Følgende er Fra Joseph Mazurs nye bok, What ‘ S Luck Got To Do with It?:
…det er en autentisk verifisert historie at en gang på 1950-tallet kom et hjul I Monte Carlo opp enda tjueåtte ganger i rett rekkefølge. Oddsen for at det skjer er nær 268,435,456 til 1. Basert på antall kupp per dag På Monte Carlo, vil en slik begivenhet sannsynligvis bare skje en gang i fem hundre år.
Mazur bruker denne historien til å sikkerhetskopiere et argument som hevder at, i hvert fall til veldig nylig, var mange roulettehjul ikke i det hele tatt rettferdig.
Forutsatt at matematikken er riktig(vi sjekker det senere), kan du finne feilen i hans argument? Følgende eksempel vil hjelpe.
Sannsynligheten For Rullende Dobler
Tenk deg at du gir et par terninger til noen som aldri har kastet terninger i sitt liv. Hun ruller dem, og får doble femmere i sin første rulle. Noen sier, » Hei, nybegynnerflaks! Hva er oddsen for det på hennes første kast?»
vel, Hva er de?
det er to svar jeg vil ta her, en mye bedre enn den andre.
den første går slik. Oddsen for å rulle en fem med en dør er 1 i 6; terningene er uavhengige, så oddsen for å rulle en annen fem er 1 i 6; derfor oddsen for rullende doble femmere er
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 til 36.
med denne logikken gjorde vår nye spiller bare noe ganske usannsynlig på hennes første rulle.
men vent litt. Ville IKKE noen par dobler vært like «imponerende» på den første rullen? Det vi egentlig burde beregne er oddsen for rullende dobler, ikke nødvendigvis femmere. Hva er sannsynligheten for det?
Siden det er seks mulige par dobler, ikke bare en, kan vi bare multiplisere med seks for å få 1/6. En annen enkel måte å beregne den på: Den første dør kan være noe i det hele tatt. Hva er sannsynligheten for at den andre terningen matcher den? Enkelt: 1 i 6. (Det faktum at terningene rulles samtidig, har ingen betydning for beregningen.)
Ikke fullt så bemerkelsesverdig, er det?
av en eller annen grunn har mange mennesker problemer med å forstå det konseptet. Sjansene for å rulle dobler med en enkelt kaste av et par terninger er 1 i 6. Folk vil tro at det er 1 i 36, men det er bare hvis du angir hvilket par dobler som skal kastes.
La Oss nå undersøke roulette «anomaly»
Denne samme feilen er det Som forårsaker Joseph Mazur å feilaktig konkludere med at fordi et roulettehjul kom opp til og med 28 rette ganger i 1950, var det veldig sannsynlig et urettferdig hjul. La oss se hvor han gikk galt.
det er 37 spor på Et Europeisk roulettehjul. 18 er jevn, 18 er merkelig, og en er 0, som jeg antar ikke teller som enten jevn eller merkelig her.
så med et rettferdig hjul er sjansene for at et jevnt tall kommer opp 18/37. Hvis spinnene er uavhengige, kan vi multiplisere sannsynlighetene for enkeltspinn for å få felles sannsynligheter, så sannsynligheten for to rette evens er da (18/37)*(18/37). Fortsetter på denne måten, vi beregne sjansene for å få 28 påfølgende partall å være $$(18/37)^{28}$$.
Viser seg, dette gir oss et tall som er omtrent dobbelt så stort (noe som betyr en hendelse dobbelt så sjelden) Som Mazurs beregning skulle tilsi. Hvorfor forskjellen?
Her Er Hvor Mazur fikk det riktig: Han innrømmer at et løp på 28 påfølgende odde tall ville være like interessant (og er like sannsynlig) som et løp av evens. Hvis 28 odds ville ha kommet opp, ville det også ha gjort det i sin bok, fordi det ville være like ekstraordinært for leseren.
dermed dobler han sannsynligheten vi har beregnet, og rapporterer at 28 evens på rad eller 28 odds på rad bare skal skje en gang hvert 500 år. Fin.
men hva med 28 røde på rad? Eller 28 svarte?
Her er problemet: Han klarer ikke å redegjøre for flere hendelser som ville være like interessante. To åpenbare som kommer til hjernen er 28 røde på rad og 28 svarte på rad.
det er 18 svarte og 18 røde på hjulet (0 er grønt). Så sannsynlighetene er identiske med de ovenfor, og vi har nå to hendelser som ville vært bemerkelsesverdige nok til å få oss til å lure på om hjulet var partisk.
så nå, i stedet for to hendelser (28 odds eller 28 evens), har vi nå fire slike hendelser. Så det er nesten dobbelt så sannsynlig at en ville oppstå. Derfor bør en av disse hendelsene skje omtrent hvert 250 år, ikke 500. Litt mindre bemerkelsesverdig.
Hva med andre usannsynlige hendelser?
Hva med et løp på 28 tall som akkurat vekslet hele tiden, som like-odd-even-odd, eller rød-svart-rød-svart? Jeg tror at hvis en av disse hadde skjedd, Mazur ville ha vært like glade for å inkludere det i sin bok.
disse hendelsene er like usannsynlige som de andre. Vi har nå nesten doblet vårt antall bemerkelsesverdige hendelser som ville få oss til å peke på et ødelagt hjul som skyldige. Bare nå, det er så mange av dem, vi forventer at man skal skje hvert 125 år.
til Slutt, vurder At Mazur ser tilbake over mange år når han påpeker denne tilsynelatende ekstraordinære hendelsen som skjedde. Hadde det skjedd nar som helst mellom 1900 og i dag, gjetter Jeg Mazur ville ha vurdert det nylig nok til a inkludere som bevis pa hans poeng at roulettehjul var partisk ikke for lenge siden.
det er et 110-års vindu. Er det så overraskende at noe som skulle skje en gang hvert 125 år eller så skjedde under det store vinduet? Ikke egentlig.
Litt usannsynlig kanskje, men ingenting som ville overbevise noen om at et hjul var urettferdig.
