 |
 |
Figur 1. Carte de visite (visittkort) circa 1866 Av Augustus De Morgan, signert «ADeMorgan» av ham. Foto Av Maull Og Polyblank (Se Note). (Fra samlingen Av Dr. Sid Kolpas)
En Kort Biografi
Augustus De Morgan (1806-1871) var en av de mest innflytelsesrike og vellykkede lærere i matematikk i det 19. århundre. Både av moderne og nåværende standarder var han en ekstraordinær professor. Ifølge Adrian Rice, i artikkelen, » Hva Gjør En God Matematikklærer? Saken Om Augustus De Morgan,» han var et eksempel på en stor matematikklærer, en som innpodet en kjærlighet og entusiasme for faget i sine studenter, og dermed ha en dyp effekt på dem, selv om de aldri fulgt en karriere i matematikk. Bevis for at mening kommer fra de Morgans overlevende kommentarer, og av noen kjente matematikere som var påvirket av hans lære. Han hadde den sjeldne kombinasjonen av innsikt, humor og kreativitet. Hans forelesninger var konsise og klare; i motsetning til alt for mange av hans jevnaldrende, han brydde seg om at hans studenter bør stimuleres, utfordret, inspirert, og nøye instruert med god planlegging og pedagogikk. Han hatet konkurrerende undersøkelser og mangelen på deling av kunnskap som resulterte fra dem( et aktuelt problem i skolene våre); han var for samarbeidslæring. Studentene rapporterte at hans forelesninger var rike på humor, søknader til andre disipliner, referanser for videre studier og kjærlighet til emnet. Selv de mest abstrakte begreper ble gjort klart gjennom hans strålende bruk av analogi, metafor og simile.
De Morgan ble født I Madura, India. Han ble utdannet i private skoler til han kom inn På Trinity College, Cambridge, i en alder av seksten. Han var en utmerket student, nær toppen av sin klasse. Men han valgte ikke Å ta Ma – graden, eller å konkurrere om et universitetsfellesskap på grunn av sin samvittighetsgrunner til de religiøse prøvelsene som ble krevd av kandidater ved Cambridge. I 1828, på grunn av sin akademiske prestasjon, fikk han en avtale som professor i matematikk ved det nyopprettede London University (Som ble University College London). Han ville undervise der i over 30 år, inspirerende generasjoner av studenter. Etterfølgende generasjoner av hans studenter refererte til ham som «Gussy» -den høye stout waddling figuren peering gjennom gullbriller som lidenskapelig ville lære dem matematikk.
hans rykte vokste på grunn av hans fremragende, oppmuntrende, omsorgsfulle undervisning og hans artikler om banebrytende emner, matematiske puslespill, spill, rariteter og paradokser; De Morgan var Martin Gardner av det nittende århundre. De Morgans kjærlighet til matematiske gåter og historier førte posthumt til utgivelsen av Hans Budsjett For Paradokser (1872); det er fortsatt på trykk. Mens han var en mann av mild natur, var han også en mann med sterk overbevisning. Han kjempet mot religiøse påskudd, og var en talsmann for kvinners utdannings rettigheter, men var imot kvinnelig stemmerett. Han mente også at avanserte matematiske studier var potensielt skadelig for en kvinnes fysiske helse, som var en gjennomgripende holdning til kvinner på den tiden. Stadig mer liberal som han ble eldre, han foreleste om matematikk til klasser av kvinner uten kostnad og oppmuntret kvinner, selv gitt sine antatte mentale begrensninger, å fortsette med sine matematiske studier.
Figur 2. En student tegning Av Augustus De Morgan leder en klasse Ved University College London. (DETTE bildet AV MS ADD 7 brukes her med tillatelse FRA UCL Library Services, Special Collections.)
de Morgans tekster var like fremragende som hans lære. Over hundre år senere, ville de fortsatt være gode læreplanmodeller. Temaene i hans tekster inkluderte algebra, trigonometri, differensial-og integralregning, variasjonsregning, sannsynlighet og symbolsk logikk. Alle tekstene er klare, interessant, og fylt med fantastiske eksempler. Blant hans beste publikasjoner var An Essay On Probabilities (1838), Calculus (1842), Formal Logic (1847) og Double Algebra (1849), som bebudet abstrakt algebra. Da Han ikke var hardt arbeid på sine mange artikler og bøker—inkludert en sjettedel av artiklene i den berømte Penny Cyclopaedia som han skrev en artikkel som definerte prosessen med matematisk induksjon-De Morgan brukt tid på sine to store lidenskaper: spille fløyte og samle sjeldne matematikk bøker. Sistnevnte hobby hjalp ham til å bli ekspert i sin tid på matematikkens historie.
I 1837 giftet Augustus De Morgan Seg Med Sophia Elizabeth Frend. Deres hjem, med fem barn, ble sentrum for en stor vennekrets som møtte der for å dele intellektuelle interesser. En Av Augustus ‘ venner Var George Boole, som sammen Med De Morgan var pionerer for utviklingen av symbolsk logikk. De Morgans Formelle Logikk (1847) gikk til trykk samtidig Som Booles arbeid med logikkens algebra. Begge arbeider behandlet propositional calculus.
De Morgan er kanskje best husket for «De Morgans Lover», henholdsvis to relaterte teoremer i symbolsk logikk og mengdelære.
Symbolsk logikk: \
Settteori: \
Augustus De Morgan bør bli husket, som alle inspirerende lærere, for den dype innflytelsen han hadde på sine studenter; blant Dem Var Isaac Todhunter (1820-1884) Og James Joseph Sylvester (1814-1897). Han underviste Også Ada Lovelace (1815-1852), og oppmuntret henne til å utvikle sine matematiske talenter; han følte at hun hadde overlegen matematisk talent i forhold til de fleste kvinner. Han var en stimulerende kraft i utviklingen av matematikk og matematikklærere, en drivkraft i utviklingen av den logiske grunnlaget for matematikk, og en talsmann for modernisering av kalkulus. En upretensiøs mann, han skydde æresgrader, medlemskap I Royal Society, og politisk og religiøs smålighet. Hans liv var viet til hans familie, hans venner og hans studenter.
Merk: Maull & Polyblanks Fotostudio I London ble grunnlagt i 1854. Studioet spesialiserte seg på portretter av kjente personer. Deres mest bemerkelsesverdige arbeid, Fotografiske Portretter Av Levende Kjendiser, ble utgitt i deler fra 1856 til 1859. Den besto av førti individuelle portretter med biografier, utstedt til abonnenter og deretter bundet til et enkelt volum av abonnenten etter at alle delene ble levert; dette var en praksis populær på den tiden. Portrettene ble også publisert som graveringer I Illustrated London News. Tilbake til kort biografi Av De Morgan.
Figur 3. De Morgan Er Et Essay Om Sannsynligheter (1838). (Fra Samlingen Av Dr. Sid Kolpas)
De Morgans Algoritme For Tilnærmet Faktorialer
Faktorialer av hele tall spiller en viktig rolle i sannsynlighetsteori, spesielt i permutasjoner og kombinasjoner. I løpet av det 19.århundre, uten beregning enheter, disse factorials var vanskelig å beregne for store hele tall. I Sitt Essay Om Sannsynligheter introduserte De Morgan algoritmen beskrevet i Figur 4, under, for å tilnærme \(n!,\) hvor \ (n\) er et helt tall. Merk at \(\) er De Morgans notasjon for «\(n\) factorial » eller \ (n!.\ ) Således, i første ledd I Figur 4, da De Morgan skrev», » mente han faktorialet av et gitt positivt heltall.
Figur 4. De Morgans instruksjoner for tilnærming \(n!\ ) fra s. 15-16 av Hans An Essay On Probabilities (Google Books)
Stirlings tilnærming av \(n!,\) hvor \(n\) er et helt tall, ble oppdaget Av Skotsk matematiker James Stirling (1692-1770). Stirling publiserte Sitt viktigste verk, Methodus Differentialis, i 1730. Denne boken diskuterer uendelig serie, summering, interpolering og kvadratur. Følgende formel for \(n!,\) Som Stirling har blitt kjent, vises som Eksempel 2 Av Proposisjon 28 Av Methodus Differentialis. Stirlings tilnærming sier at \
De Morgans algoritme ga trinnvise instruksjoner for å beregne tilnærmingen til \ (n!\ ) gitt Av Stirlings Formel.
Figur 5. Tittelsiden Til Stirlings Methodus Differentialis (Google Books)
Refererer Til De Morgans algoritme for tilnærmet \(n!\ ) og merk at \(0.4342945\) er en tilnærming av \(\log_{10} e,\) og \(0,7981799\) er en tilnærming av \(\log_{10} (2\pi),\) vi har:
- Ta basen 10 logaritmen til tallet \(n\), og trekk \(0,4342945\) fra det: \(\log n – \log e = \log \ left (\frac{n}{e}\right).\)
- Multipliser resultatet med\ (n\): \ (n \ log \ left (\frac{n}{e}\right)= \ log \ left (\frac{n}{e}\right)^n.\)
- til \(\log n\) legg til \ (0,7981799\): \(\log n + \log 2 \ pi = \log 2n \ pi.\)
- Ta halvparten av denne summen: \({\frac{1}{2}} \ log 2n \ pi = \log \sqrt{2n \ pi}.\)
- Legg til resultatene av 2. og 4. trinn: \
- Siden \(\log n!\sim \ log \ sqrt{2n \ pi} \ venstre (\frac{n}{e}\høyre)^n,\) deretter \ (n!\sim \ sqrt{2n \ pi} \ venstre (\frac{n}{e}\høyre)^n,\) som Er Stirlings Formel.
- denne tilnærmingen av \(n!\ ) er litt for liten; for å forbedre det, legg til \({\frac{1}{12n}}\) av det til seg selv: \
Et Brev Av De Morgan Om Matematikkens Historie
Som nevnt ovenfor, Augustus De Morgan var en hyppig bidragsyter Til Penny Cyclopaedia, bidrar over 700 artikler til 27 bind Av Cyclopaedia, publisert fra 1828 til 1843.
Figur 6. Penny Cyclopaedia, Volum 26, inneholder en artikkel Av De Morgan om Den Indiske matematiske teksten Viga Ganita. (Google Books)
En av De Morgans siste oppføringer i Penny Cyclopaedia var en artikkel med tittelen «VIGA GANITA» som dukket opp på sidene 318-326 I Bind 26, publisert i 1843 (lett tilgjengelig Via Google Books). De Morgan innrømmet i begynnelsen av denne artikkelen at Han ville diskutere mye mer enn Bare Viga Ganita (nå oftere translitterert Som Bījagaṇ eller Bī-gaṇ), et arbeid med algebra av Den Indiske matematikeren Og astronomen Bhascara fra det 12. århundre (nå generelt kjent Som Bhā Ii), som lenge var antatt å ha bodd og jobbet ved et berømt astronomisk observatorium i Ujjain. Faktisk skrev De Morgan at hans plan var å dra nytte av stedet for bokstaven «V» nær slutten av alfabetet for å rapportere det aller nyeste stipendiet om Hinduens astronomiske og aritmetiske vitenskap » (s. 318). Ventetiden kan ikke ha vært verdt det, fordi Hva De Morgan måtte skrive var «en redegjørelse av de mest entall ytterpunktene av mening» (s. 318) – en fortelling om mye uenighet blant forskere, i det minste noen av dem han betraktet som ganske partisk.
I denne artikkelen ga De Morgan tre muligheter for identiteten og århundret Til Den Indiske astronomen Og matematikeren Varā, som var av interesse for ham fordi (p. 320):
forfatterne som er mest sitert Av Hinduistiske astronomer, bærer navnene Varaha-mihira Og Brahmegupta.
det er nå antatt At Var ④hamihira levde i det sjette århundre Og Brahmagupta i det syvende århundre. Begge var lenge antatt å ha bodd og jobbet i Ujjain på et berømt astronomisk observatorium, Som Var Bhaskara II århundrer senere. Men Som historiker Av Indisk astronomi Og matematikk Kim Plofker rapporterte i Sin 2009 bok, Matematikk I India, er det ingen bevis for at noen av de tre astronomene bodde i Ujjain eller at det var enda et astronomisk observatorium der (s. 318-319, 326).
men Det De Morgan visste i 1843 var at Den høyt ansette Indologen Henry Thomas Colebrooke og «astronomene ved Ujein» ble enige Om varā (Og Brahmagupta) datoer, men at andre plasserte Varā århundrer tidligere eller senere («VIGA GANITA», s. 320):
Fra Hans astronomiske data antyder Colebrooke at Varaha-mihira skrev på slutten av det femte århundre, som også er datoen tildelt ham av astronomene ved Ujein. … Det er en Annen Varaha-mihira, som de samme astronomene plasserer i AD 200. Men populær tradisjon plasserer Varaha-mihira i Tiden Til Vicramadytia (F. kr. 56), og navn, som heretter lagt merke til, flere av hans samtidige.
Colebrooke døde i 1837. Hans protéé Horace Hayman Wilson hadde blitt den første Boden Professor I Sanskrit Ved Oxford University i 1832; Men, som vist i Figur 7, Under, Wilson hadde skrevet i 1835 At Var ④hamihira levde i løpet av det første århundre FVT!
Figur 7. Fra En Manual For Universell Historie og Kronologi, Til Bruk Av Skoler (1835), av H. H. Wilson, side 25, avsnitt 43. Her plasserte Wilson Var Hryvhamihira på 56 F. KR. eller litt senere. Wilsons «Ougein» ble «Ujein» i De Morgans artikkel og er nå kjent som Ujjain. (Google Books)
i det følgende brev fra De Morgan Til Wilson forsøkte De Morgan å bekrefte Wilsons tro på identiteten Og århundret Til Varā, sannsynligvis for Hans Penny Cyclopaedia-artikkel før den ble publisert.
Figur 8. Brev Fra Augustus De Morgan til H. H. Wilson. Merk At De Morgans signatur på slutten av brevet er identisk med den på besøkskortet I Figur 1. (Fra Samlingen Av Dr. Sid Kolpas)
Transkripsjon Av De Morgans Brev
Sir
med mange unnskyldninger for å forstyrre deg, helt ukjent for deg som jeg er, tar jeg meg friheten til å stille deg et spørsmål om din historiehåndbok, et arbeid som jeg ofte har konsultert for orientalske datoer, og som jeg, på grunn av bekvemmeligheten av de samme datoene, anbefales som nyttig for studenten av matematisk historie i tarmkanalen som jeg ber om din aksept.
Side 25 43 . Anser Du Varaha-Mihira som den astronomiske forfatteren av det navnet, eller Den med det navnet , hvis Alder er diskutert Av Colebrooke, og Som Bentley og en fransk forfatter sitert Av Delambre vil ha (mot Colebrooks mening, som jeg samler) å være forfatter Av Surya Siddhanta : eller tror du det er en god sannsynlighet for at Han er den samme.
Jeg forblir Sir
din trofaste Tjener
ADeMorgan
69 Gower Street
5. April 1843
vi vet ikke Om De Morgan mottok et svar Fra Wilson eller, i så fall, hva Det var. De Morgans referanse til «populær tradisjon»i sin artikkel I Penny Cyclopaedia heller Enn Til Wilson Ved navn kan tyde På At Wilson støttet seg bort fra hans påstand Om At Var ④hamihira levde rundt 56 F. KR.
Notater Om De Morgans Brev Og Dets Transkripsjon
Note 1. En Manual For Universell Historie og Kronologi, for Bruk Av Skoler. H. H. Wilson, M. A., Boden Professor I Sanscrit, Oxford. London: Whittaker, 1835. Wilson var en proté i Colebrooke (Se Note 4, under) og ble den første Boden Professor I Sanskrit Ved Oxford University i 1832.
Merknad 2. Passasjen fra A Manual Of Universal History and Chronology, for The Use Of Schools, av H. H. Wilson, på side 25, avsnitt 43, er vist i Figur 7 ovenfor.
Merknad 3. Var ④hamihira (505-587) Var En indisk astronom, matematiker og astrolog.
Merknad 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) var En Engelsk Indolog som var spesielt interessert i religion, lingvistikk og astronomi. De Morgan skrev i Sin Cyclopaedia artikkel, » Mr. Colebrooke var en Av De mest eminente Av Sanscrit forskere, en utrettelig Indisk antikvar, og mer enn godt informert i matematikk og astronomi» (s. 319). Etter å ha tilbrakt over 30 år (1783-1814) i India, Returnerte Colebrooke til England hvor Han publiserte Algebra, med Aritmetikk og Mensuration, Fra Sanscrit Of Brahmegupta og Bhascara (London, 1817) og medgrunnlegger Både Royal Astronomical Society i 1820 og Royal Asiatic Society i 1823.
Merknad 5. John Bentley var en Engelsk Indolog Som De Morgan skrev nedsettende om i sin» VIGA GANITA » – artikkel. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) var en berømt fransk astronom, som også skrev bøker om astronomiens historie fra antikken til det 18. århundre.
Merknad 6. Sū-Siddhā, en astronomimanual som diskuterer det vi kaller sinus, cosinus og tangent, ble av noen antatt å være En Av Varā mindre kjente verk. Plofker (2009) plasserte S ④rya-Siddh@nta eller» Sun-treatise «på ca 800 CE,» komponert eller revidert fra et tidligere verk med samme navn …. Denne tidligere S Hryvrya-Siddhānta ble delvis bevart » i et sjette århundre arbeid Av Var Hryvhamihira (s. 71).
Tilbake til transkripsjon av De Morgans brev
Augustus De Morgan. Et Budsjett Av Paradokser. London: Longmans, Green And Company, 1872.
Augustus De Morgan. Et Essay Om Sannsynligheter. London: Longman, Orme, Brun, Grønn Og Longmans, Og John Taylor, 1838.
,» Viga Ganita, » Penny Cyclopaedia Av Samfunnet For Diffusjon Av Nyttig Kunnskap, vol. 26 (1843), s. 318-326.
Sophia De Morgan. Memoarer Av Augustus De Morgan. London: Longmans, Green And Company, 1882.
James Essinger. Adas Algoritme: Hvordan Lord Byrons Datter Ada Lovelace Lanserte Den Digitale Tidsalderen. London: Gibson Square Ltd., 2014.
J. Paul Getty-Museet. «Maull Og Polyblank.»
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. En Historie Om Matematikk: En Introduksjon (3.utg.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
bidragsytere Til new World Encyclopedia, «Henry Thomas Colebrooke,» New World Encyclopedia, sist oppdatert 24. februar 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
j. J. O ‘ Connor og E. F. Robertson. «Augustus De Morgan,» MacTutor Historie Av Matematikk Arkiv, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematikk I India. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. «Hva Gjør En God Matematikklærer? Saken Av Augustus De Morgan.»Den Amerikanske Matematiske Månedlige. Vol. 106, Nr. 6 (Jun. – Jul., 1999), s.534-552.
Horace Hayman Wilson. En Manual For Universell Historie og Kronologi, for Bruk Av Skoler. London: Whittaker og Co., 1835.
