Hyperbolsk bane

som en elliptisk bane kan en hyperbolsk bane for et gitt system defineres (ignorerer orientering) av sin store halvakse og eksentrisiteten. Men med en hyperbolsk bane kan andre parametere være mer nyttige for å forstå kroppens bevegelse. Følgende tabell viser hovedparametrene som beskriver kroppens bane etter en hyperbolsk bane rundt en annen under standardforutsetninger og formelen som forbinder dem.

Hyperbolske bane ligninger

Element	Symbol	Formel	ved bruk av v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }} (eller a {\displaystyle a} ), b {\displaystyle b {\displaystyle b}}
standard gravitasjonsparameter	μ {\displaystyle \ mu \,}	v2 (2 / r − 1 / a) {\displaystyle {\frac {v^{2}} {(2 / r-1 / a)}}}	b v ∞ 2 cot ⁡ θ ∞ {\displaystyle bv_ {\infty} ^ {2} \ cot\theta _ {\infty }}
Eksentrisitet (>1)	e {\displaystyle e {\displaystyle e}}	ℓ r p-1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\sqrt {1 + b^{2} / a^{2}}}}
store halvakse (<0)	a {\displaystyle a\,\!}	1 / ( 2 / r-v 2 / μ {\displaystyle 1/(2/r-v^{2} / \ mu )}	− μ / v ∞ 2 {\displaystyle – \ mu / v_ {\infty }^{2}}
Hyperbolsk overskuddshastighet	v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }}	− μ / a {\displaystyle {\sqrt {-\mu / a}}}
(Ekstern) Vinkel mellom asymptoter	2 θ ∞ {\displaystyle 2 \ theta _ {\infty }}	2 cos – 1 ⁡ (- 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1} (-1 / e)}	π + 2 brunfarge-1 ⁡ ( b / a ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b / a)}
Vinkel mellom asymptoter og konjugataksen av den hyperbolske tilnærmingsbanen	2 ν {\displaystyle 2 \ nu }	2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty} − \pi }	2 sin − 1 ⁡ ( 1 ( 1 + r p ∗ v ∞ 2 / μ ) ) {\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}*v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}
Effektparameter (halvmindre akse)	b {\displaystyle b}	− a e 2-1 {\displaystyle-a {\sqrt {e^{2}-1}}}
semi-latus endetarm	ℓ {\displaystyle \ ell}	og (e 2-1) {\displaystyle a(e)^{2}-1)}	− b 2 / a = h 2 / μ {\displaystyle-b^{2} / a=h^{2}/\mu }
Periapsis avstand	r p {\displaystyle r_{p}}	og(1 − e ) {\displaystyle a(1-e)}	a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2} + b^{2}}}+a}
spesifikk orbital energi	ε {\displaystyle \ varepsilon }	− μ / 2 a {\displaystyle – \ mu / 2a}	v ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_ {\infty }^{2}/2}
Spesifikk vinkelmoment	h {\displaystyle h}	μ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}	b v ∞ {\displaystyle bv_ {\infty }}

Halvakse, energi og hyperbolsk overskuddshastighetrediger

halvaksen ( a {\displaystyle a\,\!}

) er ikke umiddelbart synlig med en hyperbolsk bane, men kan konstrueres som det er avstanden fra periapsis til punktet der de to asymptotene krysser. Vanligvis er det ved konvensjon negativt å holde ulike ligninger i samsvar med elliptiske baner.

den store halvaksen er direkte knyttet til den spesifikke baneenergien (ϵ {\displaystyle \ epsilon \,}

) eller karakteristisk energi c 3 {\displaystyle C_{3}}

av banen, og til hastigheten kroppen oppnår ved som avstanden har en tendens til uendelig, den hyperbolske overskytende hastigheten ( v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }\,\!}

). v ∞ 2 = 2 ϵ = C 3 = − μ / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}

eller a = − μ / v ∞ 2 {\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}

var: hryvnias = Gm {\displaystyle \ mu =Gm\,\!}

er standard gravitasjonsparameter og C 3 {\displaystyle C_{3}}

er karakteristisk energi, som vanligvis brukes i planlegging av interplanetære oppdrag

Merk at den totale energien er positiv i tilfelle av en hyperbolsk bane (mens den er negativ for en elliptisk bane).

Eksentrisitet og vinkel mellom tilnærming og avreise [rediger / rediger kilde]

med en hyperbolsk bane er baneeksentrisiteten ( e {\displaystyle e\,}

) er større enn 1. Eksentrisiteten er direkte relatert til vinkelen mellom asymptotene. Med eksentrisitet litt over 1 er hyperbelen en skarp » v » – form. At e = 2 {\displaystyle e = {\sqrt {2}}}

asymptotene er i rette vinkler. Med e > 2 {\displaystyle e>2}

asymptotene er mer enn 120° fra hverandre, og periapsis-avstanden er større enn den store halvaksen. Som eksentrisitet øker ytterligere bevegelse nærmer seg en rett linje.

vinkelen mellom periapsis-retningen og en asymptote fra det sentrale legemet er den sanne anomali ettersom avstanden har en tendens til uendelig (θ ∞ {\displaystyle \ theta _ {\infty }\,}

), så 2 θ ∞ {\displaystyle 2 \ theta _ {\infty }\,}

er den eksterne vinkelen mellom tilnærming og avreise retninger (mellom asymptoter). Deretter θ ∞ = cos − 1 ⁡ (- 1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1} (-1/e)\,}

eller e = – 1 / cos ⁡ θ ∞ {\displaystyle e = -1/\cos \theta {_{\infty }}\,}

Impact parameter Og avstanden til nærmeste tilnærming Rediger

Hyperbolske baner etterfulgt av objekter som nærmer seg sentralt objekt (liten prikk) med samme hyperbolske overskuddshastighet (og halv-stor akse (=1)) og fra samme retning, men med forskjellige effektparametere og eksentrisiteter. Den gule linjen passerer faktisk rundt den sentrale prikken, nærmer seg den tett.

effektparameteren er avstanden som en kropp, hvis den fortsatte på en uberørt sti, ville savne det sentrale legemet ved nærmeste tilnærming. Med organer som opplever gravitasjonskrefter og følger hyperbolske baner, er det lik den halvmindre aksen til hyperbelen.

i situasjonen til et romfartøy eller komet som nærmer seg en planet, vil nedslagsparameteren og overskuddshastigheten bli kjent nøyaktig. Hvis den sentrale kroppen er kjent, kan banen nå bli funnet, inkludert hvor nær den nærliggende kroppen vil være ved periapsis. Hvis dette er mindre enn planetens radius, bør det forventes en innvirkning. Avstanden til nærmeste tilnærming, eller periapsis avstand, er gitt av:

r p = − a ( e − 1 ) = μ / v ∞ 2 ( 1 + ( b v ∞ 2 / μ ) 2 − 1 ) {\displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2} / \mu )^{2}}}-1)}

Så hvis en komet nærmer Seg Jorden (effektiv radius ~6400 km) med en hastighet på 12.5 km / s (omtrentlig minimum tilnærming hastighet av et legeme som kommer fra det ytre Solsystemet) er å unngå en kollisjon Med Jorden, virkningen parameter må være minst 8600 km, eller 34% mer Enn jordens radius. Et legeme som nærmer Seg Jupiter (radius 70 000 km) fra Det ytre Solsystemet med en hastighet på 5,5 km / t, vil trenge nedslagsparameteren til å være minst 770 000 km Eller 11 Ganger Jupiters radius for å unngå kollisjon.

hvis massen til det sentrale legemet ikke er kjent, kan dens standard gravitasjonsparameter, og dermed dens masse, bestemmes ved avbøyning av den mindre kroppen sammen med slagparameteren og tilnærmingshastigheten. Fordi typisk alle disse variablene kan bestemmes nøyaktig, vil et romfartøy flyby gi et godt estimat av kroppens masse.

μ = b v ∞ 2 tan ⁡ δ / 2 {\displaystyle \mu = bv_ {\infty} ^{2}\tan \delta /2}

hvor δ = 2 θ ∞ − π {\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }

er vinkelen det mindre legemet avbøyes fra en rett linje i dens kurs.