det avhenger egentlig av hva du mener med «uendelig». Hvis du mener $ \ infty$, så er det ikke et tall, men heller en stenografi for konseptet at noen mengde (vanligvis et naturlig eller reelt tall) vokser utover en endelig bundet. Som sådan kan du ikke multiplisere det med noe, og spesielt ikke seg selv. Det er imidlertid flere aritmetiske systemer som har elementer større enn noen endelig sum av skjemaet $1 + 1 + \cdots + 1$, og fortjener dermed å bli kalt uendelig i størrelse. Jeg forteller deg om tre av dem (litt forenklet, men forhåpentligvis ikke direkte feil).
den første er kardinaler. De betegner hvor stort noe (et sett) er. En endelig kardinal er bare et naturlig tall (som betyr «størrelsen på et sett med så mange elementer»), men det er også ininite kardinaler. Den minste uendelige kardinal er $\aleph_0$, størrelsen på settet av natrual tall.
Tillegg av kardinaler fungerer slik du forventer at tillegg av størrelser skal fungere, nemlig å sette de to settene ved siden av hverandre, og telle hvor mange elementer det er totalt. Nærmere bestemt, hvis du har to kardinaltall $\kappa_1, \kappa_2$, som hver betyr størrelsen på to sett $X_1, X_2$, så er kardinaliteten $\kappa_1+\kappa_2$ kardinaliteten til den disjoint union $X_1\sqcup X_2$, eller tilsvarende settet av par $(x_i, i)$ hvor $x_i \I x_i$ Og $i \i \{1, 2\}$.
Multiplikasjon av kardinaler fungerer på følgende måte: $\kappa_1 \ cdot \ kappa_2$ er størrelsen på settet $X_1\ganger X_2$, settet av par $x_1, x_2$ med $x_1 \ I X_1$ og $x_2 \ I X_2$. Hvis den største av $\kappa_1$ og $\kappa_2$ er uendelig, så $\kappa_1 + \kappa_2 = \kappa_1 \ cdot \ kappa_2 = \ max (\kappa_1, \kappa_2)$. Dette betyr at hvis $ \ kappa$ er en uendelig kardinal,$ \kappa^2 = \kappa$, så får vi også $\sqrt \ kappa = \kappa$.
(du kan også definere eksponenter: $\kappa_1^{\kappa_2}$ er størrelsen på settet av alle mulige funksjoner skjema $X_2$ til $X_1$. For eksempel er $2$ et to-element sett, så $\kappa^2$ er settet av funksjoner fra et to-element satt til $\kappa$. En funksjon fra et to-element sett er det samme som et bestilt par, så dette er faktisk det samme som $ \ kappa \ cdot \ kappa$. Pent, hva?)
den andre er ordinalene. De betyr ordre av objekter. Men ikke alle ordrer, men ordrer der noen delmengde har et minste element, såkalte brønnorderinger. Igjen er en endelig ordinal bare et naturlig tall (som betyr «bestilling av alle mindre naturlige tall»), men akkurat som forrige gang er det uendelige ordinaler, den minste som kalles $ \ omega_0$, eller bare $ \ omega$, og det betyr rekkefølgen av de naturlige tallene.
Tillegg av ordinaler gjøres på følgende måte: hvis $ \ gamma, \ lambda$ er ordinaler, så $ \ gamma + \lambda$ er bestillingen oppnådd ved å sette $ \ gamma $ foran $ \ lambda$. For eksempel er $1 + \omega$ det samme som $\omega$, fordi hvis du tar de naturlige tallene, og legger ett element foran dem alle, har du noe som når det gjelder bestilling, ser nøyaktig ut som de naturlige tallene selv. Men $ \ omega + 1$ betyr å sette et enkelt element etter alle de naturlige tallene, som er en annen rekkefølge.
Multiplikasjon fungerer på følgende måte: $ \ gamma \ cdot \ lambda$ er ordenen vi får ved å ta $ \ lambda$, erstatte hvert element i den rekkefølgen med en kopi av $ \ gamma$, og legg dem deretter til i den rekkefølgen (dvs. sett dem etter hverandre) (vi angir at du jobber deg fra venstre til høyre). På den måten betyr $2 \ cdot \ omega $ å ta de naturlige tallene, bytte hvert av tallene der for to tall, og deretter sette alle disse parene etter hverandre. Dette gir oss $\omega$ tilbake. Men $ \ omega \ cdot 2$ betyr å ta et bestilt par, bytte hver av de to elementene med en kopi av de naturlige tallene, og deretter sette en kopi etter den andre. Dette er det samme som du ville få ved å beregne $ \ omega + \ omega$.
i dette rammeverket er multiplikasjon og tillegg av uendelige ordinaler ikke så trivielle som for kardinaler. Vi får for eksempel $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\omega + \cdots$, som er den minste uendelige perfekte firkantede ordinalen. Som med de naturlige tallene selv, er det noen ordinaler som har en kvadratrot, og noen som ikke gjør det. Spesielt har $\omega$ ikke en kvadratrot.
(du kan også definere eksponenter for ordinaler: I dette tilfellet er $ \ gamma ^ \ lambda$ ordenen vi får hvis vi tar $\lambda$, erstatt hvert element i det med kopier av $ \ gamma$, og multipliser dem alle sammen, akkurat som multiplikasjon ble definert som gjentatt tillegg. Dette gjør $\omega^2 = \ omega \ cdot \ omega$. Pent, hva? Merk at mens ordinær og kardinal tillegg og multiplikasjon er noe lignende, er deres forestillinger om eksponering svært forskjellige.)
Til Slutt forteller Jeg deg om de surrealistiske tallene. Mens ordinaler og kardinaler er i stor bruk i settteori, er de surrealistiske tallene mer av en nysgjerrighet. De er også litt vanskeligere å vikle hodet rundt. Men jeg liker dem virkelig, så her er en kort oppsummering.
et surrealistisk tall $x$ består av et bestilt par sett skrevet $\langle l_x\mid R_x\rangle$, hvor $L_x$ kalt venstre sett på $x$ og $R_x$ kalles høyre sett. Disse settene består begge av andre surrealistiske tall, med kravet om at hvis $x_l \I L_x$ og $x_r\I R_x$, så har vi $x_l < x_r$. $x$ betyr da et surrealistisk tall mellom $L_x$ og $R_x$ (det første tallet i henhold til generasjonen, se nedenfor). Bestilling er definert på følgende måte: Gitt to surrealistiske tall $x = \langle L_x \ mid R_x \ rangle, y = \ langle l_y \ mid r_y \ rangle $ vi sier at $x \ leq y $ iff begge følgende er sanne:
- Det er ingen $ x_l\I l_x$ slik at $ y \leq x_l$
- Det er ingen $ y_r \ I r_y$ slik at $y_r \ leq x$
(Merk at for å evaluere $y \leq x_l$ og $y_r\leq x$, må du bruke samme definisjon igjen. Dette vil i praksis bli veldig kjedelig for alle, men de enkleste tallene. Dette rekursive konseptet kommer tilbake når du definerer tillegg og multiplikasjon.)
Egentlig var Jeg ikke helt sannferdig tidligere. Et surrealistisk tall er en ekvivalensklasse av slike par (dette er det som tok meg lang tid å virkelig sette pris på). Et par i seg selv kalles en surrealistisk tallform. To former $x, y$ tilhører samme ekvivalensklasse iff $x\leq y$ og $y\leq x$.
hvert surrealistisk tall har en såkalt «generasjon». Det første surrealistiske tallet (generasjon $0$) er $ 0 = \langle {} \ mid {} \ rangle$ hvor venstre og høyre sett er tomme. De neste to surrealistiske tallene (generasjon $1$) er $1 = \langle0\mid{}\rangle$ og $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generasjon $ 2 $består av$ -2 = \langle{}\mid -1\rangle$,$- \frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $ \frac12 = \ langle 0 \ mid 1 \ rangle$ og $2 = \langle 1 \ mid {} \ rangle$.
Her kan vi se ekvivalensklassene på jobben, fordi vi også har $2 = \langle -1, 0, 1 \ mid {} \ rangle$, og vi har for eksempel $ 0 = \ langle -2 \ mid 1 \ rangle$, fordi selv om $-1$, $\frac12$ og $ – \frac12$ også er mellom $-2$ og $1$, $0$ tilhører en tidligere generasjon. Du kan sjekke at vi faktisk har $ \ langle -2 \ mid 1 \ rangle\leq \ langle {}\mid {} \ rangle$ og samtidig $ \ langle {} \ mid {} \ rangle \leq \ langle -2 \ mid 1 \ rangle$, mens det samme ikke er sant hvis vi bytter $ \ langle {} \ mid {} \ rangle$ for $ \ langle 0 \ mid 1 \ rangle$.
vi fortsetter å lage finere og finere divisjoner i alle de endelige generasjonene, hvert tall som ser ut til å være et tall av formen $\frac a{2^b}$, en dyadisk brøkdel, til vi kommer til den første uendelige generasjonen, $\omega$ (ja, generasjonene er ordinaler), hvor alle de reelle tallene plutselig dukker opp (for eksempel $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Vi får også den første uendelige ordinalen,$ \ omega $ selv, som $ \ langle 1, 2, 3, \ ldots {}\mid {} \rangle$, og dens gjensidige $\frac1 \omega = \langle {} \mid {} \ldots\frac18,\frac14, \ frac12, 1 \ rangle$.
Så langt har Jeg ikke snakket om aritmetikken. Uten det er det ingen grunn til å ringe $ \ langle 0 \ mid 1 \ rangle$ $ \ frac12$ og ikke noe annet. Gitt $x = \ langle L_x \ mid r_x \ rangle$ og $y = \langle l_y\mid r_y\rangle$, er tillegg definert rekursivt av$$x + y = \langle \{x + y_l: y_l \ i l_y\} \ cup \ {x_l + y:x_l\in L_x\} \ mid \ {x + y_r: y_r \ i R_y\} \ cup \ {x_r + y:X_r\i r_x\}\rangle$$Multiplikasjon er litt mer rotete, så jeg bruker litt shorthand:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$hvor subtraksjon er definert som Man Kan Forvente, ved å negere riktig nummer Og legge Til. Negating gjøres ved å negere hvert element i høyre og venstre sett, og bytte de to rundt.
akkurat som med ordinalene, er $ \ omega^2 = \ omega \ cdot \ omega $ et perfekt torg. Men her kommer den morsomme delen: ethvert positivt surrealistisk tall har en kvadratrot. For å få kvadratroten av $\omega$, må vi så noen flere definisjoner (teoretisk kan man og bør rettferdiggjøre alle disse navnene ved å utføre tillegg og multiplikasjon for å se at du får det du burde, men det er mye arbeid):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid\omega – 1 \rangle\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\omega – 2\rangle \\\vdots$$og så får vi $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3,\omega – 2, \omega – 1 \rangle$. Tilsvarende kan vi definere $\frac \ omega2-1, \frac \ omega2-2$, og så videre, og vi får $\frac \ omega4 = \langle 1, 2, 3,\ldots \ mid \ ldots, \frac \ omega2-3,\frac \ omega2-2,\frac \ omega2-1 \ rangle$. Da kan vi definere $\frac \ omega8, \frac \ omega{16}$ og så videre. Til slutt får vi $\sqrt \ omega = \ langle 1, 2, 3, 4, \ ldots \ mid \ ldots, \ frac \ omega8,\frac \ omega4,\frac \ omega2, \ omega \ rangle$. Vi er nå på generasjon $ \ omega^2$.
