wiele funkcji w aplikacjach jest budowanych z prostych funkcji przez wstawianie stałych w różnych miejscach. Ważne jest, aby zrozumieć wpływ takich stałych na wygląd wykresu.
przesunięcia poziome. Jeśli zamienimy $x$ Na $x-c$ wszędzie tam, gdzie występuje we wzorze na $f (x)$, to Wykres przesunie się o $C$ do zera. (Jeśli $c$ jest ujemne, oznacza to, że wykres przesuwa się nad$|c|$ w lewo.) Na przykład, wykres $y=(x-2)^2$ jest parabolą$X^2 $ przesuniętą do punktu 2 na osi$X$. Wykres $y=(x+1)^2$ jest tą samą parabolą przesuniętą w lewo, tak aby jego wierzchołek miał wartość $-1$ na osi $x$. Uwaga: zastępując $x$ przez $x-c$ musimy zwrócić uwagę na znaczenie, a nie na wygląd. Zaczynając od $y=x^2$ i dosłownie zastępując $x$przez $x-2$ daje $Y=x-2^2$. To jest $y=x-4$, linia o nachyleniu 1, nie popielata parabola.
przesunięcia pionowe. Jeśli zamienimy $y$ na $y-D$, to Wykres podnosi jednostki $d$. (Jeśli $d$ jest ujemne, oznacza to, że wykres obniża jednostki $|d|$.) Jeśli wzór jest zapisany w postaci$y = f (x)$ i jeśli $y$ zostanie zastąpione przez $y-D$, aby otrzymać $y-D=f(x)$, możemy równomiernie przenieść $d$ na drugą stronę równania i zapisać$y = f(x)+d$. Tak więc, można stwierdzić tę zasadę: aby uzyskać Wykres $y=f(x)+d$, weź Wykres $y=f(x)$ i przesuń go $d$ jednostek w górę.Na przykład, funkcja $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ może być otrzymana z$y = (x-2)^2$ (patrz ostatni akapit) przez przesunięcie wykresu 4 jednostek w dół.Rezultatem jest $x^2$ – parabola przesunięta o 2 jednostki w prawo i o 4 jednostki tak, aby mieć swój wierzchołek w punkcie $(2, -4)$.
Uwaga. Nie mylić $f(x)+D$ i $f (x+D)$. Na przykład, jeśli $f (x)$ jest funkcją $x^2$, to $f(x)+2$ jest funkcją $x^2+2$,podczas gdy $f(x+2)$ jest funkcją $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
przykład 1.4.1 (okręgi) ważny przykład powyższych dwóch zasadstartuje się okręgiem $x^2+y^2=r^2$. To jest okrąg o promieniu$r$ wyśrodkowany na początku. (Jak widzieliśmy, nie jest to pojedyncza funkcja$y=F (x)$, ale raczej dwie funkcje $y=\pm \ sqrt{r^2-x^2}$ razem wzięte;w każdym razie dwie zasady przesunięcia odnoszą się do równań takich jak tenjeden, które nie mają postaci $y = f(x)$.) Jeśli zamienimy $x$na $x-C$ i zamienimy $y$ na $y-d$ – uzyskanie równania$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—efekt na okręgu polega na przesunięciu go $C$ w prawo i $D$ w górę, uzyskując w ten sposób okrąg o promieniu $r$wyśrodkowany w punkcie $(C,D)$. Mówi nam to, jak napisać dowolny okrąg, niekoniecznie wyśrodkowany na początku.
później będziemy chcieli użyć jeszcze dwóch zasad dotyczących wpływu zmiennych na wygląd wykresu funkcji.
Dylatacja pozioma. Jeśli $x$ zostanie zastąpione przez$x / a$ we wzorze i $a> 1$, to efekt na wykresie jest przesunięty o współczynnik $a$ w kierunku $x$(z dala od osi$y$). Jeśli $a$ mieści się w przedziale od 0 do 1, to efekt na wykresie kurczy się o współczynnik $1/a$(w kierunku osi $y$). Słowo „rozszerzać” oznacza rozszerzać lub kurczyć.
na przykład zastąpienie $x$ przez$x/0.5=x/(1/2)=2x$ powoduje kurczenie się w kierunku osi $y$o współczynnik 2. Jeśli $a$ jest ujemne, rozszerzamy o współczynnik $ / a / $ i następnie przesuwamy się o oś $y$. Tak więc zastąpienie $x$ przez $ – x$ ma wpływ na lustrzane odbicie wykresu względem osi $y$. Na przykład, funkcja $y=\sqrt {- x}$, która ma domenę $\{x \ in\r\ mid x\le 0\}$, jest uzyskiwana przez pobranie wykresu $ \ sqrt{x}$ i odwrócenie go wokół osi $y$w drugim kwadrancie.
Dylatacja pionowa. Jeśli $y$ zostanie zastąpione przez $Y / B$ we wzorze i$b> 0$, to efekt na wykresie polega na rozszerzeniu go o współczynnik $B$ w kierunku pionowym. Tak jak poprzednio, jest to rozszerzenie lub kontraktacja w zależności od tego, czy $B$ jest większe, czy mniejsze od jednego.Zauważ, że jeśli mamy funkcję $y = f (x)$,zastąpienie $y$ przez $y/B$ jest równoznaczne z pomnożeniem funkcji na stronie przez $B$: $y=bf(x)$. Efekt na wykresie polega na powiększeniu obrazka z osi $x$o współczynnik $B$ jeśli $b>1$, aby powiększyć go o oś $x$o współczynnik $1 / B$ jeśli $0
przykład 1.4.2 (elipsy) podstawowy przykład dwóch zasad rozszerzania jest podany przez elipsę półosi głównej $a$ i półosi głównej $b$. Otrzymujemy taką elipsę rozpoczynając się od Okręgu jednostkowego-okręgu o promieniu 1 wyśrodkowanego w teoriginie, którego równanie wynosi $x^2+y^2=1$ – i rozszerzając się o współczynnik$ a $ poziomo i o współczynnik $b$ pionowo. Aby uzyskać równanie wyniku, które przecina oś $X$w $\pm a$ i przecina oś $y$-axisat $ \ pm B$, zamieniamy $x$ przez $x / a$ i $y$ przez $y / b$ w równaniu dla okręgu jednostkowego. Daje to $$ \ left ({x\over a}\right)^2+ \ left ({y\over B}\right)^2=1 \ qquad \ hbox{lub} \ qquad {x^2 \ over a^2}+{y^2 \ over B^2}=1.$$
wreszcie, jeśli chcemy przeanalizować funkcję, która obejmuje zarówno przesunięcia, jak i dylatacje, zwykle najprostszą jest najpierw praca z przesunięciami, a następnie przesunięciami. Na przykład, jeśli chcemy rozszerzyć funkcję o współczynnik $a$ w kierunku $x$, a następnie zmienić $C$ w prawo, robimy to przez zastąpienie $x$ najpierw przez $x / a$, a następnie przez $(x-C)$ we wzorze. Na przykład załóżmy, że po poszerzeniu naszego okręgu jednostkowego o $a$ w kierunku $x$I O $b$w kierunku $y$, aby uzyskać elipsę w ostatnim akapicie, chcieliśmy przesunąć ją o odległość $h$ W Prawo i odległość $k$w górę, tak aby była wyśrodkowana w punkcie $(h, k)$. Nowa elipsa powinna mieć równanie$$ \ left ({x-h\over a}\right)^2 + \ left ({y-k\over B}\right)^2 = 1.$ $ Zauważ, że to jest INNE niż pierwsze przesunięcia o $h$ I $k$, a następnie dylatacje o $a$ i $b$:$$ \ left ({x\over a}-h\right)^2+ \ left ({y\over B}-k\right)^2=1.$$Patrz rysunek 1.4.1.
rysunek 1.4.1. Elipsy: $ \ left ({x-1\over 2}\right)^2+\left ({y-1 \ over 3}\right)^2=1$ po lewej, $\left ({x \ over 2} -1\right)^2+\left({y\over 3}-1\right)^2=1$ po prawej.
ćwiczenia 1.4
zaczynając od grafu $\DS y=\sqrt{x}$, grafu $\DS y=1/x$ i grafu $\DS y=\sqrt{1-x^2}$ (górny półkole jednostki), szkicuj Graf każdej z następujących funkcji:
Ex 1.4.1$\ds ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f (x)=-1-1/ (x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f (x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\DS y=f(x)=-\sqrt{-x}$
Ex 1.4.6$\DS f(x)=2+\sqrt{1 – (x-1)^2}$
Ex 1.4.7$\ds f (x)=-4+\sqrt{-(x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f (x)=2\sqrt{1 – (x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f (x)=4+2\sqrt{1 – (x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1 / (x-1)$
Ex 1.4.12$\ds f (x)=\sqrt{100-25 (x-1)^2}+2$
Wykres $f(x)$ pokazany jest poniżej.Szkicuj wykresy następujących funkcji.
Ex 1.4.13$\ds y=f (x-1)$
Ex 1.4.$ 14 \ ds y=1 + f (X+2)$
przykład 1.4.15 $ \ ds y=1+2F (x) $
przykład 1.4.16$ \ ds y=2F (3x) $
przykład 1.4.17 $ \ ds y=2F (3 (x-2))+1$
przykład 1.4.18 $ \ ds y = (1/2) f (3x-3)$
przykład 1.4.19 $ \ ds Y = f (1 + x/3) + 2$
