Strenger, stående bølger og harmoniske

Innledning: vibrasjoner, strenger, rør, perkusjon….

Hvordan lager vi musikalske lyder? For å lage en lyd trenger vi noe som vibrerer. Hvis vi ønsker å gjøre noter du vanligvis trenger vibrasjon å ha en nesten konstant frekvens: det betyr stabil tonehøyde. Vi ønsker også en frekvens som enkelt kan styres av spilleren. I elektroniske instrumenter gjøres dette med elektriske kretser eller med klokker og minner. I ikke-elektroniske instrumenter produseres den stabile, kontrollerte vibrasjonen av en stående bølge. Her diskuterer vi hvordan strenger fungerer. Dette er også en nyttig introduksjon for å studere blåseinstrumenter, fordi vibrerende strenger er lettere å visualisere enn vibrasjonen av luften i blåseinstrumenter. Begge er mindre kompliserte enn vibrasjonene til stengene og skinnene i perkusjonsfamilien. For fysikken til stående bølger er det en multimedia opplæring.

Reiser bølger i strenger

strengene i fiolin, piano og så videre strekkes tett og vibrerer så fort at det er umulig å se hva som skjer. Hvis du kan finne en lang fjær (et leketøy kjent som en ‘slinky’ fungerer bra) eller flere meter med fleksibel gummislange, kan du prøve noen morsomme eksperimenter som gjør det enkelt å forstå hvordan strenger fungerer. (Myk gummi er bra for dette, hageslanger er ikke veldig fleksible nok.) Først hold eller klem den ene enden og hold den andre enden fortsatt i en hånd, strekk den litt (ikke for mye, en liten sag vil ikke skade). Trekk den til side med den andre hånden for å lage en kink,og la den gå. (Dette, i slow motion, er hva som skjer når du plukker en streng.) Du vil sannsynligvis se at kinken reiser ned i «strengen», og så kommer den tilbake til deg. Det vil plutselig trekke hånden sidelengs, men hvis du holder den fast, vil den reflektere igjen.

først vil du legge merke til at hastigheten på bølgen i strengen øker hvis du strekker den tettere. Dette er nyttig for tuning instrumenter – men vi får foran oss selv. Det avhenger også av «vekten» av strengen – den beveger seg sakte i en tykk, tung streng enn i en lett streng av samme lengde under samme spenning. (Strengt er det forholdet mellom spenning og masse per lengde som bestemmer hastigheten, som vi ser nedenfor.)

Neste la Oss se nærmere på refleksjonen på den faste enden. Du vil legge merke til at hvis du først trekker strengen til venstre, er kinken som reiser vekk fra deg til venstre, men at den kommer tilbake som en kink til høyre – refleksjonen er omvendt. Denne effekten er viktig ikke bare i strenginstrumenter, men også i vind og perkusjon. Når en bølge møter en grense med noe som ikke vil bevege seg eller endres (eller som ikke endres lett), er refleksjonen omvendt. (Det faktum at det er invertert gir null forskyvning på slutten. Imidlertid vil refleksjon med enhver faseendring gi en stående bølge.)

Plukket strenger

hvis du plukker en av strengen på en gitar eller bass, gjør du noe lignende, selv om strengen er fast i begge ender. Du trekker strengen ut på et tidspunkt, og slipper den som vist. Bevegelsen som følger er interessant, men komplisert. Den første bevegelsen er vist nedenfor. Imidlertid forsvinner de høyfrekvente komponentene i bevegelsen (de skarpe bøyene i strengen) raskt – og derfor blir lyden av en gitarnote mer myk et sekund eller mer etter at du har plukket den.

en skisse av refleksjon av reiser kinks forårsaket av plukker en streng. I de øyeblikk som representeres av (e) og (m), er strengen rett, slik at den har mistet den potensielle energien som er forbundet med å trekke den sidelengs, men den har maksimal kinetisk energi. Merk at ved refleksjonene endres kinkens fase med 180°: fra opp til ned eller omvendt. Legg også merke til hvordan kinks ‘passere gjennom’ hverandre når de møtes i midten.

hvorfor er refleksjonen invertert? Vel, hvis vi antar at den er klemmet eller bundet til et fast objekt, beveget refleksjonspunktet seg ikke. Men se på bevegelsen av strengen ved å sammenligne de forskjellige tider som er representert i venstre skisser. Legg merke til at strengen bak kinken beveger seg tilbake mot uforstyrret posisjon (ned i skissen). Når kinken nærmer seg slutten, blir den mindre, og når den når den faste enden, er det ingen kink i det hele tatt-strengen er rett for et øyeblikk. Men strengen har fortsatt sin nedadgående momentum, og som bærer den forbi hvilestillingen, og produserer en kink på den andre siden, som deretter beveger seg tilbake i den andre retningen. (Bevegelsen av bølger i strenger er beskrevet mer detaljert I Reisebølger, som har filmklipp og animasjoner. På denne siden vil vi imidlertid konsentrere oss om de musikalske implikasjonene. )

som nevnt ovenfor observeres denne bevegelsen bare umiddelbart etter plukkingen. Når høyfrekvente komponenter mister energi, forsvinner de skarpe knekk og formen gradvis nærmer seg den grunnleggende modusen for vibraiton,som vi diskuterer nedenfor.

en bøyd streng oppfører seg ganske annerledes

For Det Første har den en kontinuerlig energikilde, og kan dermed opprettholde samme bevegelse på ubestemt tid (eller i det minste til man går tom for bue. For det andre er strengformen som kreves for å matche den jevnt bevegelige bue, forskjellig.

en skisse av refleksjon av reiser kinks forårsaket av bukker en streng. Se animasjonen og en forklaring på bow-string interaksjon I Buer og strenger

Reisebølger og stående bølger

en interessant effekt oppstår hvis du prøver å sende en enkel bølge langs strengen ved å gjentatte ganger vinke en ende opp og ned. Hvis du har funnet en passende fjær eller gummislange, prøv den ut. Ellers, se på disse diagrammene.


animasjonen viser samspillet mellom to bølger, med lik frekvens og størrelse, som reiser i motsatt retning: blå til høyre, grønn til venstre. Den røde linjen er deres sum: den røde bølgen er hva som skjer når de to reisebølgene legger sammen (superpose er teknisk term). Ved å stoppe animasjonen, kan du sjekke at den røde bølgen virkelig er summen av de to interagerende reisebølgene.

figuren til høyre er det samme diagrammet som en tidssekvens – tiden øker fra topp til bunn. Du kan tenke på det som representerer en serie fotografier av bølgene, tatt veldig raskt. Den røde bølgen er det vi faktisk ville se i slike fotografier.

Anta at høyre grense er en ubevegelig vegg. Som diskutert ovenfor, er bølgen invertert på refleksjon, så i hvert «fotografi» legger det blå pluss grønt opp til null på høyre grense. Den reflekterte (grønne) bølgen har samme frekvens og amplitude, men beveger seg i motsatt retning.

ved den faste enden legger de til for å gi ingen bevegelse-null forskyvning: tross alt er det denne tilstanden av immobilitet som forårsaker den omvendte refleksjonen. Men hvis du ser på den røde linjen i animasjonen eller diagrammet (summen av de to bølgene), ser du at det er andre punkter hvor strengen aldri beveger seg! De forekommer en halv bølgelengde fra hverandre. Disse ubevegelige punktene kalles vibrasjonsnoder, og de spiller en viktig rolle i nesten alle instrumentfamiliene. Halvveis mellom noder er antinoder: punkter med maksimal bevegelse. Men vær oppmerksom på at disse toppene ikke reiser langs strengen: kombinasjonen av to bølger som reiser i motsatt retning gir en stående bølge.

dette vises i animasjonen og figuren. Legg merke til posisjonene (noder) der de to reisebølgene alltid avbryter, og de andre (antinoder) der de legger til for å gi en svingning med maksimal amplitude.

du kan tenke på dette diagrammet som en representasjon (ikke å skalere) av den femte harmoniske på en streng hvis lengde er bredden på diagrammet. Dette bringer oss til neste emne.

Harmoniske Og modi

strengen på et musikkinstrument er (nesten) fast i begge ender, så enhver vibrasjon av strengen må ha noder i hver ende. Nå som begrenser mulige vibrasjoner. For eksempel kan strengen Med lengde L ha en stående bølge med bølgelengde dobbelt så lang som strengen (bølgelengde λ = 2l) som vist i første skisse i neste serie. Dette gir en node i hver ende og en antinode i midten.

Dette er en av vibrasjonsmodusene til strengen («vibrasjonsmodus» betyr bare stil eller vibrasjonsmåte). Hvilke andre moduser er tillatt på en streng fast i begge ender? Flere stående bølger vises i neste skisse.



en skisse av de fire første vibrasjonsmodusene av en idealisert * strukket streng med fast lengde. Den vertikale aksen er overdrevet.

la oss utarbeide forholdene mellom frekvensene i disse modusene. For en bølge er frekvensen forholdet mellom bølgens hastighet og bølgens lengde: f = v / λ. Sammenlignet med strenglengden L, kan du se at disse bølgene har lengder 2L, L, 2L/3, L / 2. Vi kunne skrive dette SOM 2L / n, hvor n er tallet til den harmoniske.

den grunnleggende eller første modusen har frekvens f1 = v/λ1 = v/2l,
den andre harmoniske har frekvens f2 = v/λ2 = 2v/2l = 2f1
den tredje harmoniske har frekvens f3 = v/λ3 = 3v/2l = 3f1,
den fjerde harmoniske har frekvens f4 = v/λ4 = 4v/2l = 4f1, og for å generalisere,

den nte harmoniske har frekvens fn = v/λ = nv/2L = nf1.

alle bølger i en streng reiser med samme hastighet, så disse bølgene med forskjellige bølgelengder har forskjellige frekvenser som vist. Modusen med laveste frekvens (f1) kalles grunnleggende. Merk at nth-modusen har frekvens n ganger den for grunnleggende. Alle modusene (og lydene de produserer) kalles harmonikken til strengen. Frekvensene f, 2f, 3f, 4f etc kalles den harmoniske serien. Denne serien vil være kjent for de fleste musikere, spesielt til buglers og spillere av naturlige horn. Hvis for eksempel det grunnleggende er notatet C3 Eller viola C (en nominell frekvens på 131 Hz: se denne lenken for et bord), vil harmoniene ha tonehøydene vist i neste figur. Disse tonene har blitt tilnærmet til nærmeste kvart tone. Oktavene er nøyaktig oktaver, men alle andre intervaller er litt forskjellige fra intervaller i like herdet skala.

figuren viser den musikalske notasjonen for de første tolv harmoniene på En c-streng. Når du spiller lydfilen, lytt nøye til banen. Den syvende og ellevte harmonikken faller omtrent halvveis mellom notene på samme tempererte skala, og har derfor blitt notert med halvskarpe.

du kan produsere disse tonehøydene på en strukket streng: det er lettest på de lave strengene på en gitar, cello eller bass*. Berør strengen lett på et punkt 1 / n av lengden fra enden (hvor n er 1, 2, 3 etc), og bøy strengen nær enden. Alternativt, berør strengen veldig lett på et punkt 1 / n av lengden fra enden, plukk strengen nær enden og slipp førstefingeren så snart du har plukket. Berøring av strengen produserer en node hvor du berører, og så spenner du (hovedsakelig) modusen som har en node der. Du vil finne at du kan spille bugle låter med harmoniske to til seks av en streng.

(*Hvis du nettopp har gjort dette eksperimentet, har du kanskje lagt merke til noen særegenheter. Den tolvte bånd, som brukes til å produsere oktaven, er mindre enn halvveis langs lengden av strengen, og så posisjonen der du berører strengen for å produsere 2dre harmonisk – halvveis langs strengen – er ikke direkte over oktav bånd. Jeg sa» idealisert » streng over, noe som betyr en streng som er helt fleksibel og så kan bøye seg lett i hver ende. I praksis har strenger en endelig bøyestivhet, og deres effektive lengde («L» som skal brukes i de ovennevnte formlene) er litt mindre enn deres fysiske lengde. Dette er en av grunnene til at større strenger vanligvis har en svingete over en tynn kjerne, hvorfor broen er vanligvis i en vinkel som gir fetere strenger lengre lengder og hvorfor (solid) g strengen på en klassisk gitar har dårlig tuning på høyere bånd. Det er også en effekt på grunn av ekstra strekking av en streng når den skyves ned til gripebrettet, en effekt som er betydelig på stål strenger.)

en øvelse for gitarister. På en gitar innstilt på vanlig måte, b-strengen og høy e strengen er omtrent innstilt til 3. og 4. harmoniske av lav e strengen. Hvis du plukker den lave e-strengen hvor som helst bortsett fra en tredjedel av veien langs, Bør b-strengen begynne å vibrere, drevet av vibrasjonene i broen fra den harmoniske av den første strengen. Hvis du plukker den lave e-strengen hvor som helst bortsett fra en fjerdedel av veien langs, bør den øverste e-strengen kjøres på samme måte.

Harmonisk tuning på gitarer

Gitarister begynner ofte å tune opp på følgende måte: først tune den 4. harmoniske av den lave e-strengen, den 3. av a-strengen og toppen E alle til samme notat. Figuren til høyre viser den harmoniske serien på de to laveste strengene. neste stiller De b-strengen (B3) til den 3.harmoniske av den første (E2); deretter stiller Den 4. harmoniske Av a-strengen til 3. Av D-strengen. Denne metoden kan ikke utvides vellykket Til G-strengen fordi den vanligvis er for tykk og stiv, så den er bedre innstilt av oktaver, ved hjelp av frets. Av flere grunner (se notatene på slutten av denne siden), er denne metoden for tuning bare omtrentlig, og man må justere oktavene etterpå. Den beste tuning er vanligvis et kompromiss som må gjøres etter vurderer hva akkorder du skal spille og hvor du spiller på gripebrettet.

Gitar tuning av harmonics. (Dette er ekte plasser: gitarmusikk er vanligvis transponert opp en oktav.)

Harmonikk i musikk

Komponister krever ofte slike harmonier på strenginstrumenter: den vanligste er «touch fourth». Med en finger stopper spilleren strengen for å produsere lengden som kreves for et bestemt notat, og deretter, ved hjelp av en annen finger, berører strengen veldig lett i stillingen som kreves for notatet fire notater høyere i skalaen (derav navnet). Denne posisjonen er en fjerdedel av veien langs strengen, så den produserer den fjerde harmoniske av stoppet notat. Den fjerde harmoniske har fire ganger grunnfrekvensen, og så er to oktaver høyere. For strengspillere kalles harmoniene «naturlige»; når de spilles på åpne strenger og» kunstige»; hvis spilleren må stoppe strengen. Diagrammet viser hvordan en naturlig touch fjerde spilles, og notasjonen for touch fjerde på fiolin en streng. Den vertikale aksen til diagrammet har blitt overdrevet for klarhet.


Åpne en streng som spilles normalt, så berør fjerde på denne strengen (4th harmonisk)

tonehøyde på et notat bestemmes av hvor raskt strengen vibrerer. Dette avhenger av fire ting:

• Tykkere, mer massive strenger vibrerer sakte. På fioliner, gitarer etc, endres ikke den åpne lengden på strengen, og vanligvis endres ikke spenningen mye heller (de handler om like vanskelig å presse ned). Så de lave strengene er tykkere.
• frekvensen øker med spenningen i strengen. Dette er hvordan du tune instrumentet, ved hjelp av strengemekanikk eller tuning plugger: strammere gir høyere pitch.
• lengden på strengen som er fri til å vibrere er også viktig. Når du stopper en streng mot gripebrettet av en cello, for eksempel forkorte effektiv lengden og så heve banen.
• du kan også endre tonehøyde ved å endre modus for vibrasjon. Når du spiller harmoniske, induserer du strengen til å produsere bølger som er en brøkdel av lengden av de som normalt produseres av en streng av den lengden.

  Vi kan sette alt dette i et enkelt uttrykk. Hvis den vibrerende delen av strengen har en lengde L og en masse M, hvis spenningen I strengen Er F, og hvis du spiller den nte harmoniske, er den resulterende frekvensen

  fn = (n/2l) (FL/M)1/2 = (n/2) (F/LM)1/2.

  i instrumenter som fiolin og gitar er den åpne lengden og spenningen ganske lik for alle strenger. Dette betyr at for å lage en streng en oktav lavere, mens du opprettholder samme lengde, må du firedoble forholdet M / L. hvis strengene er laget av samme materiale, betyr dette at diameteren dobles. Imidlertid er fettstrengene vanligvis sammensatte: en tynn kjerne innpakket med viklinger for å gjøre dem mer massive uten å gjøre dem vanskeligere å bøye.

  La oss se hvor dette uttrykket kommer fra. Bølgen beveger seg en avstand i en periode T av vibrasjonen, så v = λ / T. frekvensen f = 1/T = v / λ. Så f = v / λ Vi så også at for grunnfrekvensen f1 er strenglengden λ / 2, så f1 = v/2L. bølgehastigheten bestemmes Av strengspenningen F og massen per lengdelengde eller lineær tetthet μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL/M)1/2. Så f1 = ½ (F/LM)1/2. Multiplikasjon av begge sider med n gir frekvensene til harmoniene sitert ovenfor.

  Vi kan omorganisere dette for å gi strengspenningen: F = 4f12lm.

Komplikasjoner med harmonisk tuning

det er flere problemer med noen gitar tuning, inkludert at ved hjelp av harmoniske foreslått ovenfor.

den mest åpenbare tilnærmingen er relatert til temperament: hvis gitarstrengene var ideelle og fretsene ideelt plassert for like temperament, ville tuning harmoniske fjerdedeler Til e-A og A-d-parene, pluss to like tempererte halvtoner På d-strengen, gjøre intervallet mellom laveste E og 2. fret på d-strengen om 4 cent flat ((4/3) 222/12=1.996). Dette vil føre til forstyrrelser slår på priser på ordre ett hvert sekund.

En annen åpenbar komplikasjon med harmonisk tuning er at strengene ikke bøyer med fullstendig letthet over mutteren og broen (som diskutert ovenfor). Se også hvordan harmoniske er harmoniske.) Som et resultat er 1. overtone på en streng litt skarpere enn en oktav, den neste enda skarpere enn en tolvte, og så videre. Så tuning 4th ‘harmonisk’ Av e-strengen til 3rd Av a-strengen gjør dem deres åpne intervall mer enn en harmonisk fjerde. Så dette har en tendens til å kompensere for temperamentproblemet.

et ytterligere problem har å gjøre med fret og broplassering. Når du trykker på en streng ned på tolvte fret, øker du lengden. (Før du trykker på den, den korteste avstanden mellom mutter og bro. Etterpå er det lengre.) For å forlenge det, har du økt spenningen. På grunn av dette, og også på grunn av bøyeffekten på enden av strengen, hvis 12.fret var midt mellom mutter og bro, ville intervallet være større enn en oktav. (Du kan sjekke dette eksperimentelt på et fretless instrument.) Følgelig er avstanden fra broen til den 12. fret større enn den fra mutteren til den 12. fret. Effekten varierer mellom strenger. I enkelte elektriske gitarer er individuell justering av posisjonen til hver bro mulig. I andre gitarer er broen plassert i en vinkel. I en klassisk gitar krever den rette enkle broen noe kompromiss i tuning.

effektene ovenfor er vanskelige mål med eksperimentelt med den nødvendige presisjonen: effektene er bare noen få cent, som ikke er mye større enn presisjonen til ører eller tuningmålere når de brukes på en plukkstreng. Videre er det vanskelig å justere maskinhoder for å oppnå en presisjon bedre enn et par cent. På den annen side, hvis du får alle notater i tune innen et par cent, gjør du det bedre enn de fleste musikere, og det høres ganske bra ut!

det er ytterligere problemer når strenger blir gamle. Hvor du finger dem med venstre hånd, plukker de opp fett og blir mer massive(selv om de også kan miste materiale der de gni på frets). De kan også ha på seg hvor du velger dem. Etter hvert som strengene blir inhomogene, blir tuningen suksessivt verre. Å vaske dem kan hjelpe.

måten å komme seg rundt de fleste av disse problemene er å spille fretless instrumenter, men dette gjør akkorder mer vanskelig.

skaleposisjonene er i bare intonasjon. Berøringen ved 2/9 er tryggere enn den ved 1/9, men den faller ikke over noen skala notatposisjon: den er litt over den mindre tredje. Violists eller violoncellists øve Radulescus «Practicing Infinity» (sic) er invitert til å skrive til meg for ytterligere forslag om teknikker for høy harmoniske.

Se også hvordan harmoniske er harmoniske?

Harp acoustics

det eneste arbeidet vi har gjort på harps er beskrevet her.

Mer informasjon

• Stående Bølger og Reiser Bølger fra Physclips har filmklipp og animasjoner.
• Buer og strenger(en enkel introduksjon til denne interaksjonen).
• Fiolinstudier (mer informasjon om våre studier på fioliner).
• Chladni mønstre( eksperimentelle resultater som viser vibrasjon av plater av fioliner).
• Artikulasjon og vibrato på fiolin og deres betydning for fiolin lyden(e).
• Fiolinakustikk: en oversikt(en enkel introduksjon til fiolinakustikk).
• Forskningspapirene Til John McLennan, Doktorgradsstudent I Musikkakustikk VED UNSW.
• en introduksjon til fløyte akustikk (med en diskusjon av harmoniske i en luft kolonne).