1.4 Skift Og Dilatasjoner

Mange funksjoner i applikasjoner er bygget opp fra enkle funksjoner ved å sette inn konstanter på forskjellige steder. Det er viktig å forståeffekten slike konstanter har på utseendet på grafen.

Horisontale skift. Hvis vi erstatter $x $ med $x-C$ overalt detforekommer i formelen for $f (x)$, så skifter grafen over $C$ tilrett. (Hvis $C$ er negativ, betyr dette at grafen skifter over$ / C / $ til venstre.) For eksempel er grafen på $y=(x-2)^2$$ $ x^2$ – parabola skiftet over for å ha sitt toppunkt ved punkt 2 på$x$ – aksen. Grafen på $y=(x+1)^2$ er den samme parabolen skiftet over til venstre for å ha sitt toppunkt på $-1$ på $x$ – aksen. Merk godt: når du erstatter $x $ med $x-C$, må vi være oppmerksom på mening, notmerely utseende. Starter med $y=x^2$ og bokstavelig talt erstatter $x$med $x-2$ gir $y=x-2^2$. Dette er $y=x-4$, en linje med skråning 1, ikke ashifted parabola.

Vertikale skift. Hvis vi erstatter $y$ med $y-D$, så grafenflytter opp $D$ enheter. (Hvis $D$ er negativ, betyr dette at grafenbeveger seg ned $ / D / $ enheter.) Hvis formelen er skrevet i skjemaet$y=f (x)$ og hvis $ y$ erstattes av $y-D$ for å få $y-D = f (x)$, kan viekvivalent flytte $D$ til den andre siden av ligningen og skriv$y=f(x)+D$. Dermed kan dette prinsippet oppgis: for å fågraf på $ y=f(x) + D$, ta grafen på $ y=f (x)$ og flytt den $D$ enheter opp.For eksempel kan funksjonen $ y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ fås fra$y=(x-2)^2$ (se siste avsnitt) ved å flytte grafen 4 enheter ned.Resultatet er $x^2$ – parabola skiftet 2 enheter til høyre og 4 unitsdown for å ha sitt toppunkt ved punktet $(2,-4)$.

Advarsel. Ikke forveksle $f (x) + D$ og $f (x+D)$. For eksempel, hvis $f (x)$ er funksjonen $x^2$, så er $f (x) + 2$ funksjonen $x^2 + 2$, mens $f (x+2)$ er funksjonen $(x + 2)^2=x^2 + 4x + 4$.

Eksempel 1.4.1 (Sirkler) et viktig eksempel på de to prinsippenestarter med sirkelen $x^2 + y^2=r^2$. Dette er sirkelen av radius$r$ sentrert ved opprinnelsen. (Som vi så, er dette ikke en enkelt funksjon$y=f(x)$, men heller to funksjoner $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ satt sammen;i alle fall gjelder de to skiftende prinsippene for ligninger som thisone som ikke er i form $y=f (x)$.) Hvis vi erstatter $x $ med $ x-C$ og erstatter $ y$ med $y-D$ – får ligningen$(x-C)^2 + (y-D)^2=r^2$—effekten på sirkelen er å flytte den $C$ til høyre og $D$ opp, og dermed oppnå sirkelen av radius $r$sentrert ved punktet $(C, D)$. Dette forteller oss hvordan du skriverligning av enhver sirkel, ikke nødvendigvis sentrert ved opprinnelsen.

vi vil senere bruke to prinsipper om effekten avkonstanter på utseendet på grafen til en funksjon.

Horisontal utvidelse. Hvis $x$ erstattes av$x / A$ i en formel og $a >1$, er effekten på grafen åutvide den med en faktor på $a$ i $x$ – retningen (vekk fra$y$-aksen). Hvis $A$ er mellom 0 og1, er effekten på grafen å kontrakt med en faktor på $1 / a$(mot $y$-aksen). Vi bruker ordet «dilate» til å bety utvide eller kontrakt.

for eksempel erstatter $x$ med $ x / 0.5=x / (1/2)=2x$ har effekten av å trekke seg mot $y$ – aksen med en faktorav 2. Hvis $A$ er negativ, utvider vi med en faktor på $ / A / $ og såflip om $y$ – aksen. Dermed erstatter $ x $ med $ – x$ effekten avtar speilbildet av grafen med hensyn til $y$ – aksen. For eksempel oppnås funksjonen $y=\sqrt{-x}$, som har domene $\{x\i\r\mid x\le 0\}$, ved å ta grafen på $\sqrt{x}$ og bla den rundt $y$ – aksen iden andre kvadranten.

Vertikal utvidelse. Hvis $y$ erstattes av $y / B$ i en formel og$B> 0$, er effekten på grafen å utvide den med en faktor på $B $ iden vertikale retningen. Som før er dette en utvidelse ellersammentrekning avhengig av om $B$ er større eller mindre enn en.Merk at hvis vi har en funksjon $y=f(x)$,erstatter $y$ med $ y / B$ tilsvarer å multiplisere funksjonen pårett med $B$: $y=Bf(x)$. Effekten på grafen er å utvide bildetvekk fra $x$ – aksen med en faktor på $b $ hvis $ b > 1$, for å trekke den mot $x$ – aksen med en faktor på $1 / b $ hvis $0

Eksempel 1.4.2 (Ellipser) et grunnleggende eksempel på de to ekspansjonsprinsippene er gitt av en ellipse av semimajor akse $a$ og semiminor akse $b$. Vi får en slik ellipse avstarter med enhetssirkelen-sirkelen av radius 1 sentrert vedopprinnelse, hvis ligning er $x^2 + y^2=1$ – og dilaterer med en faktorav $a$ horisontalt og med en faktor på $b $ vertikalt. For å få ligningenellipse, som krysser $x$ – aksen ved $ \ pm a$ og krysser $y$ – axisat $ \ pm b$, erstatter vi $x$ med $ x/a$ og $ y$ med $ y / b$ i ligningenfor enhetssirkelen. Dette gir $$\venstre({x\over a}\høyre)^2+\venstre({y\over b}\høyre)^2=1 \ qquad\hbox{eller}\qquad {x^2 \ over a^2} + {y^2 \ over b^2}=1.$$

Til Slutt, Hvis vi vil analysere en funksjon som involverer beggeskift og dilasjoner, er det vanligvis enklest å jobbe meddilasjoner først, og deretter skiftene. For eksempel, hvis vi vilfordel en funksjon med en faktor på $a$ i $x$-retningen og skift $C$ til høyre, gjør vi dette ved å erstatte $x $ først med $x / A$og deretter med $(x-C)$ i formelen. For eksempel, anta at etter å ha utvidet vår enhetssirkel med $a$ i $x$ – retningen og med $ b$i $y$ – retningen for å få ellipsen i siste avsnitt, ønsket vi å skifte den en avstand $h$ til høyre og en avstand $k$oppover, for å være sentrert ved punktet $(h, k)$. Den nye ellipsewould har ligning$$ \ venstre ({x-h\over a}\høyre)^2+\venstre ({y-k\over b}\høyre)^2=1.$ $ Merk godt at dette er annerledes enn først å gjøre skift med $h$ og $k$ ogderetter dilasjoner med $a$ og $b$:$$ \ venstre ({x\over a}-h\høyre)^2+\venstre ({y\over b}-k\høyre)^2=1.$$Se figur 1.4.1.

Figur 1.4.1. Ellipser: $\venstre ({x-1 \ over 2} \ høyre)^2+ \ venstre ({y-1\over 3}\høyre)^2=1$ til venstre, $ \ venstre ({x\over 2}-1\høyre)^2+\venstre ({y\over 3}-1\høyre)^2=1$ til høyre.

Øvelser 1.4

Begynner med grafen på $\ds y=\sqrt{x}$, grafen på $\ds y=1/x$, oggraph av $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (den øvre enheten halvcirkel), skissergraf av hver av følgende funksjoner:

Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$

Ex 1.4.2$ \ ds f (x)=-1-1/ (x+2)$

Ex 1.4.3$ \ ds f (x) = 4 + \sqrt{x+2}$

Eks 1,4.4$ \ ds y=f(x) = x / (1-x)$

Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt{-x}$

Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1 – (x-1)^2}$

Ex 1.4.7$ \ ds f (x)=-4 + \sqrt {- (x-2)}$

Ex 1.4.8$ \ ds f (x)=2 \ sqrt{1-(x/3)^2}$

Ex 1.4.9$\ds f(x)=1 / (x+1)$

Ex 1.4.10$ \ ds f (x) = 4 + 2 \ sqrt{1-(x-5)^2/9}$

Ex 1.4.11$\ds f(x)=1 + 1 / (x-1)$

Ex 1.4.12$ \ ds f (x)=\sqrt{100-25 (x-1)^2}+2$