Læringsmål
- Mål: Spesifikke varmekapasitetsdata for et bredt spekter av elementer brukes til å vurdere nøyaktigheten og begrensningene I Dulong-Petit Law.
- Forutsetninger: en innledende kunnskap om statistisk termodynamikk inkludert avledning av vibrasjons (harmonisk oscillator) bidrag til varmekapasiteten anbefales.
- Ressurser du trenger: Denne øvelsen skal utføres i et dataanalyseprogramvaremiljø som er i stand til å tegne og generere en best-fit-linje for et xy-datasett.
varmekapasiteten (\(C\)) av et stoff er et mål på hvor mye varme som kreves For å øke temperaturen På stoffet Med En Grad Kelvin. For en enkel molekylær gass kan molekylene samtidig lagre kinetisk energi i translasjons -, vibrasjons-og rotasjonsbevegelsene forbundet med de enkelte molekylene. I dette tilfellet kan stoffets varmekapasitet brytes ned i translasjons -, vibrasjons-og rotasjonsbidrag;
\
Monoatomiske krystallinske faste stoffer representerer et mye enklere tilfelle. Einstein foreslo en enkel modell for slike stoffer der atomene bare har vibrasjonsenergi(hvert atom kan vibrere i tre vinkelrette retninger rundt sin gitterposisjon). Spesielt Antar Einstein Solid Model at atomene virker som tredimensjonale harmoniske oscillatorer (med vibrasjonsbevegelsen til hvert atom i hver vinkelrett dimensjon helt uavhengig). Statistisk mekanikk gir et relativt enkelt uttrykk for konstant volum molar varmekapasitet (\(C_{V, m}\)) av en endimensjonal harmonisk oscillator
\
der \(R\) er den universelle gasskonstanten, \(T\) er absolutt temperatur, og \(④_v\) kalles oscillatorens karakteristiske vibrasjonstemperatur og avhenger av vibrasjonsfrekvensen (\(ν\)) i henhold til
\
Med \(h\) som representerer Planks konstant og \(k\) som representerer Boltzmanns konstant.
siden vibrasjonene i hver dimensjon antas å være uavhengige, oppnås uttrykket for konstant volum molar varmekapasitet av et tredimensjonalt Einstein-Fast Stoff ved ganske enkelt å multiplisere Ligning \ ref{1} med tre;
\
temperaturvariasjonen av varmekapasiteten til de fleste metalliske faste stoffer er godt beskrevet av Ligning \ ref{3}. Videre viser plott Av Ligning \ ref{3} som en funksjon av temperatur for metaller med svært varierende vibrasjonsfrekvenser at varmekapasiteten alltid nærmer seg den samme asymptotiske grensen til \(3r\) ved høye temperaturer. Oppgitt på en annen måte, ved høye temperaturer
\ = 1 \etikett{4}\]
Og Ligningen \ ref{3} reduseres til
\ = 3r \ label{5}\]
(du vil bli bedt om å bekrefte dette resultatet i øvelsen nedenfor). I Henhold til Ligning \ ref{5} bør molarvarmekapasiteten til metalliske faste stoffer nærme seg 24.9 j / (k mol) ved høye temperaturer, uavhengig av metallets identitet.
vibrasjonsfrekvensene for de fleste metalliske faste stoffer er vanligvis små nok til at \(④_v\) ligger betydelig under romtemperatur (\(④_v \ll 298\, K\)). For disse stoffene er grensene underforstått av Ligningene \ ref{4} og \ref{5} godt tilnærmet selv ved romtemperatur, noe som fører til resultatet at\ (C_{v,m} = 24,9\, J/(K·mol)\) for de fleste metaller ved romtemperatur.
tidlig på 1800-tallet oppdaget to franske forskere ved navn Pierre Louis Dulong og Alexis Therese Petit empirisk det samme bemerkelsesverdige resultatet. Dulong-Petit-Loven uttrykkes normalt i form av den spesifikke varmekapasiteten (\(C_s\)) og molarmassen (\(M\)) av metallet
\
hvor\ (C_s\) representerer hvor mye varme som kreves For å øke temperaturen på ‘ett gram’ Av det stoffet Med En Grad Kelvin. Dulong Og Petit, så vel som andre forskere av sin tid, brukte dette berømte forholdet som et middel til å etablere mer nøyaktige verdier for atomvekten av metalliske elementer (ved i stedet å måle elementets spesifikke varmekapasitet og bruke Dulong-Petit-forholdet, som er en relativt enkel metode for å etablere vekter i forhold til de mer omstridte gravimetriske metodene som ble brukt på den tiden for å etablere ekvivalente vekter av elementer).
i øvelsen nedenfor vil du se opp den spesifikke varmekapasiteten til en rekke elementer som eksisterer som enkle monoatomiske faste stoffer ved romtemperatur og vurdere nøyaktigheten Av Dulong-Petit law.
Eksperimentelle Data
Se CRC Handbook Of Chemistry And Physics (CRC Press: Boca Raton, FL) Og kompilere en tabell med spesifikke varmekapasiteter for et stort antall elementer som er kjent for å eksistere som monoatomiske faste stoffer ved romtemperatur. Se også opp og registrer molarmassen av disse elementene. Elementene du vurderer bør være begrenset til de som vises i gruppe 1-14 i det periodiske bordet. Sørg for at du genererer en ganske stor liste som inneholder en rekke elementer som normalt betraktes som metalliske i karakter (for eksempel kobber, jern, natrium, litium, gull, platina, barium og aluminium), men også noen ikke-metalliske elementer som likevel er monoatomiske isotrope faste stoffer (for eksempel karbondiamant, beryllium, bor og silisium). Varmekapasiteter som vanligvis rapporteres i litteraturen, er ikke faktiske konstante volumvarmekapasiteter (\(C_v\)), men er i stedet konstant trykkvarmekapasiteter (\(C_p\)). Heldigvis er \(C_p\) og \(C_v\) i hovedsak like for enkle faste stoffer (innenfor presisjonsnivået som vi vurderer i denne øvelsen), og du kan anta at verdiene fra CRC-Håndboken representerer \(C_s\).
Øvelser
- Skriv inn elementnavnet, den spesifikke varmekapasiteten og molarmassen til hvert element i et regneark. Beregn produktet av spesifikk varme og molar masse for hvert element og beregne hvor mye dette produktet er forskjellig Fra Dulong-Petit-prediksjonen(uttrykk resultatet som en prosentforskjell i forhold til \(3r\)).
- Vurder Generaliteten Til Dulong-Petit-loven på en alternativ måte ved å generere et plott av spesifikk varme som en funksjon av gjensidig Molar Masse (\(C_s\) versus \(1/M\)), som skal være lineær med EN skråning lik 3R hvis dataene oppfører seg i Henhold til Ligning \ ref{6}.
- Inspiser resultatene dine fra 1 og 2 ovenfor og identifiser eventuelle elementer som avviker vesentlig fra Dulong-Petit-loven. Når de oppstår, har avvik en tendens til å være mindre eller større ENN 3R? Synes graden av avvik fra Dulong-Petit-loven å korrelere med periodiske trender i metallisk (eller kovalent) binding for disse elementene? Har avvik tendens til å forekomme lettere for elementer med mindre eller høyere atomvekt? Forklar hvordan typen binding og størrelsen på atomvekten kan føre til avvik fra argumentene i Ligningene \ ref{4}- \ ref{6} ovenfor.
- bruk plottemetoden som du benyttet i trinn 2 ovenfor som et middel til å bestemme en verdi for den universelle gasskonstanten (\(R\)) – men sørg for at du kaster ut spesifikke varmedata for elementer som du mistenker ikke faller innenfor grensen \(Θ_v \ll 298 \,K\). Beregn prosentfeilen i verdien av \(R\) som du bestemmer.
- Kontroller at grensen uttrykt i Ligningen \ ref{4} ovenfor er sann (HINT: utvid hver av eksponentielle termer i en kraftserie og merk at høyere ordens vilkår er ubetydelige i grensen \(T \gg Θ\)).
