to naprawdę zależy od tego, co masz na myśli przez „nieskończoność”. Jeśli masz na myśli $ \ infty$, to nie jest to liczba, ale raczej Skrót pojęcia, że pewna ilość (zwykle liczba naturalna lub rzeczywista) rośnie poza jakąkolwiek skończoną granicę. W związku z tym nie możecie mnożyć jej z niczym, a zwłaszcza z samym sobą. Istnieje jednak kilka systemów arytmetycznych, które mają elementy większe niż dowolna skończona suma postaci $1+1 + \ cdots +1$, a zatem zasługują na miano nieskończonej wielkości. Opowiem wam o trzech z nich (nieco uproszczone, ale mam nadzieję, że nie bezpośrednio błędne).
pierwszy to kardynałowie. Oznaczają, jak duże jest coś (zestaw). Skończony kardynałek jest po prostu liczbą naturalną (oznaczającą „wielkość zbioru z taką ilością elementów”), ale istnieją też kardynały Inite. Najmniejszym nieskończonym kardynałem jest $\aleph_0$, wielkości zbioru liczb natrualnych.
dodawanie kardynałów działa tak, jak można oczekiwać dodawania rozmiarów, a mianowicie umieszczanie dwóch zestawów obok siebie i liczenie, ile elementów jest w sumie. Mówiąc dokładniej, jeśli masz dwie liczby kardynalne $ \ kappa_1, \ kappa_2$, każda oznaczająca Rozmiar dwóch zestawów $X_1, X_2$, to kardynalny $ \ kappa_1+\kappa_2$ jest kardynalnością rozdzielnej Unii $X_1\sqcup X_2$, lub równoważnie, zbioru par $(x_i, i)$, gdzie $x_i \in x_i$ i $I \in \{1, 2\}$.
mnożenie kardynałów działa w następujący sposób: $ \ kappa_1 \ cdot \ kappa_2$ jest wielkością zbioru $X_1 \ razy x_2$, zestawem par $x_1, x_2$ z $x_1\w x_1$ i $x_2\w X_2$. Jeśli największa z $ \ kappa_1$ i $ \ kappa_2$ jest nieskończona, to $ \ kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1 \ cdot \ kappa_2 = \ max (\kappa_1, \kappa_2)$. Oznacza to, że jeśli $\kappa$ jest nieskończonym kardynałem, to $\kappa^2 = \kappa$, więc otrzymujemy również $\sqrt\kappa = \kappa$.
(można również zdefiniować wykładniki: $ \ kappa_1^{\kappa_2}$ jest wielkością zbioru wszystkich możliwych funkcji od $X_2$ do $X_1$. Na przykład $2$ jest zbiorem dwuelementowym, więc $ \ kappa^2$ jest zbiorem funkcji ze zbioru dwuelementowego na $ \ kappa$. Funkcja ze zbioru dwuelementowego jest taka sama jak uporządkowana para, więc jest to w rzeczywistości to samo co $ \ kappa\cdot \kappa$. Nieźle, co?)
drugi to porządki. Oznaczają uporządkowanie obiektów. Jednak nie wszystkie orderingi, ale orderingi, w których każdy podzbiór ma najmniejszy element, tak zwane orderingi. Ponownie, skończona porządkowa jest po prostu liczbą naturalną (oznaczającą „uporządkowanie wszystkich mniejszych liczb naturalnych”), ale tak jak ostatnio, istnieją nieskończone porządki, z których najmniejsza nazywa się $\omega_0$ lub po prostu $\omega$ i oznacza uporządkowanie liczb naturalnych.
dodawanie porządków odbywa się w następujący sposób: jeśli $\gamma, \lambda$ są porządkami, to $\gamma + \lambda$ jest porządkiem otrzymanym przez umieszczenie $\gamma$ przed $\lambda$. Na przykład, $1 + \ omega$ jest tym samym co $ \ omega$, ponieważ jeśli weźmiesz liczby naturalne i umieścisz jeden element przed nimi wszystkimi, masz coś, co jeśli chodzi o kolejność, wygląda dokładnie tak samo jak same liczby naturalne. Jednak $ \ omega + 1 $ oznacza umieszczenie pojedynczego elementu po wszystkich liczbach naturalnych, co jest inną kolejnością.
mnożenie działa w następujący sposób: $\gamma\cdot \lambda$ jest porządkiem, który otrzymujemy, biorąc $\lambda$, podstawiając każdy element w tym porządku kopią $\gamma$, a następnie dodając je wszystkie w tej kolejności (tj. umieść je po sobie) (określamy, że pracujesz na swój sposób od lewej do prawej). W ten sposób $2 \ cdot \ omega $ oznacza wzięcie liczb naturalnych, zamianę każdej z tych liczb na dwie liczby, a następnie umieszczenie wszystkich tych par po sobie. To daje nam $ \ omega$ z powrotem. Jednak $ \ omega \ cdot 2 $ oznacza pobranie uporządkowanej pary, zamianę każdego z dwóch elementów na kopię liczb naturalnych, a następnie umieszczenie jednej kopii po drugiej. To jest to samo, co można uzyskać, obliczając $ \ omega + \ omega$.
w tym kontekście mnożenie i dodawanie nieskończonych liczb porządkowych nie jest tak trywialne jak dla kardynałów. Otrzymujemy na przykład $ \ omega \ cdot \ omega = \ omega + \ omega +\omega + \ cdots$, który jest najmniejszą nieskończoną idealną kwadratową porządkową. Podobnie jak w przypadku samych liczb naturalnych, istnieją pewne liczebniki porządkowe, które mają pierwiastek kwadratowy, a niektóre nie. W szczególności $ \ omega$ nie ma pierwiastka kwadratowego.
(można również zdefiniować wykładniki dla porządków: W tym przypadku, $ \ gamma^ \ lambda$ jest porządkiem, który otrzymujemy, jeśli weźmiemy $ \ lambda$, zastąpimy każdy element w nim kopiami $ \ gamma$ i pomnożymy je wszystkie razem, tak jak mnożenie zostało zdefiniowane jako wielokrotne dodawanie. To sprawia, że $ \ omega^2 = \ omega \ cdot \ omega$. Nieźle, co? Zauważ, że podczas gdy dodawanie i mnożenie porządkowe i kardynalne są nieco podobne, ich pojęcia wykładnictwa są bardzo różne.
na koniec opowiem wam o surrealistycznych liczbach. Podczas gdy liczebniki porządkowe i kardynalne są szeroko stosowane w teorii mnogości, liczby surrealistyczne są bardziej ciekawostką. Są one również nieco trudniejsze do owinięcia głowy. Jednak bardzo mi się podobają, więc oto krótkie podsumowanie.
surrealistyczna Liczba $x$ składa się z uporządkowanej pary zbiorów zapisanych $\langle L_x\mid R_x\rangle$, gdzie $L_x$ nazywa się lewym zbiorem $x$, a $r_x$ nazywa się prawym zbiorem. Oba te zestawy składają się z innych liczb surrealistycznych, z wymogiem, że jeśli $x_l \in l_x$ i $x_r\in R_x$, to mamy $x_l < x_r$. $x$ oznacza liczbę surrealistyczną pomiędzy $L_x$ i $r_x$ (pierwsza taka liczba według jej generacji, patrz poniżej). Kolejność jest zdefiniowana w następujący sposób: biorąc pod uwagę dwie liczby surrealistyczne $x = \ langle L_x\mid R_x \ rangle, y = \langle L_y\mid R_y\rangle$ mówimy, że $X \leq y$ iff obie następujące wartości są prawdziwe:
- nie ma $x_l\w L_x$ tak, że $y \leq x_l$
- nie ma $y_r\w R_y$ tak, że $y_r \ leq x$
(zauważ, że aby obliczyć $y \leq x_l$ i $y_r\leq x$, musisz ponownie zastosować tę samą definicję. W praktyce będzie to bardzo uciążliwe dla wszystkich, ale dla najprostszych liczb. To pojęcie rekurencyjne powraca przy definiowaniu dodawania i mnożenia.
właściwie to wcześniej nie byłem do końca szczery. Liczba surrealistyczna jest klasą równoważności takich par (to jest to, co zajęło mi dużo czasu, aby naprawdę docenić). Sama para nazywana jest surrealistyczną formą liczbową. Dwie formy $x, y$ należą do tej samej klasy równoważności iff $x\leq y$ i $y\leq x$.
każda liczba surrealistyczna ma tzw. „generację”. Pierwsza liczba surrealistyczna (generowanie $0$) to $0 = \ langle {} \ mid {} \ rangle$, gdzie lewy i prawy zbiór jest pusty. Kolejne dwie liczby surrealistyczne (generowanie $1$) to $1 = \ langle0 \ mid {} \ rangle$ i $-1=\langle {} \ mid 0 \ rangle$. Generowanie $2 $ składa się z $-2 = \ langle {} \ mid -1 \ rangle$, $ – \frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1 \rangle$ i $2 = \langle 1\mid {} \ rangle$.
tutaj widzimy klasy równoważności w pracy, ponieważ mamy również $2 = \ langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, i mamy, na przykład, $0 = \ langle -2 \ mid 1\rangle$, ponieważ nawet jeśli $-1$, $\frac12$ i $- \ frac12$ są również pomiędzy $-2$ i $1$, $0$ należy do wcześniejszej generacji. Możesz sprawdzić, czy rzeczywiście mamy $ \ langle -2 \ mid 1 \ rangle \ leq \ langle {} \ mid {} \ rangle$ i jednocześnie $\langle {} \ mid {} \ rangle \ leq\langle -2\mid 1 \ rangle$, podczas gdy to samo nie jest prawdą, jeśli zamienimy $ \ langle {} \ mid {} \ rangle$ na $ \ langle 0\mid 1 \ rangle$.
nadal tworzymy coraz drobniejsze podziały we wszystkich skończonych generacjach, każda liczba, która wydaje się być liczbą w postaci $\frac a{2^b}$, ułamkiem dyadycznym, aż do pierwszej nieskończonej generacji, $\omega$ (tak, generacje są liczbami porządkowymi), gdzie nagle pojawiają się wszystkie liczby rzeczywiste (na przykład $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Otrzymujemy również pierwszą nieskończoną liczbę porządkową, $ \ omega$, jako $\langle 1, 2, 3,\ldots {} \ mid {} \ rangle$ i jej odwrotność $\frac1 \ omega = \ langle {} \ mid {} \ ldots \frac18,\frac14,\frac12, 1\rangle$.
do tej pory nie mówiłem o arytmetyce. Bez tego nie ma powodu, aby wywoływać $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ i nic innego. Biorąc pod uwagę $x = \ langle L_x \ mid R_x\rangle$ i $y = \langle L_y\mid r_y\rangle$, dodawanie jest definiowane rekurencyjnie przez$$x + y = \ langle \{x + y_l: y_l \ in l_y\} \ cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \ mid \{x + y_r: y_r \ in r_y\} \ cup \{x_r + y:X_r\w R_x\}\rangle$$Mnożenie jest trochę bardziej niechlujne, więc użyję kilku skrótów:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$gdzie odejmowanie jest zdefiniowany tak, jak można się spodziewać, przez zanegowanie odpowiedniej liczby i dodanie. Negowanie odbywa się poprzez negowanie każdego elementu w zbiorze prawym I lewym i zamianę dwóch elementów wokół.
podobnie jak w przypadku liczb porządkowych, $ \ omega^2 = \omega \ cdot \ omega$ jest kwadratem idealnym. Tutaj jednak pojawia się zabawna część: każda dodatnia liczba surrealistyczna ma pierwiastek kwadratowy. Aby uzyskać pierwiastek kwadratowy z $\omega$, potrzebujemy więc kilku dodatkowych definicji (teoretycznie można i należy uzasadnić każdą z tych nazw wykonując dodawanie i mnożenie, aby zobaczyć, że otrzymujesz to, co powinieneś, ale to dużo pracy):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\Mid \omega – 2\rangle\\vdots$$i wtedy otrzymujemy $\frac\omega2 = \Langle 1, 2, 3, \ldots\Mid \ldots,\omega – 3, \omega – 2, \omega – 1 \rangle$. Podobnie możemy zdefiniować $\frac \ omega2-1,\frac\omega2 – 2$, i tak dalej, i otrzymujemy $\frac \omega4 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid \ldots,\frac\omega2-3,\frac\omega2 – 2,\frac\omega2-1 \ rangle$. Następnie możemy zdefiniować $\frac \ omega8, \frac\omega{16}$ i tak dalej. Na koniec otrzymujemy $\sqrt \ omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Jesteśmy teraz w generacji $ \ omega^2$.
