1.4シフトと拡張

アプリケーションの多くの関数は、さまざまな場所で定数を挿入することによって簡単な関数から構築されます。理解することが重要ですそのような定数がグラフの外観に与える影響。

まだまだ現役として活躍してい$x$を$x C$ろitoccurs式のため$f(x)$のグラフが$C$るtheright. （C C|が負の場合、これはグラフがleft C|leftを左にシフトすることを意味します。例えば、グラフ$y=(x-2)^2$は$x^2$-パラボラへて、その頂点のポイント2を$x$-軸となる。グラフの$y=(x+1)^2$のパラボラフ上構の左にして、その頂点で$-1$は$x$-軸となる。よく注意してください：replacing x Cをx X-C.に置き換えるときは、意味に注意を払わなければなりません。はじめ$y=x^2$は、文字通りの交換$x$を$x-2$を$y=x-2^2$. これはslope y=x-4.であり、傾き1の線であり、放物線ではありません。

まだまだ現役として活躍してい$y$よ$y D$しgraphmovesッ$D$単位です。（D D|が負の場合、これはグラフがdown|D|units単位を下に移動することを意味します。場合は、式の書かれているの$y=f(x)$が$y$は$y D$を$y-D=f(x)$しcanequivalently動か$D$るその他の方程式に書き$y=f(x)+D$. このように、この原理では得thegraphの$y=f(x)+D$し、グラフ$y=f(x)$に移動し$D$台ます。たとえば、関数y y=x^2-4x=（x-2）from2-4graphは、グラフを4単位下に移動することによって、y y=（x-2）.2.（最後の段落を参照）から得ることができます。結果は、点point（2、-4）.に頂点を持つように、par x^2par放物線が2単位を右にシフトし、4単位ダウンします。

警告。 Confuse f（x）+D.とf f（x+D）.を混同しないでください。例えば、$f(x)$は機能が$x^2$,そ$f(x)+2$は機能が$x^2+2$が$f(x+2)$は機能$(x+2)^2=x^2+4x+4$.

例1.4.1（円）上記の2つの原則の重要な例円x x^2+y^2=r^2.で始まります。これは、原点を中心とする半径r r.の円です。（また、これは単一の関数$y=f(x)$く二つの機能を$y=\pm\sqrt{r^2-y^2}$とし、いずれの場合においても、二つの移転の原則を適用する方程式のようにthisoneないの$y=f(x)$.)まだまだ現役として活躍してい$x$を$x C$置き換え$y$よ$y D$—取得の方程式を、$(x-C)^2+y-D)^2=r^2$の効果、円は$C$構の権利や$D$プを取得する円の半径$r$中心に$(C,D)$. これは、必ずしも原点を中心としているわけではない任意の円の方程式。

関数のグラフの外観に対する定数の影響に関する2つの原則を後で使用します。

が$x$は$x/A$一般、$A>1$,その効果のグラフはtoexpandで効果を明確にする必要がある$A$は$x$-方向(ら$y$-軸)。ま$A$間0and1によって大きく影響を受けにグラフが契約の効果を明確にする必要がある1ドル/ドル(け$y$-軸)。私たちは、拡張または収縮を意味するために”拡張”という言葉を使用します。

例えば、$x$を$x/0.5=x/(1/2)=2x$の効果の方の締約国に向けた$y$軸によるfactorof2. ま$A$が負、また膨らみ効果を明確にする必要がある$|A|$びthenflipの$y$-軸となる。このため、置き換え$x$を$x$の効果oftakingのミラーイメージのグラフに関しては、$y$-軸となる。 Forexample、数$y=\sqrt{x}$るドメイン$\{x\in\R\中x\le0\}$はobtainedbyのグラフの$\sqrt{x}$を反転での$y$軸intothe秒の領域。

ば$y$は$y/B$一般$B>0$,その効果のグラフが膨らみで効果を明確にする必要がある$B$善しています。これまでと同様に、これは拡張です。trac B thanが1より大きいか小さいかに応じて収縮します。った場合、また機能を持ってい$y=f(x)$、$y$よ$y/B$相当額を乗じた額を機能therightよ$B$:$y=Bf(x)$. の効果のグラフを拡大することであpictureawayから$x$軸効果を明確にする必要がある$B$が$B>1$契約でtowardthe$x$軸効果を明確にする必要がある1ドル/B$場合$0

例1.4.2(楕円)の基本例の拡大の原則を考慮するellipseof semimajor軸$a$びsemiminor軸$b$. たような楕円bystartingのユニットの円の半径の1を中心としたtheoriginの方程式であるが$x^2+y^2=1$とdilatingによるfactorof$a$水平および効果を明確にする必要がある$b$面が縦長になりました。のequationofのresultingellipseる分の投資責任能力を超えた投資は$x$-軸$\pmドルおよび分の投資責任能力を超えた投資は$y$-axisat$\pm b$して置き換え$x$を$x/a$$y$よ$y/b$のequationforのユニットです。これはgives left（{x\over a}\right）gives2+\left（{y\over b}\right）2 2=1\qquad\hbox{or}\qquad{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1を与えます。$$

最後に、シフトと拡張の両方を含む関数を分析する場合は、通常、最初にシフトを操作してからシフトを操作するのが最も簡単です。例えばしていくために、どのようなtodilate機能効果を明確にする必要がある$A$は$x$-方向thenshift$C$右は、この置き換え$x$よ$x/A$い、その後は$(x-C)$の式です。一例として、その後dilating当ユニットによ$a$は$x$-方向と$b$の$y$-方向の楕円前項の規定をthenwantedへのシフトでの距離に$h$への距離$k$は上昇することで、中心に$h,k)$. 新しい楕円は、方程式left left（{x-h\over a}\right）2 2+\left（{y-k\over b}\right）.2=1を持つでしょう。$$よって、他とは異なる初めてのシフトによ$h$と$k$andthen dilationsにより$a$$b$:$$\left({x\上}-h\right)^2+\left({y\b}k\right)^2=1です。§図1.4.1を参照してください。

図1.4.1. 楕円：左に1left（{x-1\over2}\right）2 2+\left（{y-1\over3}\right）2 2=1right、右にright left（{x\over2}-1\right）2 2+\left（{y\over3}-1\right）right2=1rightです。