能な結び目の数が急速に増加します。 例えば、13の交差を持つほぼ10,000の明確な結び目があり、16の交差を持つ百万以上—20世紀の終わりまでに知られている最高のもの。 特定の高次の結び目は、積と呼ばれる低次の結び目の組み合わせに分解することができます; 例えば、正方形の結び目とグラニーの結び目（六次の結び目）は、同じまたは反対のキラリティ、または利き手の2つのトレフォイルの積である。 そのように解決できない結び目は素数と呼ばれます。

結び目の数学的理論に向けた最初のステップは、ドイツの数学者Carl Friedrich Gaussによって1800年頃に取られました。 しかし、現代の結び目理論の起源は、1869年にスコットランドの数学者-物理学者ウィリアム-トムソン（ケルビン卿）によって、原子は異なる結び目に対応する異なる元素を持つエーテルの結び目渦管からなる可能性があるという提案に由来する。 これに対して、現代のスコットランドの数学者-物理学者Peter Guthrie Taitは、結び目を分類する最初の体系的な試みを行った。 ケルビンの理論はエーテルとともに最終的には否定されたが、結び目理論は約100年間純粋に数学的理論として発展し続けた。 その後、1984年にニュージーランドの数学者ヴォーン・ジョーンズがジョーンズ多項式を新しい結び目不変量として導入したことで、アメリカの数理物理学者エドワード・ウィッテンは結び目理論と場の量子論との関連性を発見した。 （2人とも1990年にフィールズ-メダルを受賞している。）別の方向では、アメリカの数学者（および仲間のフィールズのメダリスト）ウィリアム-サーストンは、結び目理論と双曲線幾何学の間に重要なリンクを作り、宇宙論に影響を与える可能性がある。 結び目理論の他の応用は、生物学、化学、数理物理学で行われている。