 |
 |
Rysunek 1. Carte de visite (wizytówka) około 1866 Augustusa De Morgana, podpisana przez niego „ADeMorgan”. Zdjęcie autorstwa Maulla i Polyblanka (patrz uwaga). (Z kolekcji Dr Sida Kolpasa)
krótka biografia
Augustus De Morgan (1806-1871) był jednym z najbardziej wpływowych i odnoszących sukcesy nauczycieli matematyki XIX wieku. Zarówno według współczesnych, jak i obecnych standardów był profesorem nadzwyczajnym. Według Adriana Rice ’ a, w artykule „co sprawia, że wielki nauczyciel matematyki? Przypadek Augustusa De Morgana ” był przykładem wielkiego nauczyciela matematyki, który zaszczepił w swoich uczniach miłość i entuzjazm do przedmiotu, wywierając na nich głęboki wpływ, nawet jeśli nigdy nie robili kariery w matematyce. Dowody na tę opinię pochodzą z zachowanych komentarzy uczniów De Morgana i niektórych znanych matematyków, którzy byli pod wpływem jego nauczania. Posiadał to rzadkie połączenie wglądu, humoru i kreatywności. Jego wykłady były zwięzłe i czytelne; w przeciwieństwie do wielu jego rówieśników, dbał o to, aby jego uczniowie byli stymulowani, wyzwani, inspirowani i starannie pouczani o planowaniu dźwięku i pedagogice. Nienawidził egzaminów konkursowych i wynikającego z nich braku dzielenia się wiedzą (obecny problem w naszych szkołach); był zwolennikiem nauki kooperatywnej. Studenci donosili, że jego wykłady były bogate w humor, aplikacje do innych dyscyplin, odniesienia do dalszej nauki i miłość do swojego przedmiotu. Nawet najbardziej abstrakcyjne pojęcia zostały wyjaśnione przez jego błyskotliwe użycie analogii, metafory i symile.
De Morgan urodził się w Madurze w Indiach. Kształcił się w szkołach prywatnych do czasu wstąpienia do Trinity College w Cambridge w wieku szesnastu lat. Był znakomitym uczniem, blisko szczytu swojej klasy. Jednak zdecydował się nie uzyskać stopień M. A., lub konkurować o stypendium college ze względu na jego sumienny sprzeciw wobec testów religijnych, które były wymagane od kandydatów w Cambridge. W 1828 roku, za zasługi w nauce, otrzymał nominację na profesora matematyki na nowo powstałym Uniwersytecie Londyńskim (który stał się University College London). Uczył tam przez ponad 30 lat, inspirując pokolenia studentów. Kolejne pokolenia jego uczniów określały go mianem” Gussy ’ ego ” – wysokiej, krępej postaci spoglądającej przez złote okulary w oprawkach, która z pasją uczyłaby ich matematyki.
jego reputacja wzrosła ze względu na jego wybitne, zachęcające, opiekuńcze nauczanie i jego artykuły na nowatorskie tematy, matematyczne zagadki, gry, dziwactwa i paradoksy; De Morgan był Martinem Gardnerem XIX wieku. Miłość De Morgana do matematycznych zagadek i opowieści doprowadziła, pośmiertnie, do publikacji jego budżetu paradoksów (1872); jest on nadal w druku. Chociaż był człowiekiem łagodnej natury, był również człowiekiem o silnym przekonaniu. Zwalczał pretensje religijne i był orędownikiem praw edukacyjnych kobiet, ale był przeciwny prawom wyborczym kobiet. Uważał również, że zaawansowane badania matematyczne mogą szkodzić zdrowiu fizycznemu kobiety, co było wszechobecną postawą wobec kobiet w tym czasie. Coraz bardziej liberalny, gdy dorastał, wykładał matematykę dla klas kobiet bez opłat i zachęcał kobiety, nawet biorąc pod uwagę ich domniemane ograniczenia psychiczne, do kontynuowania studiów matematycznych.
Rysunek 2. Rysunek Augustusa De Morgana prowadzący zajęcia w University College London. (Ten obraz MS ADD 7 jest tutaj używany za zgodą UCL Library Services, Special Collections.)
teksty De Morgana były równie wybitne jak jego nauczanie. Ponad sto lat później nadal byłyby doskonałymi modelami nauczania. Tematy jego tekstów obejmowały algebrę, trygonometrię, rachunek różniczkowy i całkowy, rachunek różniczkowy, prawdopodobieństwo i logikę symboliczną. Wszystkie teksty są jasne, ciekawe i pełne wspaniałych przykładów. Wśród jego najlepszych publikacji były esej o prawdopodobieństwie (1838), rachunku różniczkowym (1842), logice formalnej (1847) i algebrze podwójnej (1849), który zapowiadał algebrę abstrakcyjną. Kiedy nie pracował ciężko nad swoimi wieloma artykułami i książkami—w tym jedną szóstą artykułów w słynnej Penny Cyclopaedia, dla której napisał artykuł określający proces indukcji matematycznej-De Morgan spędził czas na swoich dwóch wielkich pasjach: grze na flecie i zbieraniu rzadkich książek matematycznych. To ostatnie hobby pomogło mu stać się ekspertem swojej epoki w historii matematyki.
w 1837 Augustus De Morgan poślubił Sophię Elizabeth Frend. Ich dom, z pięciorgiem dzieci, stał się centrum dużego kręgu przyjaciół, którzy spotkali się tam, aby dzielić zainteresowania intelektualne. Jednym z przyjaciół Augusta był George Boole, który wraz z De Morganem był pionierem rozwoju logiki symbolicznej. Logika Formalna De Morgana (1847) trafiła do prasy w tym samym czasie, co praca Boole ’ a o algebrze logiki. Obie prace dotyczyły rachunku wnioskowego.
De Morgan jest chyba najlepiej zapamiętany za „prawa De Morgana”, Dwa powiązane twierdzenia w logice symbolicznej i teorii mnogości, odpowiednio.
logika symboliczna: \
teoria zbiorów:
Augustus De Morgan powinien być pamiętany, jak wszyscy inspirujący nauczyciele, za głęboki wpływ, jaki miał na swoich uczniów; wśród nich byli Isaac Todhunter (1820-1884) i James Joseph Sylvester (1814-1897). Uczył również Adę Lovelace (1815-1852) i zachęcał ją do rozwijania swoich talentów matematycznych; uważał, że ma wyższy talent matematyczny w porównaniu do większości kobiet. Był siłą stymulującą w rozwoju matematyki i nauczycieli matematyki, siłą napędową w rozwoju logicznych podstaw matematyki i zwolennikiem modernizacji rachunku. Bezpretensjonalny człowiek, unikał honorowych stopni, członkostwa w Royal Society oraz małostkowości politycznej i religijnej. Jego życie było poświęcone rodzinie, przyjaciołom i studentom.
Uwaga: Maull & Londyńskie studio Fotograficzne Polyblank zostało założone w 1854 roku. Studio specjalizowało się w portretach znanych osób. Ich najbardziej godne uwagi dzieło, fotograficzne Portrety żyjących celebrytów, zostało opublikowane w częściach w latach 1856-1859. Składał się z czterdziestu pojedynczych portretów z biografiami, wydawanych abonentom, a następnie oprawianych w jeden tom przez Abonenta po dostarczeniu wszystkich części; była to praktyka popularna w tamtych czasach. Portrety były również publikowane jako ryciny w „Illustrated London News”. Powrót do krótkiej biografii De Morgana.
Rysunek 3. De Morgan ’ s an Essay On probability (1838). (Z kolekcji Dr Sid Kolpas)
algorytm De Morgana do przybliżania faktorii
faktorii liczb całkowitych odgrywają ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa, szczególnie w permutacjach i kombinacjach. W XIX wieku, bez urządzeń obliczeniowych, czynniki te były trudne do obliczenia dla dużych liczb całkowitych. W swoim eseju na temat prawdopodobieństwa, De Morgan wprowadził algorytm opisany na rysunku 4, poniżej, aby przybliżyć \(n!,\) gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą. Zauważ, że \ ( \ ) jest zapisem De Morgana dla „\(n\) silnia” lub \(n!.\) Tak więc, w pierwszym akapicie na rysunku 4, kiedy De Morgan napisał „,” miał na myśli silnię danej dodatniej liczby całkowitej.
Rysunek 4. Instrukcje de Morgana dotyczące przybliżania \(n!\) z s. 15-16 jego eseju o Prawdopodobieństwach (Google Books)
przybliżenie Stirlinga \(n!,\) gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą, odkrył Szkocki matematyk James Stirling (1692-1770). Stirling opublikował swoje najważniejsze dzieło, Methodus Differentialis, w 1730 roku. Książka omawia nieskończone szeregi, sumowanie, interpolację i kwadraturę. Poniższy wzór na \(n!,\), dla którego Stirling stał się znany, pojawia się jako przykład 2 propozycji 28 Methodus Differentialis. Aproksymacja Stirlinga stwierdza, że \
algorytm De Morgana dostarczył instrukcje krok po kroku do obliczenia aproksymacji do \(n!\) podane przez wzór Stirlinga.
Rysunek 5. Strona tytułowa Methodus Differentialis Stirlinga (Google Books)
odwołująca się do algorytmu De Morgana do przybliżania \(n!\ ) i zauważając, że \(0.4342945\) jest przybliżeniem \(\log_{10} e,\) i \(0.7981799\) jest przybliżeniem \(\log_{10} (2 \ pi),\) mamy:
- weź logarytm o podstawie 10 z liczby \(n\) i odejmij od niego \(0.4342945\): \(\log n- \ log e = \log \ left (\frac{n}{e} \ right).\ )
- pomnóż wynik przez \(n\): \(n\log \left(\frac{n}{e}\right)= \log \left(\frac{n}{e}\right)^n.\)
- do \(\log n\) dodaj \(0.7981799\): \(\log n + \log 2\pi = \log 2N\pi.\)
- weź połowę tej sumy: \({\frac{1}{2}}\log 2N\pi = \log \sqrt{2N\pi}.\)
- Dodaj wyniki drugiego i czwartego kroku: \
- ponieważ \(\log N!\sim \ log \ sqrt{2N \ pi} \ left (\frac{n}{e} \ right)^n,\) then \(n!\sim \sqrt{2N \ pi} \ left (\frac{n}{e} \ right)^n,\) co jest wzorem Stirlinga.
- to przybliżenie \(n!\ ) jest nieco za mały; aby go poprawić, dodaj \({\frac{1}{12N}}\) do siebie: \
a Letter of De Morgan Concerning History of Mathematics
jak wspomniano powyżej, Augustus De Morgan był częstym współpracownikiem Penny Cyclopaedia, wnosząc ponad 700 artykułów do 27 tomów Cyclopaedia, opublikowanych w latach 1828-1843.
Rysunek 6. The Penny Cyclopaedia, Tom 26, zawiera artykuł De Morgana o indyjskim matematycznym tekście Viga Ganita. (Google Books)
jednym z ostatnich wpisów De Morgana w The Penny Cyclopaedia był artykuł zatytułowany „VIGA GANITA”, który ukazał się na stronach 318-326 tomu 26, opublikowany w 1843 roku (łatwo dostępny za pośrednictwem Google Books). De Morgan przyznał na początku tego artykułu, że będzie omawiał o wiele więcej niż tylko Viga Ganita (obecnie częściej transliterowane jako Bījagaṇita lub Bīja-gaṇita), pracę nad algebrą autorstwa XII-wiecznego Indyjskiego matematyka i astronoma Bhascary (obecnie ogólnie znanego jako Bhāskara II), który od dawna mieszkał i pracował w słynnym Obserwatorium Astronomicznym w Ujjain. De Morgan napisał, że jego plan polegał na wykorzystaniu miejsca litery „V” na końcu alfabetu, aby zgłosić najnowsze badania na temat „astronomical and arithmetic science Of The Hindusi” (s. 318). Czekanie może nie było tego warte, ponieważ to, co De Morgan miał napisać, było „opisem najbardziej osobliwych skrajności opinii” (s. 318) – opowieścią o wielu niezgodach wśród uczonych, przynajmniej niektórych z nich uważał za dość stronniczych.
w tym artykule De Morgan podał trzy możliwości tożsamości i wieku Indyjskiego astronoma i matematyka Varāhamihiry, który był dla niego interesujący ,ponieważ (p. 320):
najczęściej cytowani przez hinduskich astronomów pisarze noszą imiona Varaha-mihira i Brahmegupta.
obecnie uważa się, że Varāhamihira żył w VI wieku, a Brahmagupta w VII wieku. Od dawna uważano, że obaj żyli i pracowali w Ujjain w słynnym Obserwatorium Astronomicznym, podobnie jak Bhaskara II wieki później. Jednak historyk indyjskiej astronomii i matematyki Kim Plofker w swojej książce „Mathematics in India” z 2009 roku nie ma dowodów na to, że któryś z trzech astronomów mieszkał w Ujjain lub że istniało tam nawet Obserwatorium Astronomiczne (S. 318-319, 326).
jednak De Morgan wiedział w 1843 roku, że ceniony indolog Henry Thomas Colebrooke i” astronomowie z Ujein ” uzgodnili daty Varāhamihiry (i Brahmagupty), ale inni umieścili Varāhamihirę wieki wcześniej lub później (VIGA GANITA, str. 320).:
z jego danych astronomicznych Colebrooke wnioskuje, że Varaha-mihira napisał pod koniec V wieku, co jest również datą przypisaną mu przez astronomów z Ujein. … Jest inny Varaha-mihira, którego ci sami astronomowie umieszczają w 200 roku n. e. Ale popularna tradycja umieszcza Varaha-mihira w czasach Wikramadytii (p. n. e. 56), A nazwiska, jak później zauważono, kilku jego współczesnych.
Colebrooke zmarł w 1837 roku. Jego protegowany Horace Hayman Wilson został pierwszym Boden profesorem sanskrytu na Uniwersytecie Oksfordzkim w 1832 roku; jednak, jak pokazano na rysunku 7 poniżej, Wilson napisał w 1835 roku, że Varāhamihira żył w pierwszym wieku przed naszą erą!
Rysunek 7. Od A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), by H. H. Wilson, page 25, paragraph 43. Tutaj Wilson umieścił Varāhamihirę w 56 p. n. e.lub nieco później. „Ougein” Wilsona stał się „Ujein” w artykule De Morgana i obecnie jest znany jako Ujjain. (Google Books)
w poniższym liście De Morgana do Wilsona, de Morgan próbował potwierdzić przekonania Wilsona dotyczące tożsamości i wieku Varāhamihiry, prawdopodobnie dla jego artykułu Cyclopaedia przed jego publikacją.
Rysunek 8. List Augustusa De Morgana do H. H. Wilsona. Zauważ, że podpis De Morgana na końcu listu jest identyczny z podpisem na wizytówce na rysunku 1. (Z kolekcji Dr Sid Kolpas)
transkrypcja listu De Morgana
Sir
z wieloma przeprosinami za niepokojenie cię, zupełnie nieznanego tobie, tak jak ja, pozwalam sobie zadać ci pytanie dotyczące Twojego podręcznika historii, pracy, którą często konsultowałem w odniesieniu do dat orientalnych, i którą, ze względu na wygodę tych samych dat, polecam jako przydatną studentowi historii matematycznej w towarzyszącym mu dokumencie, którego proszę o akceptację.
Strona 25 43 . Czy uważasz Varaha-Mihira za autora astronomicznego o tym imieniu, czy też tego o tym imieniu, którego wiek jest omawiany przez Colebrooke 'a , a którego Bentley i francuski pisarz cytowany przez Delambre’ a będą (wbrew opinii Colebrooka, jak zbieram) za autora Surya Siddhanta : czy też uważasz, że istnieje spore prawdopodobieństwo, że jest on taki sam.
pozostaję Sir
twoim wiernym sługą
ADeMorgan
69 Gower Street
5 kwietnia 1843
nie wiemy, czy De Morgan otrzymał odpowiedź od Wilsona, a jeśli tak, to co to było. Odniesienie De Morgana do” ludowej tradycji „w artykule w ” The Penny Cyclopaedia”, a nie do Wilsona z imienia, może wskazywać, że Wilson wycofał się z twierdzenia, że Varāhamihira żył około 56 roku p. n. e.
uwagi na temat listu De Morgana i jego transkrypcji
Uwaga 1. Podręcznik historii i chronologii powszechnej do użytku Szkół. H. H. Wilson, M. A., Boden Professor of Sanscrit, Oxford. Londyn: Whittaker, 1835. Wilson był protegowanym Colebrooke (patrz uwaga 4, poniżej) i został pierwszym Boden profesorem sanskrytu na Uniwersytecie Oksfordzkim w 1832 roku.
Uwaga 2. Fragment podręcznika historii powszechnej i chronologii, do użytku Szkół, autorstwa H. H. Wilsona, na stronie 25, paragraf 43, pokazany jest na rysunku 7 powyżej.
Uwaga 3. Varāhamihira (505-587) – Indyjski astronom, matematyk i astrolog.
Uwaga 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) był angielskim Indologiem, szczególnie zainteresowanym religią, językoznawstwem i astronomią. De Morgan napisał w swoim artykule Cyclopaedia: „Mr. Colebrooke był jednym z najwybitniejszych uczonych sanskrytu, niestrudzonym Indyjskim antykwariuszem i bardziej niż dobrze poinformowanym w matematyce i astronomii” (s. 319). Po spędzeniu ponad 30 lat (1783-1814) w Indiach, Colebrooke wrócił do Anglii, gdzie opublikował algebrę z arytmetyką i Mensuracją z Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara (Londyn, 1817) i był współzałożycielem Royal Astronomical Society w 1820 i Royal Asiatic Society w 1823.
Uwaga 5. John Bentley był angielskim Indologiem, o którym De Morgan pisał lekceważąco w swoim artykule „VIGA GANITA”. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) był znanym francuskim astronomem, autorem książek z zakresu historii astronomii od czasów starożytnych do XVIII wieku.
uwaga 6. Sūrya-Siddhānta, podręcznik astronomii, który omawia to, co nazywamy sinusem, cosinusem i tangensem, był przez niektórych uważany za jedno z mniej znanych dzieł Varāhamihiry. Plofker (2009) umieścił sūrya-Siddhānta lub „Traktat o słońcu” na około 800 roku n. e., „skomponowany lub poprawiony z wcześniejszego dzieła o tej samej nazwie…. Ta wcześniejsza Sūrya-Siddhānta została częściowo zachowana ” w VI-wiecznym dziele Varāhamihira (P. 71).
powrót do transkrypcji listu De Morgana
Augustus De Morgan. Budżet paradoksów. London: Longmans, Green and Company, 1872.
Augustus De Morgan. Esej O Prawdopodobieństwach. London: Longman, Orme, Brown, Green and Longmans, and John Taylor, 1838.
, „Viga Ganita”, Penny Cyclopaedia of the Society for the Diffusion of Useful Knowledge, vol. 26 (1843), S. 318-326.
Sophia De Morgan. Pamiętnik Augustusa De Morgana. London: Longmans, Green and Company, 1882.
James Essinger. Algorytm ady: Jak córka Lorda Byrona, Ada Lovelace, zapoczątkowała erę cyfrową. Londyn: Gibson Square Ltd., 2014.
Muzeum J. Paula Getty ’ Ego. „Maull i Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.).
New World Encyclopedia contributors, „Henry Thomas Colebrooke,” New World Encyclopedia, last updated 24 February 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O ’ Connor i E. F. Robertson. Augustus De Morgan, MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematyka w Indiach. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. „Co sprawia, że wielki nauczyciel matematyki? Sprawa Augustusa De Morgana.”The American Mathematical Monthly. Vol. 106, Nr 6 (Cze. – Lip., 1999), s. 534-552.
Horace Hayman Wilson. Podręcznik historii i chronologii powszechnej do użytku Szkół. Londyn: Whittaker and Co., 1835.
